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5.1二次根式（1）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：1
课 题 二次根式的概念和意义 课型 新授课
教学目标 1. 知道二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件； 2. 通过探究，理解、掌握二次根式的基本性质； 3. 能利用二次根式的概念求被开方数中的字母取值范围； 4. 能运用二次根式的基本性质进行计算或化简.
教学重点 1. 二次根式的概念和意义； 2. 二次根式的基本性质； 3. 求被开方数中的字母取值范围，进行二次根式的化简或计算。
教学难点 1. 理解二次根式和被开方数的双重非负性性，会求字母的值或取值范围； 2. 运用二次根式的基本性质进行计算或化简.
教 学 活 动
一、情景导入 1、 提出问题，复习旧知： （1）什么叫作平方根？ Ppt：若r =a，则r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根。 （2）正实数a有几个平方根？怎样表示？ Ppt：正实数a有两个平方根：和。其中又叫作a的算术平方根。 （3）0的平方根和算术平方根是什么？负实数有平方根吗？ Ppt：0的平方根和算术平方根是0。负实数没有平方根。 2、 做一做，垫基础 （1）9的平方根是 3 和 -3 ，算术平方根是 3 ； （2）7的平方根是和，算术平方根是；. （3）= 8 ，= -9 ，= 0.1 ； （4） ±5 的平方是25，的平方根是 ±2 . 二、教学新知，理解二次根式的概念和意义 1、 出示问题： 运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定速度(称为 第一宇宙速度)，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球 运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关 系：v =gR，其中重力加速度常数g≈9.8m/s .若已知地球半径 R，则第一宇宙速度v是多少？ 分析解答：（1）因为v =gR，根据平方根的概念，可知v是gR的一个平方根；而gR的平方根有两个，分别为：和. （2）又因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度只能是其中的那个正的平方根，即算术平方根。 （3）所以，第一宇宙速度是：。 2、 抽象概念： （1）我们已经知道:每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是 . （2）我们把形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开方数 .（3）指出：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 三、讲解例1，学会求二次根式中的字母取值范围 例1 当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？ 分析：要使二次根式在实数范围内有意义，则被开方数x-1≥0。 解： 由x-1≥0，解得x≥1. 因此，当x≥1时，在实数范围内有意义 三、合作探究，理解二次根式的平方性质 1、 议一议：是哪个非负实数的平方根？等于什么？ 2、 分析抽象： 对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此 . 四、教学例2，学会二次根式的平方运算 例2 计算： （1）； （2）. 解：（1）=5. （2）=.（先运用积的乘方运算法则）. 五、合作探究，理解一个正数的平方的算术平方根的性质 1、 做一做： 填空：= ， = ， ， … （1）学生填空，并交流答案。 （2）抽象概括：由于a的平方等于a ，因此a是a 的一个平方根。而根据算术平方根的意义，a 算术平方根是。所以，有，由此得出 六、教学例3，学会求一个数的平方的算术平方根 例3 计算： （1）； （2）. 解：（1）==2. （2）=.=1.2。 七、合作讨论，归纳任意一个实数的算术平方根的性质 1、 讨论：当a＜0时，是否仍然成立？为什么？ 生：从例3可知当a＜0时，，所以不成立。 2、 归纳： 综合上面两种情况，我们可以得到： 八、巩固练习 1、 下列各式不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】二次根式形如，且被开方数a必须为非负数。选项A、D显然满足二次根式的条件，而B选项的被开方数x +4x+5=(x+2) +1＞0，因此也是二次根式.C选项根号下是负数，因而不是二次根式。故选C 2、 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） 【答案】D 【解析】要使二次根式有意义，则 x－4≥0，解得x≥4。故选D. 3、 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4、 若代数式在实数范围内有意义，则代数式的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】因为在实数范围内有意义，∴2x 6=6 2x=0，所以原式=0+0+5=5.故选B。 5、 当x的取值范围是 时，代数式在实数范围内有意义。 【答案】x≥1，且x≠2。 6、 若a，b，c分别是一个三角形的边长，则化简的结果是 。 【答案】。 【解析】因为a，b，c分别是一个三角形的边长，所以a，b，c均为正数，且；两边之和大于第三边，故原式=。 九、课堂总结 1、 什么叫做二次根式？被开方数是什么？ 生：形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开方数。 2、 a是什么数时，在实数范围内有意义 生：a为非负数，即a≥0时，在实数范围内有意义。 二次根式有哪些性质？ ，，. 六、作业布置 第157页课后练习第1、2、3题.
板书设计 二次根式 1、 二次根式的概念； 2、 二次根式有意义的条件，求被开方数中的字母的取值范围； 3、 二次根式的基本性质，二次根式的化简和计算。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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5.1 二 次 根 式(1)
湘教版 八年级上
教学目标
1.知道二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件；
2.通过探究，理解、掌握二次根式的基本性质；
3.能利用二次根式的概念求被开方数中的字母取值范围；
4.能运用二次根式的基本性质进行计算或化简.
新知导入
3. 0的平方根和算术平方根是什么？负实数有平方根吗？
1. 什么叫作平方根？
2. 正实数a有几个平方根？怎样表示？
若r =a，则r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根。
0的平方根和算术平方根是0。负实数没有平方根.
正实数a有两个平方根：和。其中又叫作a的算术平方根
.
新知导入
1. 9的平方根是 和 ，算术平方根是 .
2. 7的平方根是 和 ，算术平方根是 .
3. = ，= ，= .
4. 的平方是25，的平方根是 .
3
-3
4
0.1
±5
3
-9
±2
新知讲解
运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v =gR，其中重力加速度常数g≈9.8m/s .若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？
新课讲解
又因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度只能是其中的那个正的平方根，即算术平方根。
所以，第一宇宙速度
因为v =gR，根据平方根的概念，可知v是gR的一个平方根；而gR的平方根有两个，分别为：和
.
新课讲解
我们已经知道:每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
我们把形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开方数
.
例题讲解
例1 当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？
解： 由x-1≥0，解得
x≥1.
因此，当x≥1时，在实数范围内有意义
.
合作探究
是哪个非负实数的平方根？等于什么？
议一议
对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此
例题讲解
例2 计算：
(1) ； (2) .
解： (1)
=5.
(2)
=
=4×2=8.
合作探究
填空：
； ；
； ……
做一做
根据上面结果猜想，当a≥0时，=
.
2
1.2
a
例题讲解
你能说明当a≥0时，的道理吗？
由于a的平方等于a ，因此a是a 的一个平方根。而根据算术平方根的意义，a 算术平方根是。所以，有，由此得出
：
例题讲解
例3 计算：
(1) ； (2) .
解：(1)
(2) =
.
合作探究
当a＜0时，是否仍然成立？为什么？
议一议
因为是的算术平方根，所以≥0；而a＜0，所以，不成立. 从例3可知，
.
合作探究
由此，我们得到
巩固练习
1.下列各式不是二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
C
解析：二次根式形如，且被开方数必须为非负数。选项A、D显然满足二次根式的条件，而B选项的被开方数x +4x+5=(x+2) +1＞0，因此也是二次根式.C选项根号下是负数，因而不是二次根式。故选C
.
巩固练习
解析：要使二次根式有意义，则 x－4≥0，解得x≥4。故选D.
2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＜4 B. x＞4
C. x≠4 D. x≥4
D
巩固练习
3. 下列计算中，正确的是 （ ）
A. B. 7
C. =5 D.
C
巩固练习
4. 若代数式+5在实数范围内有意义，则代数式的值是 （ ）
A. 3 B. 5
C. 8 D. 11
B
解析：∵+5在实数范围内有意义，∴，即，∴=.
∴+5=0+0+5=5.
巩固练习
6. 若a，b，c分别是一个三角形的边长，则化简：
的结果是 。
5. 当x的取值范围是 时，代数式在实数范围内有意义。
x≥1，且x≠2
a+b+c
课堂总结
1. 什么叫做二次根式？被开方数是什么？
形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开
方数
。
a为非负数，即a≥0时，在实数范围内有意义
.
2. a是什么数时，在实数范围内有意义
？
课堂总结
3. 二次根式有哪些性质？
作业布置
第157页课后练习第1、2、3题：
1. 当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1) ； (2).
作业布置
2. 计算：
(1) ； (2).
作业布置
3. 计算：
(1) ； (2)；
(3) ； (4).
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