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5.3 二次根式的加法和减法(2)教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：6
课 题 二次根式的混合运算 课型 新授课
教学目标 1.理解二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的； 2.理解二次根式混合运算中的乘法类似于整式乘法运算； 3.能根据算式特点合理、便捷地进行二次根式的混合运算； 4.在运算的过程中，培养思维的灵活性和方法的多样性.
教学重点 1.理解二次根式的混合运算的顺序、运算依据和方法； 2.正确、简便地进行二次根式的混合运算。
教学难点 1.灵活、简捷地进行二次根式的混合运算； 2.与二次根式有关的化简求值。
教 学 活 动
一、师生互动，温故导新 1、 二次根式有哪些性质？ ①二次根式的双重非负性：，且a≥0； ②根据平方根的意义得到的性质： ， ③积的算术平方根的性质：. ④商的算术平方根的性质：. 2、 二次根式的乘法运算公式是什么？ . 3、 二次根式的除法运算公式是什么？ . 4、 如何进行二次根式的加减法运算？ PPT：先化简二次根式，再把被开方数相同的二次根式相加减. 5、 整式乘法有哪些运算法则？ PPT：单项式的乘法，把系数、同底数的幂分别相乘。 单项式乘多项式：a(b+c)=ab+ac. 多项式乘多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. 6、 我们学过的乘法公式有哪些？ 平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b . 完全平方公式：(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b . 二、获取新知，明白算理 1、 出示问题： 甲、乙两城市之间计划修建一条城际公路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽m，下底宽m，高m的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方为多少立方米呢(路基的土石方即等于路基的体积)？ 讲解：路基的土石方就是路基的体积。则路基的土石方=路基横断面面积×路基的长 度，所以，这段路基的土石方为： = ←运用乘法对加法的分配律 = = =. ←运用乘法结合律和交换律 即这段路基的土石方为. 强调：可以看出，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的. 三、例题讲解，深化认知 例3 计算： （1）； （2）. 解：（1） = ←运用乘法分配律 = ←运用二次根式的乘法法则 = ←化简二次根式 =. ← 把被开方数相同的二次根式的系数相加 （2） = ←运用多项式的乘法法则 =. ←把有理数部分、被开方数相同的二次根式分别相加 小结：二次根式与二次根式的和或差相乘，类似于单项式乘多项式；二次根式的和或差与二次根式的和或差相乘，类似于多项式乘多项式.因此，二次根式的混合运算，类似于多项式的乘法运算。 追问：对于某些二次根式，如果具备与用平方差公式或完全平方公式计算的结构特征。可以用乘法公式进行简便运算吗？ 生：可以用乘法公式进行简便运算。 例4 计算： （1）； （2）. 解：（1） = ←运用平方差公式 =1. （2） = ←运用完全平方公式 = = 例5 计算： （1）； （2）. 解：（1） = ←括号内的加减，二次根式先化简 = ←有被开方数相同的二次根式要合并 =5. （2） = ←通分 = ←类似于同分母分数的加减法，把分子相加。 = ←运用平方差公式。 =4. ←分母化成了有理数 提示：合理利用平方差公式，可以把分母化成有理数。 四、课堂练习，能力提升 1、 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】。故选A. 2、 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】===. 3、 计算是（ ） A. 13 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】按照多项式乘法法则计算，结果是。故选D. 4、 计算的结果是（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】D 5、 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】A 6、 计算的结果是 6 . 7、 计算的结果是. 8、 计算的结果是 提示：第2题为易错题，错误原因是直接用前面的数，与括号里面的各数相除。 五、课堂总结，加深印象 1、 二次根式的混合运算的顺序是什么？ 与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的。 2、 二次根式的混合运算的依据有哪些？ 二次根式运算的依据有运算律，二次根式的性质、运算法则、公式和方法等. 3、 二次根式相乘与整式乘法有什么相似点？ 二次根式相乘类似于整式乘法，像用单项式乘法、多项式乘法法则一样进行计算。我们也可以利用平方差公式和完全平分公式进行简便运算，或者把含有二次根式的分母化成有理数的分母。 二次根式的混合运算中的加减法，要先化简；计算结果一定要化成最简二次根式. 六、独立作业，固基提能 （一）第171页课后练习第1、2、3题：做在作业本上。 （二）课外作业：第172页习题5.3B组第5、6题。（指导见配套课件）
板书设计 二次根式的混合运算 1、 二次根式混合运算的顺序：与有理数的混合运算相同； 2、 混合运算的加减法：先化简，再把被开方数相同的二次根式相加； 3、 二次根式的乘法，与整式的乘法类似，运用运算律和乘法公式计算.
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共33张PPT)
5.3 二次根式的加法和减法(2)
湘教版 八年级上
教学目标
1.理解二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的；
2.理解二次根式混合运算中的乘法类似于整式乘法运算；
3.能根据算式特点合理、便捷地进行二次根式的混合运算；
4.在运算的过程中，培养思维的灵活性和方法的多样性.
新知导入
1. 二次根式有哪些性质？
二次根式的非负性：
.
根据平方根的意义得到的性质：
新知导入
.
积的算术平方根的性质：
商的算术平方根的性质：
新知导入
3. 二次根式的乘法运算公式是什么？
4. 二次根式的除法运算公式是什么？
5. 如何进行二次根式的加减法运算？
先化简二次根式，再把被开方数相同的二次根式相加减.
新知导入
6. 整式乘法有哪些运算法则？
单项式的乘法，把系数、同底数的幂分别相乘。
单项式乘多项式：a(b+c)=ab+ac.
多项式乘多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
7. 我们学过的乘法公式有哪些？
平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b .
完全平方公式：(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b .
新知讲解
动脑筋
甲、乙两城市之间计划修建一条城际公路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽m，下底宽m，
高m的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方为多少立方米呢(路基的土石方即等于路基的体积)？
新知讲解
路基的土石方就是路基的体积。则路基的土石方=路基横断面面积×路基的长度，所以，这段路基的土石方为：
即这段路基的土石方为
.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
可以看出：
例题讲解
例3 计算：
(1)
(2)
例题讲解
解：(1)
二次根式与二次根式的和或差相乘，类似于单项式乘多项式.
可以看出：
例题讲解
=
(2)
=
=
二次根式的和或差与二次根式的和或差相乘，类似于多项式乘多项式.
可以看出：
例题讲解
从例3可得，二次根式相乘与多项式的乘法相类似。
于是，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
例题讲解
例4 计算：
=
(1) ；
=
(2)
解：
(1)
利用平方差公式计算，结果是有理数.
可以看出：
例题讲解
(2)
=
=
=
二次根式的和或差的平方，结果两数的平方和是有理数，两数积的2倍是无理数.
可以看出：
例题讲解
例5 计算：
解：(1)
=
(1) ；
(2)
=
=
括号中的加减，如果被开方数相同，可以先加减.
例题讲解
(2)
利用平方差公式，把分母中含二次根式的两数的和乘它们的差，结果化成有理数.
巩固练习
1. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
A
巩固练习
2. 计算的结果是（ ）
A. B. 4
C. D.
C
巩固练习
3. 计算是（ ）
A. B. 12
C. D.
D
巩固练习
4. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
D
巩固练习
5. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
A
巩固练习
6. 计算的结果是 .
7. 计算的结果是 .
8. 计算的结果是 .
提示：第2题为易错题，错误原因是直接用前面的数，与括号里面的各数相除。
课堂总结
1. 二次根式的混合运算的顺序是什么？
与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的。
2. 二次根式的混合运算的依据有哪些？
二次根式运算的依据有运算律，二次根式的性质、运算法则、公式和方法等.
课堂总结
3. 二次根式相乘与整式乘法有什么相似点？
二次根式相乘类似于整式乘法，像用单项式乘法、多项式乘法法则一样进行计算。我们也可以利用平方差公式和完全平分公式进行简便运算，或者把含有二次根式的分母化成有理数的分母。
二次根式的混合运算中的加减法，要先化简；计算结果一定要化成最简二次根式.
作业布置
第171页课后练习第1、2、3题：
1. 计算：
(1) ；
(2)
(3)；
(4).
作业布置
2. 计算：
(1)； (2).
作业布置
3. 计算：
(1) (2)
；
作业布置
第172页习题5.3B组第5、6题：
5. 一个长方形的窗户，如果使得它的宽与高的比值等于，那么看上去就比较美观. 若它的高为m，求它的宽。
窗户的宽为
解：
作业布置
6. 设，.
(1)求，，的值.
(2)求，的值.
作业布置
解：(1)
作业布置
(2)求，的值.
解：
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