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第5章 二次根式复习教案
主备人： 审核人： 课时数：2 本章课时序号：7、8
课 题 一元一次不等式（组）复习 课型 复习课
教学目标 1.进一步掌握二次根式的概念和意义； 2.掌握二次根式的性质和乘除、加减及混合运算法则； 3.能用二次根式的意义和性质求取值范围； 4.能运用二次根式的性质、法则进行化简和运算； 5.能在实数范围内因式分解、解方程(组)、求代数式的值； 6.梳理、系统化知识要点，培养归纳和概括能力.
教学重点 1. 掌握二次根式的概念和意义，求被开方数中未知数的取值范围； 2. 掌握二次根式的性质和乘除、加减及混合运算法则； 3. 系统化知识要点，掌握基本题型，提高灵活、简捷的知识运用能力。
教学难点 1. 求被开方数中未知数的取值范围； 2. 二次根式的性质和二次根式的化简； 3. 正确、灵活地进行二次根式的混合运算和综合应用.
教 学 活 动
一、师生互动，复习要点 知识点1：二次根式的概念和意义： 师问生答，ppt展示： 1、 我们把形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开方数。 2、 二次根式有意义的条件： 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义。 最简二次根式的概念： 满足下述两个条件的二次根式叫作最简二次根式： 被开方数不含开得尽方的因数（或因式）； （2）被开方数不含分母. 注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式. 知识点2： 二次根式的有关性质： 1、 二次根式的双重非负性：，且a≥0. 2、 二次根式的平方：. 3、 一个数的平方的算术平方根： 4、 积的算术平方根的性质：. 5、 商的算术平方根的性质：. 知识点3：二次根式的乘、除法运算 1、 二次根式的乘法运算公式：.. 2、 二次根式的除法运算公式：. 3、 二次根式的乘除法运算顺序：从左至右，或利用乘法交换律、结合律。 4、 二次根式的乘除法运算方法：先把系数、被开方数分别相乘(除)，再把结果化简。 口诀：先乘除，后化简。 知识点4：二次根式的加、减法运算 1、 先把各个二次根式化简乘最简二次根式，再像合并同类项一样，把有理数相加减，把被开方数相同的二次根式相加减. 2、 口诀：先化简，再加减。 知识点5：二次根式的混合运算 1、 二次根式的混合运算的顺序： 与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的. 2、 二次根式的混合运算的依据和方法： ①二次根式的混合运算是依据运算律进行的. ②二次根式相乘类似于整式乘法，可利用多项式乘法法则和乘法公式进行计算。 二、要点突破，巩固提高 类型1：二次根式的概念和意义 例1 【答案】B 【解析】x的取值必须满足，解得不等式组的解集是 x≥-4，故选B 变式题： 【答案】 2 【解析】解析：x的取值必须满足，所以x 6=0，即x=6，于是16 3x=16 3×6= 2. 类型2：二次根式的性质 例2 若，求y x的值 【解析】二次根式是非负数，而y 4y+4=(y 2) 是完全平方式，根据非负数的性质：几个非负数的和为0，则每个非负数为0，得2x+8=0，y 2=0，解得x= 4，y=2，所以y x=6. 学生自己写出解答过程。 例3 下列等式成立的是 （ ） A. = 4 B. =7 C. =6 D. =a+3 【答案】C 【解析】利用平方根的意义进行计算，A的结果应为4，B的结果应为5，D的结果应为|a+3|，故A、B、D错误。 变式题： 填空： （1）= ； （2）= . 【答案】（1）5；（2）π-3。 类型3：最简二次根式和二次根式的化简 例4 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A中被开方数含有平方因数4、B中被开方数含有分母，C中被开方数因式分解后含有平方因数4，D中被开方数不可因式分解，没有平方因式，因此是最简二次根式. 例5 化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）(a＜0). 解：（1）==。 （2）=。 （3）=，∵a＜0，∴|a|=-a，∴原式=-2ab . 类型4：二次根式的加、减法运算 例6 计算：. 解：. 点拨：二次根式的加减法，应先化简，再把被开方数相同的二次根式相加减. 类型5：二次根式的乘、除法运算 例7 计算：. 解：. 点拨：二次根式的乘除法，先把被开方数相乘除，再把结果化简成最简二次根式.注意按从左至右的顺序算。 类型6：二次根式的混合运算 例8 计算： 解： 点拨：二次根式的混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同.先算乘方，再算乘除、最后算加减；有括号先算括号内. 例9 计算：。 解：. 点拨：二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的. 例10 计算： 解：.. 点拨：二次根式混合运算中的乘法可用整式乘法法则计算，而且可运用乘法公式进行简便运算. 例11 计算：. 解：. = =. 点拨：二次根式混合运算结果，分母不含二次根式.把分母化成有理数的方法： ①分母是二次根式时乘这个二次根式；②分母是有理数加减一个二次根式时用平方差公式. 【变试题】当若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，求的值. 解：因为的整数部分x是4，所以它的小数部分y是。所以， 类型7：在实数范围内分解因式 例12 在实数范围内，把下列多项式因式分解： (1)； (2). 解：(1)=； (2). 类型8：在实数范围内解一次方程(组) 例13 解方程组： 解：①×2+②，得 , 解得 . ①-②×2，得 , 解得 . 因此原方程组的解为：. 点拨：实数范围内，解一次方程（组）的方法和步骤与有理数范围内相同，对二元一次方程组仍可用加减法、代入法求解. 类型9：在实数范围内求代数式的值 例14 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）. 解：（1） = = = =5. （2）∵ ，， ∴ ==， . ∴ = = 三、作业布置 复习题5 1、独立作业：第1至6题； 2、指导练习：第7至12题。
板书设计
教学反思
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第5章 二次根式复习
湘教版 八年级上
教学目标
1.进一步掌握二次根式的概念和意义；
2.掌握二次根式的性质和乘除、加减法则及混合运算；
3.能用二次根式的意义和性质求未知数的取值范围；
4.能运用二次根式的相关性质、法则进行化简和运算；
5.能在实数范围内因式分解、解方程(组)、求代数式的值；
6.梳理、系统化知识要点，培养归纳和概括能力.
要点回顾
1. 二次根式的概念：
2. 二次根式有意义的条件：
只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
我们把形如的式子叫作二次根式，根号下面的数叫作被开方数
.
知识点1： 二次根式的有关概念和意义
要点回顾
3. 最简二次根式的概念：
满足下述两个条件的二次根式叫作最简二次根式：
（1）被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.
要点回顾
知识点2： 二次根式的有关性质：
1. 二次根式的非负性：
2. 根据平方根的意义得到的性质：
要点回顾
.
积的算术平方根的性质：
商的算术平方根的性质：
要点回顾
5. 二次根式的乘法法则：
6. 二次根式的除法法则：
(a≥0 ，b≥0)
.
知识点3： 二次根式的乘、除法运算
要点回顾
7. 二次根式的乘法运算：
把根号外的数、被开方数分别相乘。被开方数相乘的积写成完全平方因数(式)与其它因数(式)的积,并把完全平方因数(式)的算术平方根移到根号外面.
8. 二次根式的除法运算：
把根号外的数、被开方数分别相除，并把分子、分母乘同一个数，使被开方数能写成完全平方因数(式)与其它因数(式)的积,最后把完全平方因数(式)的算术平方根移到根号外面.
要点回顾
9. 二次根式的加减法运算：
先把各个二次根式化简乘最简二次根式，再像合并同类项一样，把有理数相加减，把被开方数相同的二次根式相加减.
10. 二次根式的加减法运算口诀：
先化简，再加减。
知识点4： 二次根式的加、减法运算
要点回顾
11. 二次根式的混合运算的顺序：
与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的.
知识点5： 二次根式的混合运算
12. 二次根式的混合运算的依据和方法：
①二次根式的混合运算是依据运算律进行的.
②二次根式相乘类似于整式乘法，可利用多项式乘法法则和乘法公式进行计算。
典例精析
例1 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x＞-4 B. x≥-4
C. x＜-4且x≠-5 D. x≤-5
类型1：二次根式的概念和意义
B
解析：x的取值必须满足，解得不等式组的解集是 x≥-4，故选B
.
变式题： 若式子在实数范围内有意义，则16-3x的值是 .
解析：x的取值必须满足，所以，即，于是
.
-2
典例精析
典例精析
例2 若，求的值
类型2：二次根式的性质
解析：二次根式是非负数，而是完全平方式，根据非负数的性质：几个非负数的和为0，则每个非负数为0.得，=0，解得，，所以.
请同学们自己写出解答过程。
例3 下列二次根式的计算结果正确的是 （ ）
A. B. 7
C. =6 D.
C
典例精析
提示：利用平方根的意义进行计算，A的结果应为4，B的结果应为5，D的结果应为，故A、B、D错误
.
变式题：
填空：(1)；(2) .
5
典例精析
典例精析
例4 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
类型3：最简二次根式和二次根式的化简
D
解析：A中被开方数含有平方因数4、B中被开方数含有分母，C中被开方数因式分解后含有平方因数4，D中被开方数不可因式分解，没有平方因式，因此是最简二次根式.
.
例5 化简下列二次根式：
(1)； (2)；
(3).
典例精析
解：(1)
典例精析
(2)
(3)
例6 计算：
典例精析
解：
点拨：二次根式的加减法，应先化简，再把被开方数相同的二次根式相加减.
类型4：二次根式的加减法运算
例7 计算：
典例精析
点拨：二次根式的乘除法，先把被开方数相乘除，再把结果化简成最简二次根式.注意按从左至右的顺序算。
解：
类型5：二次根式的乘除法运算
例8 计算：
典例精析
点拨：二次根式的混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同.先算乘方，再算乘除、最后算加减；有括号先算括号内.
类型6：二次根式的混合运算
解：
例9 计算：
典例精析
点拨：二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
解：
例10 计算：
典例精析
点拨：二次根式混合运算中的乘法可用整式乘法法则计算，而且可运用乘法公式进行简便运算.
解：
例11 计算：
典例精析
点拨：二次根式混合运算结果，分母不含二次根式.把分母化成有理数的方法：①分母是二次根式时乘这个二次根式；②分母是有理数加减一个二次根式时用平方差公式.
解：
变式题： 若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，求的值.
典例精析
解：因为的整数部分x是4，所以它的小数部分y是。所以，
例12 在实数范围内，把下列多项式因式分解：
(1)； (2).
典例精析
类型7：在实数范围内分解因式
解：(1)
(2)
典例精析
类型8：在实数范围内解方程(组)
例13 解方程组
解：①×2+②得 ，解得，.
①-②×2得 ，解得，.
因此原方程组的解为：
点拨：实数范围内一次方程(组)解法与有理数范围内相同.
典例精析
类型9：在实数范围内求代数式的值
解：(1)
例14 已知，，求下列各式的值：(1)；
(2).
典例精析
(2)∵，，
∴，.
∴
作业布置
复习题5
1、独立作业：第1至6题；
2、指导练习：第7至12题。
板书设计
二次根式
二次根式的概念和意义
二次根式的性质和化简
二次根式的计算及有关问题
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