2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第8章 函数应用 期末综合滚动质检卷（Word含答案解析）

第8章 函数应用 期末综合滚动质检卷
一、单选题
1．已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，有下列四个结论：
①对任意，恒成立；
②对任意，方程有两个不相等的实数根；
③存在函数使得的图象与的图象关于直线对称；
④对任意，函数在上有三个零点.
则上述结论中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
5．已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在，上零点的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间，上，当时，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过（ ）
A． B． C． D．
7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： ）（ ）
A．2017年 B．2018年 C．2019年 D．2020年
8．已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是(a>0且a≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题，其中正确的有（ ）
A．池塘中原有浮草的面积是0.5平方米
B．第8个月浮草的面积超过60平方米
C．浮草每月增加的面积都相等
D．若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3
10．已知函数，则（ ）
A．函数有两个不同的零点
B．函数在上单调递增
C．当时，若在上的最大值为8，则
D．当时，若在上的最大值为8，则
11．下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）已知是定义在R上的函数，下列命题正确的是（ ）
A．若在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且在内有零点，则有
B．若在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，则其在内没有零点
C．若在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点
D．若在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点
E.若在区间上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又成立，则其在内有且只有一个零点
三、填空题
13．某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为：声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为______分贝．（精确到0.1分贝）
14．若方程的实根在区间上，则_______.
15．已知函数则函数的零点个数为_______
16．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg2≈0.3010)
四、解答题
17．某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需要投入万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等：
（1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；
（2）求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大
18．已知函数.
（1）若，求；
（2）若在内存在零点，求的取值范围；
（3）若对恒成立，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最小值为－4，求的值.
20．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的零点；
（Ⅱ）若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；
（Ⅲ）若函数在区间上的最小值为，求实数的值．
21．某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：件）满足（注：总收益=总成本+利润）
（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；
（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
22．已知函数的零点位于区间.
（1）求的值；
（2）由二分法，在精确度为0.1的条件下，可以近似认为函数的零点可取内的每一个值，试求的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
直接利用零点存在性定理求解即可
【解析】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，
所以，即
解得，
故选：B
【点睛】
此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题
2．C
【分析】
①根据解析式计算；②画出函数的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数.
【解析】①函数的定义域是，，故①正确；
②，函数的图象如图所示：
与函数图象有2个交点，故②正确；
③设函数上的任一点为关于的对称点为在函数上，
则，当时，，当时，，当时，或，存在一个对着两个的值，所以不存在函数使得的图象与的图象关于直线对称，故③不正确；
④，
当时，满足方程，所以方程的一个实数根是，
当时， ，，当时，， ，
所以满足方程的有三个实数根据0，，所以函数有3个零点，故④正确.
故正确的个数有3个.
故选：C
【点睛】
本题考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型.
3．B
【分析】
的零点即方程的根，设，则，先解方程的根t，再根据图像数形结合的解的个数即可.
【解析】函数，的零点即的根，
设，则，先解方程的根t，再计算的解.
时得；时得.
如图所示，函数的图像，
方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.
4．D
【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为，故选D．
5．B
【分析】
根据题目条件，作出函数的图象即可.
【解析】依题意，作出函数的图象，如图所示，
由图象可知，的图象在，内与轴的交点有6个．
所以在，上的零点有6个．
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
6．B
【分析】
根据函数的零点总位于区间，上，则由或求解.
【解析】根据题意，函数的零点总位于区间，上，即，，零点近似值，
若，，则，即有；
同理当，时，也有；
综合可得：，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二分法求函数的零点问题，属于基础题.
7．D
【分析】
先设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，根据题意，得到，求解，即可得出结果.
【解析】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，
由题意可得，则，
即，
因为，
所以，故.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查指数函数模型的应用，涉及对数的运算，属于基础题型.
8．B
【分析】
转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可
【解析】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
9．ABD
【分析】
由函数的图像可知，函数的图象经过(2，2)，所以，解得a=2，从而可得函数的解析式为，然后利用函数的解析式逐个分析计算即可得答案
【解析】浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是 (a>0且a≠1)，函数的图象经过(2，2)，所以，解得a=2.
当t=0时，y=，故选项A正确;
当第8个月时，，故B正确;
当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，故每月增加的面积不相等，故C错误.
根据函数的解析式，解得t1=log210+1，
同理t2=log220+1，t3=log230+1，
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t3=log2300+2，所以2t2>t1+t3.故D正确.
故选：ABD
【点睛】
此题考查指数型函数模型的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
10．ACD
【分析】
根据判别式判断A选项的正确性，根据二次函数的开口和对称轴判断B选项的正确性.利用换元法，结合二次函数的性质，判断CD选项的正确性.
【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式
，
所以函数有两个不同的零点，A正确；
因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，
所以在上单调递增，B不正确；
令，则.
当时，，故在上先减后增，
又，故最大值为，
解得（负值舍去）.
同理当时，，在上的最大值为，
解得（负值舍去）.
故C，D正确.
故选：ACD．
【点睛】
本小题主要考查二次函数有关性质，考查指数型复合函数的性质，属于中档题.
11．BD
【分析】
先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.
【解析】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.
对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；
对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；
对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；
对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，
，
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.
12．DE
【分析】
根据函数的零点的概念，以及函数零点的存在定理，逐项判定，即可求解，得到答案.
【解析】对于A中，函数在内有零点，但是，故A不正确；
对于B中，函数，满足，在内有零点，故B不正确；
对于C中，若在区间上的图像是条连续不断的曲线，，，且在上恒成立，此时满足，但是其在内没有零点，故C不正确
对于D中，若在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，根据零点的存在定理，可得在内有零点，故D是正确的；
对于E总， 若在区间上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又成立，根据零点的存在定理，在内有且只有一个零点，故E是正确的.
故选DE.
【点睛】
本题主要考查了函数零点的判定，以及零点的存在定理的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用函数零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
13．83.0．
【分析】
根据一台机器发出的噪声声强级求出I，进而求出两台机器发出的噪声声强级.
【解析】根据题意，，则两台相同的机器一同运转时，发出的噪声声强级为（分贝）
故答案为：83.0.
14．-2或1
【分析】
依题意可得，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，结合函数图象即可判断方程的根所在区间，即可得解；
【解析】解：由于方程，显然，所以，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，
由图象上可得出：方程在区间和内各有一个实根．
所以或
故答案为：或．
15．
【分析】
先求出的解析式，再分段解方程即可得零点，即可求解.
【解析】当即时，
，
当即时，
，
所以
当时，令，可得：或（舍）
此时有 个零点；
当时，令，可得或，
所以或都满足，
此时有个零点，
综上所述函数的零点个数为，
故答案为：.
16．14
【分析】
先列出指数关系式，再两边取对数可得答案．
【解析】：由题意列式，两边取对数得，．
即至少需要过滤的次数为14．
【点睛】
本题主要考查指数式与对数式的互化．属基础题．
17．（1）；（2）当年广告费投入8万元时，企业年利润最大
【分析】
（1）用年销售额减去广告费用和投入成本得出利润；
（2）利用基本不等式求出利润最大值及其对应的的值．
【解析】解：（1）
，
即
（2），
当且仅当时，即时取等号，
答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为万元．
【点睛】
本题考查了基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先求出，直接利用赋值法求出函数的值．
（2）利用函数的零点存在性定理列不等式，进一步进行关系式的转换，从而得到的取值范围．
（3）利用函数的关系式的转换得到对，恒成立，不等式恒成立问题的应用求出结果．
【解析】（1）函数．
由于：，
所以：，
解得：．
所以：．
故：（1），
，
即：（1）；
（2）在，内存在零点，
所以：（2），
即：，
解得：．
（3）由于：，
转换为：，
即：对，恒成立，
所以：，
整理得：．
所以：的取值范围是：．
【点睛】
本题主要考查函数的解析式、零点存在性定理的应用，不等式恒成立问题的应用，一元二次不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19．（1）（－3，1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值.
【解析】（1）由已知得，解得所以函数的定义域为（－3，1）.
（2），
令，得，即，解得，
∵，
∴函数的零点是
（3）由（2）知，，
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴.
【点睛】
本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键.
20．（Ⅰ）1和3 （Ⅱ） （Ⅲ）或.
【分析】
（Ⅰ）代入a的值，令即可求得函数的零点.
（Ⅱ）根据可知函数的对称轴为，进而求得a的值，即可得到解析式.
（Ⅲ）讨论对称轴与区间的位置关系，结合单调性和最小值，即可求得a的值..
【解析】（Ⅰ）当时， ，
由可得或，所以函数的零点为1和3．
（Ⅱ）由于对任意实数恒成立，
所以函数图像的对称轴为，即，解得．
故函数的解析式为．
（Ⅲ）由题意得函数图像的对称轴为．
当，即时， 在上单调递减，
所以，解得．符合题意．
当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去．
当，即时， 在上单调递增，
所以，解得．符合题意．
所以或．
【点睛】
本题考察函数零点的求法；学会根据函数等式分析函数对称轴，继而利用对称轴求参数值；根据二次函数区间上的最值求参数
21．（1）；（2）月产量为300件时，最大利润为25000元
【分析】
（1）由题意可知总成本是，根据利润=总收益-总成本，列分段函数；
（2）由（1）的分段函数，分别求每段函数的最大值，比较最大值就是最大利润.
【解析】（1）依题意，总成本是元，
所以，即
（2）由（1）知，当时，，
所以当时，；当时，.
故当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.
综上可知当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.
【点睛】
本题考查分段函数的应用问题，意在考查抽象和概括能力，属于基础题型.
22．（1）；（2）
【分析】
（1）结合函数的单调性及零点存在性定理,易得在区间内有唯一零点,即可求得的值;
（2）由是的零点,可得,进而,结合二次函数的性质,可求得答案.
【解析】（1）∵在内单调递增,
又,,
由函数零点存在性定理可知,在区间内有唯一零点.
又的零点位于内,
∴.
（2）∵是的零点,即,∴,
由（1）知,则,
∴,
∵二次函数在区间上是减函数,
,,
∴函数在区间的值域为.
故的取值范围是.
【点睛】
本题考查了零点存在性定理的应用,考查了函数的单调性与值域,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.