2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第3章 不等式 期末综合滚动质检卷册（Word含答案解析）

第3章 不等式 期末综合滚动质检卷
一、单选题
1．已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
2．实数 满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若不等式的解为，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
4．已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．9 D．16
5．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（ ）
A．{x|0C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
7．下列说法不正确的是（ ）
A．若都是正数，则
B．若，则
C．若都是正数，且则
D．若，则
8．设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若且，则
11．设为正实数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．在上定义运算，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________.
14．已知且，则的最小值为___________.
15．已知，，，则的最小值为___________.
16．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第_______楼，会有一个最佳满意度.
四、解答题
17．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？
（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.
18．已知不等式的解集为或.
（1）求b和c的值；
（2）求不等式的解集.
19．（1）已知，求的最大值
（2）已知，均为正实数，若，求的最大值
20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求的最小值.
解：利用基本不等式，得到， 于是，当且仅当时，取到最小值.
（1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；
（提示：）
（2）研究上的最小值；
（3）求出当时，的最小值.
21．证明不等式
（1）已知，证明：
（2）设，求证：
22．已知9x2+y2+4xy=10.
（1）分别求xy和3x+y的最大值；
（2）求9x2+y2的最小值和最大值.
参考答案
1．D
【分析】
整理得出，进而得，结合基本不等式即可.
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故选：D．
2．D
【分析】
分别把两个等式转化，写成及的形式，从而比较数的大小.
【解析】由知，
，即；
由知，，
则，即；
综上，
故选：D
3．A
【分析】
由题知，-1,4为方程的两个根，由韦达定理代入求得参数a，b，从而求得结果.
【解析】由题知，-1,4为方程的两个根，
则，解得，
故，
故选：A
4．B
【分析】
求出(x+y)()的最小值，转化为该最小值不小于9，即可解得.
【解析】(x+y)()=1+a++≥1+a+2=(1+)2，
当且仅当=时取等号.
所以(1+)2≥9，所以a≥4.
故选：B
5．B
【分析】
根据定义可得(x＋2)(x－1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.
【解析】根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2故选:B.
6．D
【分析】
根据题意得，进而得，再结合基本不等式求的最小值即可.
【解析】因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选:D．
【点睛】
本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
7．A
【分析】
根据不等式的性质一一判断即可.
【解析】A中，由，当时，，故A错；
B中，由
所以则，故B正确；
C中，由，则
所以得；由 所以即，所以，C正确；
D中，由所以，则，D正确
故选：A
8．D
【分析】
根据，化简，再利用基本不等式即可求解.
【解析】解：，
又，为正数，且，
，
当且仅当“ ”时取等号，
故的最小值为.
故选：D.
9．BD
【分析】
根据基本不等式判断最值．
【解析】时，，A错；
，，当且仅当，即时等号成立，B正确；
同理，但时，等号才能成立，而无解．故2取不到，C错；
，则，，当且仅当，即时等号成立，D正确．
故选：BD．
【点睛】
易错点睛：基本不等式求最值的解题关键是掌握其三个条件：一正二正三相等．
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10．ABD
【分析】
由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.
【解析】对于A，若，则，即，故A正确；
对于B，若，则，，
所以，故B正确；
对于C，若且，则，
所以，故C错误；
对于D，若且，则，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．AD
【分析】
A．将变形为并结合正负进行分析；B．利用基本不等式的变形进行分析；C．举例说明是否正确；D．作差法说明是否正确.
【解析】A．由为正实数，，故，故正确；
B．因为，所以（取等号时），故错误；
C．取，则，但不成立，故错误；
D．，
因为且，所以，所以，故正确，
故选：AD.
【点睛】
本题考查根据已知条件判断不等式是否正确，主要考查学生的分析与计算能力，难度一般.常见的比较大小的方法：作差法、作商法.
12．ABC
【分析】
根据不等式的性质和反比例函数单调性可确定正确；通过反例可知错误.
【解析】对于，在上单调递减，当时，，正确；
对于，当时，；当时，，则时，；
综上所述：若，则，正确；
对于，若，则，，，正确；
对于，若，则，，不满足，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.
13．
【分析】
根据定义的运算化简原不等式，再结合二次函数的性质即可求解.
【解析】因为，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，
所以，不等式恒成立，
即，不等式恒成立，
所以，即，
解得：，
所以实数的取值范围是．
故答案为：
14．
【分析】
令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
【解析】解：令，，因为，所以，
则，，所以,
所以
，
当且仅当，即，，即时取“”，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】
由已知得，则，再利用基本不等式可得答案.
【解析】因为，，，
所以，由得，，
则，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为，
故答案为：.
16．
【分析】
设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，可得出，利用基本不等式结合双勾函数的单调性可求得结果.
【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，
，当且仅当，即时取等号，
但考虑到，所以，当时，当时，
即此人应选楼，不满意度最低.
故答案为：.
【点睛】
利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
17．（1）400吨；（2）该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【分析】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，化简后再利用基本不等式即可求出最小值．
（2）该单位每月获利为元，则，由的范围，利用二次函数的性质得到的范围即可得结论．
【解析】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元.
（2）不获利，设该单位每月获利为元，
则
，
因为，
所以时取最大值，时取最小值，
所以.
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【点睛】
方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
18．（1）；；（2）
【分析】
（1）利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出1，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出，的值
（2）将，的值代入不等式，将不等式因式分解，求出二次不等式的解集．
【解析】解：（1）不等式的解集为或
，2是方程的两个根
由根与系数的关系得到：；；
（2）因为，所以
所以，所以
所以的解集为．
19．（1）4；（2）1．
【分析】
（1）由题意可得，再根据基本不等式即可求出；
（2）根据基本不等式可得，解得即可求出的最大值．
【解析】解：（1）已知，∴．
∴
∴，
当且仅当，即时等号成立．
∴
∴
∴时，取得最大值为4
（2）解：∵，，
∴
当且仅当，
即时，等号成立，
∴
∴
∴的最大值为1
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据新定义可得，求解即可；
（2）根据新定义可得，求解即可；
（3）根据新定义可得，求解即可．
【解析】（1）由，
知，
当且仅当时，取到最小值；
（2）由，
知
当且仅当时，取到最小值；
（3）由，
知；
当且仅当时，取到最小值．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将展开利用基本不等式即可证明；
（2）再利用基本不等式即可证明.
【解析】（1），
当且仅当即时等号成立；
（2）因为
所以
当且仅当，， 时等号成立.
【点睛】
关键点点睛：第一个不等式是常见类型展开即可，第二问关键点是将不等式整理变形，
即可用基本不等式证明.
22．（1）的最大值为1，的最大值为；（2）最小值为6，最大值为30
【分析】
（1）利用基本不等式可求的最大值.
（2）利用可求的最值.
【解析】（1）因为，所以，
因为，故，
所以，当且仅当或时等号成立，
故的最大值为1.
又，而，
所以，故，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
（2）由题设有，
因为，故，
整理得到，当且仅当或时等号成立.
故的最小值为6.
又，故，
故，当且仅当或时等号成立.
故的最大值为30.
【点睛】
本题考查基本不等式在求最值中的应用，在使用基本不等式的过程，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑，本题属于中档题.