2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数 期末综合滚动质检卷（Word含答案解析）

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 期末综合滚动质检卷
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，其图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．以下关于函数的说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（ ）
A．10% B．30% C．60% D．90%
二、多选题
9．设，，，且，则下列等式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，增长速度一直快于
D．当时，增长速度有时快于
11．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题
13．已知定义在上的函数的图像关于对称，且当时，单调递减，若，，，则的大小关系是_____
14．函数的图象一定过定点，则点的坐标是________.
15．若函数（且），满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为___________．
16．函数的图像恒过定点的坐标为_________.
四、解答题
17．已知函数的表达式为
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求实数a的值．
18．已知.
（1）若，求的值；
（2）记，
①求的定义域，并求的最大值；
②已知，试比较与的大小并说明理由.
19．已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域；
（2）若存在，使，求实数的取值范围.
20．已知函数，函数.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）是否存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由；
（3）当时，求函数的最小值.
21．已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围．
22．已知幂函数，且在上是减函数．
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用对数函数的性质比较大小即可.
【解析】，，，，
.
故选：C.
【点睛】
知识点点睛：当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.
2．C
【分析】
由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.
【解析】由题意可知:，解之得:且.
∵Z，∴的取值范围为.
故选：C.
3．A
【分析】
利用排除法，首先根据解析式判断函数的对称性，再确定时的符号，即可确定函数图象.
【解析】由，知：关于原点对称，排除B、D；当时，，排除C.
故选：A
4．A
【分析】
分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在上的单调性，结合题意可得出合适的选项.
【解析】对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；
对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，②不满足条件；
对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，
当时，；当时，，则函数的值域为，
函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；
对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件.
故选：A.
5．A
【分析】
先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值选出正确答案.
【解析】对于，
∵，
∴为偶函数，图像关于y轴对称，排除D；
由，排除B；
由，排除C.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
6．B
【分析】
利用奇偶性求出，，讨论和的单调性求最值可得恒成立，则不等式恒成立等价于.
【解析】，，
是偶函数，分是奇函数，，
可得，，
则不等式为，
令，令，由对勾函数的性质可得在单调递增，
则在单调递增，则，
对于，因为单调递增，单调递增，在单调递增，，
恒成立，
则不等式，解得，
，即.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为即可求解.
7．D
【分析】
利用特殊值法可判断ABC选项的正误，利用指数幂的运算性质可判断D选项的正误.
【解析】对于A选项，取，则，，
此时，A选项错误；
对于B选项，取，则，，
此时，B选项错误；
对于C选项，取，则，，
此时，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
8．B
【分析】
根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【解析】解：当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选：B
9．AD
【分析】
由指数幂的运算公式进行判断
【解析】解：由指数幂的运算公式可得，，，所以AD正确，B错误，
对于C，当为奇数时，，当为偶数时， ，所以C错误，
故选：AD
10．BD
【分析】
由指数函数，幂函数，一次函数的图像特点逐一分析即可．
【解析】如图
对于，
从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；
由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，增长速度有时快于，C错误．
故选：BD．
11．ACD
【分析】
由指数幂的运算性质判断A，B，由指数函数的单调性判断C，由指数幂和根式的互化结合基本不等式判断D．
【解析】对于A，，，，正确；
对于B，，，，错误；
对于C，在定义域中单调递增，，正确；
对于D，，又，则，正确；
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查指数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将指数幂形式化为根式，即，利用指数幂的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
12．BC
【分析】
由判断A；由奇函数的定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D．
【解析】，，
，则不是偶函数，故A错误；
的定义域为，
，
为奇函数，故B正确；
，
又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；
，，则，可得，
即．
，故D错误．
故选：BC．
【点睛】
关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
13．
【分析】
先判断函数为偶函数，根据对数函数与指数函数性质，得到，再由函数单调性，即可得出结果.
【解析】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，
∵，∴，
∴，，，
即，
∵当时，单调递减，∴，即，
故答案为：.
14．
【分析】
令，得，再求出即可得解.
【解析】令，得，，
所以点的坐标是.
故答案为：
15．
【分析】
由题意可知，函数在上单调递减，利用复合函数的单调性分析出外层函数的单调性，再由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【解析】由题意可知，函数在上单调递减，
由于内层函数在区间上单调递减，
所以，外层函数单调递增，则，
且当时，恒成立，即，
，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键点：
（1）对底数进行分类讨论；
（2）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；
（3）不要忽略了真数要恒大于零.
16．(1,2)
【分析】
令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标．
【解析】令得：，
此时，
所以函数的图象恒过定点，
故答案为：．
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组，解不等式组即可求得函数的定义域；
（2）根据对数的运算法则化简函数的解析式，利用对数函数的单调性，求出函数的最小值，列出关于的方程，解出即可.
（1）
令，
解得，
所以函数的定义域为．
（2）
，令．
当时，，等号当且仅当时成立．
又，所以对数函数在区间上为严格减函数．
因此，当，即时，函数取到最小值．
由题意，可知，解得．
18．（1）；（2）①，；②，理由见解析.
【分析】
（1）根据对数的运算性质解得，舍去负值可得结果；
（2）将化为，利用为增函数可得，，即.
【解析】（1）由已知得，，，
∴，，
∴，但，∴.
（2）①，由，得，∴的定义域.
由于，
∴当时，，
②由，得，
即，
因为，
所以，
考虑函数，所以，
因，，都是增函数，所以为增函数，∴，∵，
故始终有成立.
【点睛】
关键点点睛：令，转化为，利用单调性求解是解题关键.
19．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据奇函数性质，结合复合函数的单调性，即可得解；
（2）根据题意，分以及两种情况讨论，即可得解.
【解析】（1）∵函数为奇函数，∴，∴.
∴，
∴为奇函数成立，∴.
此时，
由为增函数，根据同增异减原理可得在上单调递增，
∵，∴
∴，∴，
∴，∴
（2）.
①当时，恒大于等于1，故不成立.
②当即时，在上为增函数，且值域为.
（ⅰ）当即时，只要即可，
∴，∴.
（ⅱ）当即时，只需要，
∴.
综上所述，.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性和单调性，考查了分类讨论思想和较高的计算能力，属于较难题.
解决本类问题的关键有：
（1）复合函数的同增异减原理的应用；
（2）分类讨论等逻辑思维的综合应用.
20．（1）；（2）存在，；（3）答案不唯一，见解析.
【分析】
（1）根据函数定义域为，转化为恒成立，分类讨论求解；
（2）根据二次函数单调性可得，求解即可；
（3）换元，令，分类讨论求二次函数的最小值即可.
【解析】（1）∵定义域为，即恒成立
∴， 或得
综上得
（2）的定义域为，值域为
∴ ，解得.
（3）令，则
若，则；
若，则；
若，则；
【点睛】
关键点点睛：涉及指数型复合函数的单调性最值问题，多采用换元法，能够使问题简捷，突出问题本质，大多转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质，体现转化思想，属于中档题.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用幂函数定义求参数a的值，再根据偶函数的性质确定a值，即得解析式；
（2）利用二次函数性质列关系，即解得参数范围.
【解析】解：（1）由题意，解得或，
时，不是偶函数，舍去，时，是偶函数，
所以；
（2）， 的对称轴是.
若在上不是单调函数，则，
故实数的取值范围是.
22．（1）；（2）或．
【分析】
（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，
（2）令，根据其单调性即可求解结论．
【解析】解：（1）函数是幂函数，
，
即，
解得或，
幂函数在上是减函数，
，
即，
，
（2）令，因为的定义域为，，，且在和上均为减函数，
，
或或，
解得或，
故的取值范围为：或．