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5.1二次根式（2）教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：2
课 题 二次根式的化简和最简二次根式 课型 新授课
教学目标 1.理解积的算术平方根的性质及其公式； 2.能运二次根式的性质进行二次根式的化简； 3.理解最简二次根式的特点，会判别最简二次根式； 4.灵活运用化简二次根式的不同方法，锻炼多角度思维.
教学重点 1. 理解积的算术平方根的性质，并记住它的公式； 2. 利用二次根式的性质进行化简； 3. 知道什么是最简二次根式，会识别最简二次根式。
教学难点 1. 理解积的算术平方根的性质，并记住表达公式； 2. 能正确熟练地利用积的算术平方根公式进行化简.
教 学 活 动
一、师生互动，温故知新 1、 什么叫做二次根式？被开方数是什么？ Ppt：形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开方数。 2、 a是什么数时，在实数范围内有意义 Ppt：a为非负数，即a≥0时，在实数范围内有意义。 3、 我们已经学习了二次根式的哪些性质？ Ppt：，，. 二、合作探究，学习新知 1、 做一做： 计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？ （1）= 6 ，= 6 ； （2）= 12 ，= 12 . 我发现： ， . 2、 抽象概括： 一般地，当a≥0 ，b≥0时，由于 ， 所以， . 由此得出： 上述公式，从左到右看，是积的算术平方根的性质。利用这一性质，可以化简二次根式。 （说明：在公式推导过程，着重引导学生，利用平方根的概念，理解的道理） 三、教学例题，学会应用 例4 化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）. 解：（1） ←写成完全平方因数9与2的乘积 ←利用积的算术平方根的性质 . （强调：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数.） （2） ←写成完全平方因数4与5的乘积 ←利用积的算术平方根的性质 . （3） ←写成完全平方因数的乘积 ←把根号下完全平方因数的算术平方根直接移到根号外 . 方法小结：例4说明，在二次根式化简过程中，可以把被开方数中的“完全平方因数(或因式)”，用它的算术平方根代替，直接从根号下移到根号外. 例5 化简下列二次根式： （1）； （2）. 解：（1）== 师：第一步为什么分子、分母要乘2？ 生：这样能得到一个完全平方因数，把它的算术平方根移到根号外，被开方数就不含分母了。 （2）= （强调：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.） 四、合作探究，深化认知 观察上述化简后的我们得到的二次根式： ，，，，. 你发现这些式子有什么特点呢？ 学生讨论后得出： （1）被开方数不含开得尽方的因数（或因式）； （2）被开方数不含分母. 教师讲解： 我们把满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式.（PPT展示） 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式. 五、巩固练习 1、 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】。故选B 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】=。故选C. 3、 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为B、C、D的被开方数中，分别含有开得尽方的因数9、4、9，所以都不是最简二次根式.A符合最简二次根式的条件，故选A. 4、 当x＜0时，化简的结果是 。 【答案】. 【解析】∵ x＜0时，∴。 5、 化简的结果是 。 【答案】。 6、 化简的结果是 。 【答案】。 六、课堂总结 1、 二次根式有哪些性质？ PPT：≥0，=0（a≥0），， （a≥0，b≥0）. 2、 最简二次根式有哪两个条件？ （1）被开方数不含开得尽方的因数（或因式）； （2）被开方数不含分母. 3、 如何利用二次根式的性质进行化简？ 第一步：把被开方数彻底分解成完全平方因数(或因式)与开不尽方因数(或因式)的积；如果被开方数含有分母，则把分子、分母同乘一个数(或式)，使被开方数中得到一个分数(或分式)的完全平方因式。 第二步：把完全平方因数(或因式)的算术平方根移到根号外，开不尽方因数(或因式)仍然留在根号下。 七、作业布置 第159页课后练习第1、2题. 第160页习题5.1第6～10题： 6、 一个底面是40cm×45cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的陶瓷容器中，当陶瓷容器装满水时，玻璃容器中的水面下了20cm，求陶瓷容器的底面边长. 解：设陶瓷容器的底面边长xcm，根据题意，得 10x =40×45×20 即 x =3600 因为边长为正数，所以陶瓷容器底面边长 x==60（cm）. 7、 在比萨斜塔上做自由落体实验得知：物体下落距离h(cm)与下落时间t(s)之间的关系约为h=4.9t 。当物体从39.2m的高度下落时，求该物体到达地面所需时间. 解：根据题意，得 4.9t =39.2 即 t =8 因为t为正数，所以该物体到达地面所需时间t=（s）. 8、 化简下列二次根式： (1) ； (2) . 解：(1)当a≥0时，=3a；当a<0时，=-3a. (2) =. 9、 在实数范围内，把下列多项式因式分解： (1) ； (2) . 解：(1)=； (2) ==。 10、若是整数，求自然数n的值。 解：要使有意义，则38 n≥0，即n≤38。 ∵ n为自然数，∴n≥0，∴ 0≤n≤38. ∵ 是整数，且≥0， ∴ 当=0时，38 n=0，n=38； 当=1时，38 n=1，n=37； 当=2时，38 n=4，n=34； 当=3时，38 n=9，n=28； 当=4时，38 n=16，n=22； 当=5时，38 n=25，n=13； 当=6时，38 n=36，n=2. 综上所述，自然数n的值有：38，37，34，29，22，13，2.
板书设计 二次根式的化简 1、 二次根式的积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）； 2、 二次根式的化简； 3、 最简二次根式。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
5.1 二 次 根 式(2)
湘教版 八年级上
教学目标
1.理解积的算术平方根的性质及其公式；
2.能运二次根式的性质进行二次根式的化简；
3.理解最简二次根式的特点，会判别最简二次根式；
4.灵活运用化简二次根式的不同方法，锻炼多角度思维.
新知导入
1. 什么叫做二次根式？被开方数是什么？
形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开
方数
。
a为非负数，即a≥0时，在实数范围内有意义
.
2. a是什么数时，在实数范围内有意义
？
新知导入
3. 我们已经学习了二次根式的哪些性质？
二次根式还有哪些性质呢？
新知讲解
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1)， ；
(2)， .
6
12
6
12
.
.
新知讲解
一般地，当a≥0 ，b≥0时，由于
，
因此由平方根的意义，可得：
新知讲解
由此得出
(a≥0 ，b≥0).
上述公式，从左到右看，是积的算术平方根的性质.
利用这一性质，可以化简二次根式.
例题讲解
例4 化简下列二次根式：
(1) ； (2) ； (3) .
=
解：(1)
写成完全平方因数9与2的乘积
=
利用积的算术平方根的性质.
=
例题讲解
写成完全平方因数4与5的乘积
利用积的算术平方根的性质.
=
(2)
=
=
从(1)、(2)题可知：化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
例题讲解
=
(3)
=
=
=
例4说明，在二次根式化简过程中，可以把被开方数中的“完全平方因数(或因式)”，用它的算术平方根代替，直接从根号下移到根号外.
把根号下完全平方因数的算术平方根直接移到根号外.
例题讲解
例5 化简下列二次根式：
(1) ； (2).
说一说：第一步为什么分子、分母要乘2？
解：(1) =
.
这样能得到一个完全平方因数，把它的算术平方根移到根号外，被开方数就不含分母了。
例题讲解
(2).
从例5可知，化简二次根式，要求被开方数中不含分母。
例题讲解
下面是例4、例5的最后结果，这些式子有什么特点呢？
（1）被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.
巩固练习
1. 化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
B
解析：=
故选B.
巩固练习
2. 化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
C
解析：=
故选C.
巩固练习
解析：因为B、C、D的被开方数中，分别含有开得尽方的因数9、4、9，所以都不是最简二次根式.A符合最简二次根式的条件，故选A.
3. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
A
巩固练习
4. 当x＜0时，化简的结果是 。
解析：=
∵ x＜0，
∴
巩固练习
5. 化简的结果是 。
6. 化简的结果是 。
课堂总结
1. 二次根式有哪些性质？
课堂总结
2. 最简二次根式有哪两个条件？
（1）被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
课堂总结
3. 如何利用二次根式的性质进行化简？
第一步：把被开方数彻底分解成完全平方因数(或因式)与开不尽方因数(或因式)的积；如果被开方数含有分母，则把分子、分母同乘一个数(或式)，使被开方数中得到一个分数(或分式)的完全平方因式。
第二步：把完全平方因数(或因式)的算术平方根移到根号外，开不尽方因数(或因式)仍然留在根号下。
作业布置
第159页课后练习第1、2题：
1. 化简下列二次根式：
(1) ； (2)；
(3) ； (4).
作业布置
2. 化简下列二次根式：
(1) ； (2).
作业布置
3. 计算：
(1) ； (2)；
(3) ； (4).
作业布置
第160页习题5.1第6～10题：
6. 一个底面是40cm×45cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的陶瓷容器中，当陶瓷容器装满水时，玻璃容器中的水面下了20cm，求陶瓷容器的底面边长.
解：设陶瓷容器的底面边长xcm，根据题意，得
10x =40×45×20
即 x =3600
因为边长为正数，所以陶瓷容器底面边长 x==60cm
.
作业布置
7. 在比萨斜塔上做自由落体实验得知：物体下落距离h(cm)与下落时间t(s)之间的关系约为h=4.9t 。当物体从39.2m的高度下落时，求该物体到达地面所需时间.
解：根据题意，得
4.9t =39.2
即 t =8
因为t为正数，所以该物体到达地面所需时间t==2s
.
作业布置
8. 化简下列二次根式：
(1) ； (2).
解：(1)当时， ；
当时，.
(2)
.
作业布置
9. 在实数范围内，把下列多项式因式分解：
(1) ； (2).
解：(1).
(2)
.
作业布置
10. 若是整数，求自然数n的值。
解：要使 有意义，则，即。
∵ n为自然数，∴0，∴ 0.
∵ 是整数，且，
∴当时，，；
当时，，；
当时，，；
作业布置
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，.
综上所述，自然数n的值有：38，37，34，29，22，13，2.
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