人教版 四年级上册数学 多边形和多位数除法复习学案 （无答案 PDF版）
文档属性
| 名称 | 人教版 四年级上册数学 多边形和多位数除法复习学案 （无答案 PDF版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 602.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 19:55:56 | ||
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文档简介
多边形和多位数除法复习
多种多样的四边形
一天，大侦探福尔摩斯来平行四边形先生家作客，走进院子，看到一大群四边形孩子正在玩耍。
福尔摩斯问平行四边形先生道：“平行四边形先生，这些孩子都是你们家的吗？”
平行四边形先生说：“我们家哪有这么多孩子呀！都说你是神探，你能从中辨别出哪些是我们平行四
边形家族的成员吗？”
神探福尔摩斯答道：“那我就试试吧！不过我有个要求，他们必须说说各自的特征。”
“当然可以。”平行四边形先生爽快地答道。只见平行四边形先生安排院子里的孩子们依次过来。
四边形 1 说：“我的两组对边分别平行。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 2 说：“我的两组对边分别相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 3 说：“我有一组对边平行且相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 4 说：“我的两组对边角分别相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 5 说：“我的对角线互相平分。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 6 说：“我有一组对边平行，另一组对边相等。”
福尔摩斯判断说：“这个不是。”
四边形 7 说：“我有一组对边相等，且有一组对角相等。”
福尔摩斯判断说：“这个不是。”
四边形 8 说：“我有一组对边平行，且有一组对角相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
"真是名副其实的神探。”平行四边形先生称赞道：“神探的判断完全正确，咱们回屋再叙。”
一边说一边走，二位老友径直向客厅迈去。
1、结构图
垂直与平行
多边形
平行四边形和梯形
多边形和多位
数除法复习 多位数除法的计算
多位数的除法 商不变性质和商的变化规律
除法应用题
2、本节课要点
（1）掌 握垂直与平行概念、理解最短距离；能熟练区分各种不同的四边形并学习简单计数。
（2） 掌握多位数计算、商的变化规律，能熟练分析除法应用题。
模块一 垂直与平行
1、垂 直与平行：
①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
例一：“直线 A 和直线 B 是平行线；直线 A 的平行线是直线 B”
②如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两
条直线的交点叫做垂足。
例二：“直线 A 和直线 B 相互垂直；直线 A 是直线 B 的垂线；点 C 是垂足。”
2、画 垂线：
① 例一：过直线上一点画这条直线的垂线：
② 例二：过直线外一点画这条直线的垂线
③ 例三：把直线外一点 A 与直线上任意一点连接，所画线段哪个最短？
小结：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
即“点 A 到直线所画的垂直线段最短；点 A 到这条直线的距离是 10 厘米”
3
3、画 平行线：
① 例一：过直线外一点画平行线：
② 例二：在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长度特点？
小结：两条平行线之间的距离是相等的。
重难点：理解最短距离，能够知道点到直线垂线段最短以及两点之间线段最短，并对其进行应用
易错点：概念理解
【例1】
1、平行：在_ __内_ _____的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线__ _____。
2、垂直：两条直线相交成__ __时，这两条直线就__ ______。其中一条直线叫做另一条直线的___
____，他们的交点叫做___ ____。
3、两条直线相交成直角时，两条直线互相（ ），其中一条直线是零一条直线的（ ），这两
条直线的交点叫做（ ）。
4、从直线外一点到这条直线所有的线段中，（ ）最短，它的长度叫作点到直线的（ ）。
5、过一点画已知直线的垂线可以画（ ）条，过一点画已知直线的平行线可以画（ ）条，已知直线
的垂线和平行线有（ ）条。
【巩固1】
1、选择：
（1） 同一平面有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线（ ）。
A、相互垂直 B、相互平行 C、相交
（2） 长方形的长和宽相互（ ）。
A、垂直 B、垂直且平行 C、既不垂直也不平行
（3） 右图的正方形里画了两条对角线，这里互相垂直的线有（ ）组，互相平行的线有（ ）组。
A、5 B、1 C、4 D、2
2、判断
（1） 相交的两条直线是相互垂直的。 （ ）
（2） 相互垂直的两条直线一定相交。 （ ）
（3） 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直的线段最短。 （ ）
（4） 若两条直线所成的角是 90°，则这两条直线相互垂直。 （ ）
4
【例2】
（1）已知平行四边形的两条边，用做平行线的方法画出另两条边。
（2）请帮小鹿设计一条去小河边最近的路。
【巩固2】
（1）已知长方形的两条边，用做垂线的方法画出另两条边。
（2）已知 l1 和 l2 相互平行，图中两条平行线之间那条线段最短？哪条线段最长？那两条线段长度相等？
模块二 平行四边形与梯形
5
一、平行四边形
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行且相等
②平行四边形的对角相等，两邻角互补。
③平行四边形的两条对角线互相平分
3、特殊的平行四边形：长方形，正方形。
4、四个角都是直角的四边形叫长方形。
5、四个角都是直角，并且四条边都相等的四边形叫正方形。
6、所有四边形的内角和都是 360 度
7、平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平
行四边形的高。垂足所在的边叫做平行四边形的底。
8、从一条边上的任意一点都可以向它的对边画高，所以平行四边形和梯形有无数条高。
9、 平行四边形容易变形，它不具有稳定性。
二、梯形
1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。在梯形中，平行的两边叫做底，（较短
的底叫做上底，较长的底叫做下底），不平行的两条边叫做腰，两底之间的距离叫做高。
× D C
ü ü
A B
× 直角梯形 等腰梯形 E 图 1 F
2、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
4、注意：在等腰梯形中不可能有直角，在直角梯形中不可能有相等的腰，等腰梯形和直角梯形都是特殊的
梯形，等腰梯形特殊在腰上，直角梯形特殊在角上。
6、画高的方法：梯形高的画法，相当于过直线外一点画已知直线的垂线。这点和垂足之间的线段就是图形
的高。
6
7、从一条边上的任意一点都可以向它的对边画高，所以梯形也有无数条高。但通常是从一个顶点向它的对
边画高。
三、 四边形分类
1、四边形之间的关系：
长方形
平行四边形
正方形
四边形
梯形
不规则四边形
2、图形表示：（见右图）
平行四边形
长方形 梯
形
正方形
四边形
3、四边形的相同和区别
相同点 不同点
平行四边形 两组对边分别 长宽不一定相等，每个角也不一定相等。
平行且相等,
长方形 都是四边形 长宽不一定相等，每个角都是直角
正方形 长宽相等，每个角都是直角
梯形 是四边形 只有一组对边平行
重难点：平行四边形和梯形的简单计数以及周长
易错点：四边形得分类以及平行四边形的特征
7
【例3】
1、判断
（1） 平行四边形有无数条高，而梯形只有一条高。（ ）
（2）等 腰梯形的对边相等。（ ）
（3）有 一组对边平行的四边形都是平行四边形。（ ）
（4） 所有的正方形都是平行四边形。（ ）
2、用一条线段将梯形分为：
（1） 两个三角形；
（2）一 个三角形和一个平行四边形；
（3）一 个三角形和一个梯形；
（4）两 个梯形。
【巩固3】
1、选择
（1）在 梯形纸上剪一刀，剪下的两个图形不可能出现的是（ ）
A、两个都是平行四边形 B、一个是梯形一个是平行四边形
C、一个是梯形一个是三角形 D 、两个都是三角形
（2） 在梯形中，互相平行的一组对边叫做梯形的（ ）
A、腰 B、上底和下底 C、高
（3） 下面图形中，四个角都相等的是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C 梯形
（4） 四边形可以分为三类，即任意四边形、梯形和（ ）
A、正方形 B、长方形 C、平行四边形
（5）把 一个长方形铝丝框架拉成一个平行四边形，他的周长会（ ）
A、变大 B、变小 C、不变 D 无法确定
（2）在下面两条平行线之间画一个最大的正方形。
8
【例4】
（1）已知平行四边形的周长是 48 厘米，其中一条长是 9 厘米，另外三条边分别是多少厘米？
（2）一个平行四边形的周长是 28 分米，长边和短边的长度相差 2 分米，长边和短边分别是多少分米？
【巩固4】 一个等腰梯形上底为 24 厘米，比下底短 15 厘米，腰为 20 厘米，这个梯形的周长是多少厘米？
【例5】数 一数
有（ ）个梯形 有（ ）个梯形，（ ）个平行四边形
【巩固5】
有（ ）个梯形，（ ）个平行四边形
模块四 多位数除法计算
口算除法（整十除整十）
1、根据乘除法的关系，用乘法算除法（商=除数×商）；
2、先不考虑被除数和除数个数上的 0，当做是两位数除一位数（或一位数除一位数）
9
估算除法
估算除数是两位数的除法时，一般把被除数看成是和它接近的整百或整十数，把除数看成是和它接近的整十
数，再口算得出结果（被除数和除数求近似数后为整倍数关系）。
一、除数是两位数的除法计算方法：
除数两位看两位，两位不够看三位，除到哪位商哪位，每次除完要比较，余 数要比除数小。
注释：
1)除 的顺序：先用除数试除被除数的前两位数，如果前两位数比除数小，再除前三位数。
2)商 的位置：除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
3)余 数的大小：每求出一位商，余下的数必须比除数小
二、试商：
1)除 数不是整十(或整百)的两位数除法时，先用“四舍五入”把除数看做整十(或整百)数来试商；
2)如 果商与除数的积比被除数大，说明商大了，要调小；
3)如 果被除数减去商与除数的积后，余数等于或大于除数，说明商小了，要调大。
三、被除数、除数、商及余数的关系：
1) 没有余数时：除数=被除数÷商 商=被除数÷除数
2)有 余数时：余数=被除数－商×除数
商=（被除数－余数）÷除数
除数=（被除数－余数）÷商
重难点：多位数除法的笔算方法
易错点：口算注意商不要丢 0 或添 0；笔算注意商的位置书写；每一步注意看余数是否比除数小。
【例6】
（1）90÷30= 40÷10= 120÷20= 160÷40=
160÷20= 700÷10= 600÷50= 660÷6=
（2）149÷50≈ 180÷32≈ 353÷70≈ 720÷87≈
590÷29≈ 603÷31≈ 718÷8≈ 494÷50≈
（3）3（ ）8÷50≈7 5（ ）2÷60≈9 3（ ）4÷70≈5
10
0
（4）竖式计算
567÷27= 966÷23= 490÷14= 410÷17=
【巩固6】
（1）450÷90= 300÷15= 880÷40= 2700÷90=
630÷9= 4800÷6= 180÷920= 0÷8=
（2）353÷50≈ 279÷38≈ 560÷69≈ 495÷71≈
149÷5≈ 485÷7≈ 352÷7≈ 809÷9≈
（3）6（ ）9÷80≈8 4 （ ）8÷90≈5 4 （ ）3÷50≈9
（4）竖式计算
800÷25= 901÷17= 954÷18= 815÷18=
【例7】
（1）5 47÷25 商是（ ）位数，商的最高位在（ ）位上。
（2）一 个数除以 49，如果有余数，这个余数最大可以是（ ）。
（3） □69÷72 要使商是一位数，□里最大填（ ）。
（4）甲 数是乙数的 12 倍，①如果乙数是 24，那么甲数是（ ），②如果甲数是 60，那么乙数是（ ）。
（5） 一个数除以 6，余数可能是（ ），最大是（ ）。
（6） 三位数除以两位数，所得的商最多是（ ）位数，最少是（ ）位数。
（7）计 算 814÷19 时，可以把 19 看作（ ）来试商。
（8） □325÷47，要使商是两位数应填（ ）；要使商是三位数应填（ ）。
【巩固7】
（1） 要使 3□6÷34 的商是一位数，□里可以填（ ）；要使 523÷□4 的商是两位数，□里
可以填（ ）。
（2）甲 数的 17 倍是 850，甲数是（ ）。
11
1
（3）□ ÷75=75……（ ），当余数最大时，被除数是（ ）
（4）1 32÷24 的商是（ ）位数；384÷16 的商是（ ）位数。
（5） □÷○=18…23，除数最小是（ ），此时被除数是（ ）。
（6） （ ）÷40=6……20 712÷（ ）=50……12
（7） □÷23=7……□，被除数是（ ）时，余数最大，此时余数是（ ）；
□÷□=6……31，除数是（ ）时，被除数最小，此时被除数是（ ）
模块五 商不变性质和商的变化规律
一、除法的商不变性质：
被除数和除数同时乘或者除以一个相同数（0 除外），商不变。
注意：用商不变性质时，商不变，但余数随着被除数、除数的扩大或缩小而扩大或缩小相应倍数
二、商变化规律：
（1）被除数不变，除数扩大或缩小几倍（0 除外），商反而缩小或扩大几倍。
如：
72 ÷ 8 = 9
×10 ×10 商不变
720 ÷ 80 = 90
（2）除数不变，被除数扩大或缩小几倍（0 除外），商也扩大或缩小几倍。
注：商与被除数反向变化，与除数同向变化。
如:
64 ÷ 4 = 16
÷4 ×2 商÷4 再÷2，综合为÷8
16 ÷ 8 = 2
重难点：掌握并运用商的变化规律
易错点：注意区分商的变化规律与积的变化规律
【例8】 填空
（1） 两个数的商是 30，如果被除数和除数都扩大 4 倍，则商是（ ）
（2） 两个数的商是 30，如果除数扩大到原来的 10 倍，被除数不变，则商是（ ）
（3） 两个数的商是 400，被除数扩大到原来的 8 倍，除数不变，商是（ ）
（4） 两个数的商是 200，余数是 3，被除数和除数同时扩大 10 倍，商是（ ），余数是（ ）
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2
【巩固8】
1、判断
（1） 被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。（ ）
（2） 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商和余数都不变。 （ ）
（3） 两数相除的商是 20，被除数和除数同时乘 2，商是 40。（ ）
（4）6 0÷12=（60 ÷ 3）÷（12×3） （ ）
2、填表
被除数 扩大 10 倍 缩小 20 倍 扩大 10 倍 扩大 10 倍 扩大 100 倍
除数 扩大 10 倍 缩小 5 倍 扩大 100 倍 缩小 10 倍
商 不变 缩小 10 倍 扩大 50 倍
模块六 除法应用题
常用数量关系（公式）：
（1）速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间
（2）工作效率×时间=工作总量 工作总量÷时间=工作效率 工作总量÷工作效率=时间
（3）单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量
（4）每份数×份数=总数 总数÷份数=每份数 总数÷每份数=份数
重难点：公式的记忆以及熟练运用
易错点：区分公式的乘法和除法
【例9】
（1）1 包 A4 纸有 500 张，每 22 张订成 1 本练习本。1 包纸最多可以订几本这样的练习本？再添上几张纸
就可以多订 1 本练习本？
（2）从武汉到某地，水路 212 千米，公路 432 千米。一艘轮船 3 小时行驶 159 千米，一辆公共汽车 4 小时
行驶 288 千米。
①轮 船与公共汽车哪个行驶的快些？
②现 在轮船和公共汽车同时从上海出发，谁先到达目的地？
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3
【巩固9】
（1）某修路队修一条公路，12 人 5 天修了 240 千米；1920 千米 24 人需要修多少天？
（2）小明有 124 粒巧克力糖，妹妹只有 20 粒，小明想让妹妹的糖和自己的一样多，他每次从自己的罐里
拿出 13 粒放入妹妹的罐里，需要拿几次？
【例10】 小欣在计算有余数的除法时，把被除数 172 错写成 137，这样商比原来少 3，余数比原来少 2．求
这道除法算式的除数和余数。
【巩固10】
1、奇奇在计算有余数的除法时，把被除数 237 错写成了 273，这样商比原来多了 4，而余数相同，这道题
的除数和余数各是多少？
2、小马在计算一个除法算式时，把被除数 114 错写成 141，结果商和余数都比原来大 3．则这个算式的除
数是多少？
14
4
1、判断题
（1） 在同一平面内，平行的两条直线永不相交。（ ）
（2） 直线 AB 是一条垂线。（ ）
（3）可 以把平行四边形分成两个完全一样的梯形。（ ）
（4） 平行四边形两组对边互相平行，所以只有一条高。（ ）
（5）只 有一组对边相等的四边形叫等腰梯形。（ ）
（6）用 一个平行四边形和三角形一定可以拼成梯形。（ ）
（7）在 除法里，余数不能大于除数，但可以和除数相等。（ ）
（8） 试商时，除数和商的积小于被除数，商一定准确。（ ）
2、填空
1)如 果除数缩小 10 倍，要使商不变,那么被除数要( )。
2)□ 78÷88，□里填（ ）商是两位数；□56÷75= ，□里填（ ）商是一位数
3)A ÷（ ）=6……18,除数最小是（ ），那 A=（ ）
4)平 行四边形和梯形都有（ ）条高，这些高的长度都（ ）。
5)从 直线外一点到这条直线所画的线段中，（ ）线段最短。
3、明明利用暑假为预防雾霾宣传，计划 24 天发 1440 张宣传单，实际 11 天发了 968 张．实际每天比计划
多发了多少张宣传单？
15
5
【作业1】 填空题
（1） 在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）和（ ）两种情况。
（2）两 条直线相交成（ ）时，两条直线就相互垂直。
（3） 两条对边分别平行的四边形叫做（ ），只有一组对边平行的多边形叫做（ ）。
（4） 有一个角是直角的平行四边形是（ ），两边相等的长方形是（ ）。
（5） 平行四边形经过拉动后（ ）发生了变化，这说明平行四边形具有（ ）性。
（6） 一个数的 8 倍是 400，这个数是（ ）。
（7）要 使 403÷□5 的商是两位数，□里能填（ ）。
（8） 在□÷36=20……☆中，☆最大是（ ），这时□里的数是（ ）。
（9） 括号里最大能填几
40×（ ）＜153
32×（ ）＜380
68×（ ）＜315
75×（ ）＜800
【作业2】 选择题
（1）计 算 270÷70 时，商应该写在（ ）位上。
A、个 B、十 C、百
（2）试 商时，如果余数比除数大，应该把上（ ）。
A、调大 B、调小 C、不变
（3）一 个数除以 85，余数最大是（ ）。
A、84 B、85 C、86
（4） 两个数相除的商是 5，余数是 3，如果被除数和除数都扩大到原来的 10 倍，那么结果是（ ）
A、5……3 B、5……30 C、50……30
（5） 在一道除法算式中，商和余数是 13，被除数是 208，则除数是（ ）。
A、15 B、16 C、17
（6） 150÷5，如果被除数加上 300，要使商不变，除数应（ ）
A、加上 300 B、乘 3 C、除以 3
【作业3】竖 式计算
338÷26= 455÷65= 693÷21= 538÷48=
16
6
【作业4】 操作题
（1） 经过点 A 画出角两边的垂线。
A
（2） 画出下面图形的高。
（3） 画一个长是 3cm，宽是 2cm 的长方形。
（4） ·
公路B
鱼池
公路A
17
7
【作业5】 数一数
（1）下图中的平行四边形和梯形各有多少个？
（2）图中有多少个三角形，多少个平行四边形，多少个梯形？
【作业6】列 式计算
（1）3705 与 196 的差，除以 23，商是多少？
（2）750 除以 15 的商，再加上 135，和是多少？
【作业7】 贝贝这个月交了 120 元的午餐费，后来老师又给她退回 15 元。贝贝这个月（按 21 天计算）平均
每天的午餐费是多少元？
【作业8】飞 机 2 小时飞 1920 千米，小轿车 6 小时行驶 480 千米，飞机的速度是小轿车的多少倍？
18
8
【作业9】 双休日小明全家乘汽车到湿地公园游玩，车速是 54 千米/时，全程 162 千米，要求在 11︰00
到达目的地。小明全家应该什么时候出发？
【作业10】 两个完全一样的等腰梯形的周长是 18 厘米，拼成一个平行四边形后周长是 30 厘米。等腰梯形
的周长是多少
【作业11】 一个等腰梯形的下底是 8 厘米，是上底的 4 倍，它的周长是 22 厘米，这个等腰梯形的腰是多少
厘米
19
9
多种多样的四边形
一天，大侦探福尔摩斯来平行四边形先生家作客，走进院子，看到一大群四边形孩子正在玩耍。
福尔摩斯问平行四边形先生道：“平行四边形先生，这些孩子都是你们家的吗？”
平行四边形先生说：“我们家哪有这么多孩子呀！都说你是神探，你能从中辨别出哪些是我们平行四
边形家族的成员吗？”
神探福尔摩斯答道：“那我就试试吧！不过我有个要求，他们必须说说各自的特征。”
“当然可以。”平行四边形先生爽快地答道。只见平行四边形先生安排院子里的孩子们依次过来。
四边形 1 说：“我的两组对边分别平行。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 2 说：“我的两组对边分别相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 3 说：“我有一组对边平行且相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 4 说：“我的两组对边角分别相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 5 说：“我的对角线互相平分。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
四边形 6 说：“我有一组对边平行，另一组对边相等。”
福尔摩斯判断说：“这个不是。”
四边形 7 说：“我有一组对边相等，且有一组对角相等。”
福尔摩斯判断说：“这个不是。”
四边形 8 说：“我有一组对边平行，且有一组对角相等。”
福尔摩斯判断说：“这个是。”
"真是名副其实的神探。”平行四边形先生称赞道：“神探的判断完全正确，咱们回屋再叙。”
一边说一边走，二位老友径直向客厅迈去。
1、结构图
垂直与平行
多边形
平行四边形和梯形
多边形和多位
数除法复习 多位数除法的计算
多位数的除法 商不变性质和商的变化规律
除法应用题
2、本节课要点
（1）掌 握垂直与平行概念、理解最短距离；能熟练区分各种不同的四边形并学习简单计数。
（2） 掌握多位数计算、商的变化规律，能熟练分析除法应用题。
模块一 垂直与平行
1、垂 直与平行：
①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
例一：“直线 A 和直线 B 是平行线；直线 A 的平行线是直线 B”
②如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两
条直线的交点叫做垂足。
例二：“直线 A 和直线 B 相互垂直；直线 A 是直线 B 的垂线；点 C 是垂足。”
2、画 垂线：
① 例一：过直线上一点画这条直线的垂线：
② 例二：过直线外一点画这条直线的垂线
③ 例三：把直线外一点 A 与直线上任意一点连接，所画线段哪个最短？
小结：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
即“点 A 到直线所画的垂直线段最短；点 A 到这条直线的距离是 10 厘米”
3
3、画 平行线：
① 例一：过直线外一点画平行线：
② 例二：在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长度特点？
小结：两条平行线之间的距离是相等的。
重难点：理解最短距离，能够知道点到直线垂线段最短以及两点之间线段最短，并对其进行应用
易错点：概念理解
【例1】
1、平行：在_ __内_ _____的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线__ _____。
2、垂直：两条直线相交成__ __时，这两条直线就__ ______。其中一条直线叫做另一条直线的___
____，他们的交点叫做___ ____。
3、两条直线相交成直角时，两条直线互相（ ），其中一条直线是零一条直线的（ ），这两
条直线的交点叫做（ ）。
4、从直线外一点到这条直线所有的线段中，（ ）最短，它的长度叫作点到直线的（ ）。
5、过一点画已知直线的垂线可以画（ ）条，过一点画已知直线的平行线可以画（ ）条，已知直线
的垂线和平行线有（ ）条。
【巩固1】
1、选择：
（1） 同一平面有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线（ ）。
A、相互垂直 B、相互平行 C、相交
（2） 长方形的长和宽相互（ ）。
A、垂直 B、垂直且平行 C、既不垂直也不平行
（3） 右图的正方形里画了两条对角线，这里互相垂直的线有（ ）组，互相平行的线有（ ）组。
A、5 B、1 C、4 D、2
2、判断
（1） 相交的两条直线是相互垂直的。 （ ）
（2） 相互垂直的两条直线一定相交。 （ ）
（3） 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直的线段最短。 （ ）
（4） 若两条直线所成的角是 90°，则这两条直线相互垂直。 （ ）
4
【例2】
（1）已知平行四边形的两条边，用做平行线的方法画出另两条边。
（2）请帮小鹿设计一条去小河边最近的路。
【巩固2】
（1）已知长方形的两条边，用做垂线的方法画出另两条边。
（2）已知 l1 和 l2 相互平行，图中两条平行线之间那条线段最短？哪条线段最长？那两条线段长度相等？
模块二 平行四边形与梯形
5
一、平行四边形
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行且相等
②平行四边形的对角相等，两邻角互补。
③平行四边形的两条对角线互相平分
3、特殊的平行四边形：长方形，正方形。
4、四个角都是直角的四边形叫长方形。
5、四个角都是直角，并且四条边都相等的四边形叫正方形。
6、所有四边形的内角和都是 360 度
7、平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平
行四边形的高。垂足所在的边叫做平行四边形的底。
8、从一条边上的任意一点都可以向它的对边画高，所以平行四边形和梯形有无数条高。
9、 平行四边形容易变形，它不具有稳定性。
二、梯形
1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。在梯形中，平行的两边叫做底，（较短
的底叫做上底，较长的底叫做下底），不平行的两条边叫做腰，两底之间的距离叫做高。
× D C
ü ü
A B
× 直角梯形 等腰梯形 E 图 1 F
2、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
4、注意：在等腰梯形中不可能有直角，在直角梯形中不可能有相等的腰，等腰梯形和直角梯形都是特殊的
梯形，等腰梯形特殊在腰上，直角梯形特殊在角上。
6、画高的方法：梯形高的画法，相当于过直线外一点画已知直线的垂线。这点和垂足之间的线段就是图形
的高。
6
7、从一条边上的任意一点都可以向它的对边画高，所以梯形也有无数条高。但通常是从一个顶点向它的对
边画高。
三、 四边形分类
1、四边形之间的关系：
长方形
平行四边形
正方形
四边形
梯形
不规则四边形
2、图形表示：（见右图）
平行四边形
长方形 梯
形
正方形
四边形
3、四边形的相同和区别
相同点 不同点
平行四边形 两组对边分别 长宽不一定相等，每个角也不一定相等。
平行且相等,
长方形 都是四边形 长宽不一定相等，每个角都是直角
正方形 长宽相等，每个角都是直角
梯形 是四边形 只有一组对边平行
重难点：平行四边形和梯形的简单计数以及周长
易错点：四边形得分类以及平行四边形的特征
7
【例3】
1、判断
（1） 平行四边形有无数条高，而梯形只有一条高。（ ）
（2）等 腰梯形的对边相等。（ ）
（3）有 一组对边平行的四边形都是平行四边形。（ ）
（4） 所有的正方形都是平行四边形。（ ）
2、用一条线段将梯形分为：
（1） 两个三角形；
（2）一 个三角形和一个平行四边形；
（3）一 个三角形和一个梯形；
（4）两 个梯形。
【巩固3】
1、选择
（1）在 梯形纸上剪一刀，剪下的两个图形不可能出现的是（ ）
A、两个都是平行四边形 B、一个是梯形一个是平行四边形
C、一个是梯形一个是三角形 D 、两个都是三角形
（2） 在梯形中，互相平行的一组对边叫做梯形的（ ）
A、腰 B、上底和下底 C、高
（3） 下面图形中，四个角都相等的是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C 梯形
（4） 四边形可以分为三类，即任意四边形、梯形和（ ）
A、正方形 B、长方形 C、平行四边形
（5）把 一个长方形铝丝框架拉成一个平行四边形，他的周长会（ ）
A、变大 B、变小 C、不变 D 无法确定
（2）在下面两条平行线之间画一个最大的正方形。
8
【例4】
（1）已知平行四边形的周长是 48 厘米，其中一条长是 9 厘米，另外三条边分别是多少厘米？
（2）一个平行四边形的周长是 28 分米，长边和短边的长度相差 2 分米，长边和短边分别是多少分米？
【巩固4】 一个等腰梯形上底为 24 厘米，比下底短 15 厘米，腰为 20 厘米，这个梯形的周长是多少厘米？
【例5】数 一数
有（ ）个梯形 有（ ）个梯形，（ ）个平行四边形
【巩固5】
有（ ）个梯形，（ ）个平行四边形
模块四 多位数除法计算
口算除法（整十除整十）
1、根据乘除法的关系，用乘法算除法（商=除数×商）；
2、先不考虑被除数和除数个数上的 0，当做是两位数除一位数（或一位数除一位数）
9
估算除法
估算除数是两位数的除法时，一般把被除数看成是和它接近的整百或整十数，把除数看成是和它接近的整十
数，再口算得出结果（被除数和除数求近似数后为整倍数关系）。
一、除数是两位数的除法计算方法：
除数两位看两位，两位不够看三位，除到哪位商哪位，每次除完要比较，余 数要比除数小。
注释：
1)除 的顺序：先用除数试除被除数的前两位数，如果前两位数比除数小，再除前三位数。
2)商 的位置：除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
3)余 数的大小：每求出一位商，余下的数必须比除数小
二、试商：
1)除 数不是整十(或整百)的两位数除法时，先用“四舍五入”把除数看做整十(或整百)数来试商；
2)如 果商与除数的积比被除数大，说明商大了，要调小；
3)如 果被除数减去商与除数的积后，余数等于或大于除数，说明商小了，要调大。
三、被除数、除数、商及余数的关系：
1) 没有余数时：除数=被除数÷商 商=被除数÷除数
2)有 余数时：余数=被除数－商×除数
商=（被除数－余数）÷除数
除数=（被除数－余数）÷商
重难点：多位数除法的笔算方法
易错点：口算注意商不要丢 0 或添 0；笔算注意商的位置书写；每一步注意看余数是否比除数小。
【例6】
（1）90÷30= 40÷10= 120÷20= 160÷40=
160÷20= 700÷10= 600÷50= 660÷6=
（2）149÷50≈ 180÷32≈ 353÷70≈ 720÷87≈
590÷29≈ 603÷31≈ 718÷8≈ 494÷50≈
（3）3（ ）8÷50≈7 5（ ）2÷60≈9 3（ ）4÷70≈5
10
0
（4）竖式计算
567÷27= 966÷23= 490÷14= 410÷17=
【巩固6】
（1）450÷90= 300÷15= 880÷40= 2700÷90=
630÷9= 4800÷6= 180÷920= 0÷8=
（2）353÷50≈ 279÷38≈ 560÷69≈ 495÷71≈
149÷5≈ 485÷7≈ 352÷7≈ 809÷9≈
（3）6（ ）9÷80≈8 4 （ ）8÷90≈5 4 （ ）3÷50≈9
（4）竖式计算
800÷25= 901÷17= 954÷18= 815÷18=
【例7】
（1）5 47÷25 商是（ ）位数，商的最高位在（ ）位上。
（2）一 个数除以 49，如果有余数，这个余数最大可以是（ ）。
（3） □69÷72 要使商是一位数，□里最大填（ ）。
（4）甲 数是乙数的 12 倍，①如果乙数是 24，那么甲数是（ ），②如果甲数是 60，那么乙数是（ ）。
（5） 一个数除以 6，余数可能是（ ），最大是（ ）。
（6） 三位数除以两位数，所得的商最多是（ ）位数，最少是（ ）位数。
（7）计 算 814÷19 时，可以把 19 看作（ ）来试商。
（8） □325÷47，要使商是两位数应填（ ）；要使商是三位数应填（ ）。
【巩固7】
（1） 要使 3□6÷34 的商是一位数，□里可以填（ ）；要使 523÷□4 的商是两位数，□里
可以填（ ）。
（2）甲 数的 17 倍是 850，甲数是（ ）。
11
1
（3）□ ÷75=75……（ ），当余数最大时，被除数是（ ）
（4）1 32÷24 的商是（ ）位数；384÷16 的商是（ ）位数。
（5） □÷○=18…23，除数最小是（ ），此时被除数是（ ）。
（6） （ ）÷40=6……20 712÷（ ）=50……12
（7） □÷23=7……□，被除数是（ ）时，余数最大，此时余数是（ ）；
□÷□=6……31，除数是（ ）时，被除数最小，此时被除数是（ ）
模块五 商不变性质和商的变化规律
一、除法的商不变性质：
被除数和除数同时乘或者除以一个相同数（0 除外），商不变。
注意：用商不变性质时，商不变，但余数随着被除数、除数的扩大或缩小而扩大或缩小相应倍数
二、商变化规律：
（1）被除数不变，除数扩大或缩小几倍（0 除外），商反而缩小或扩大几倍。
如：
72 ÷ 8 = 9
×10 ×10 商不变
720 ÷ 80 = 90
（2）除数不变，被除数扩大或缩小几倍（0 除外），商也扩大或缩小几倍。
注：商与被除数反向变化，与除数同向变化。
如:
64 ÷ 4 = 16
÷4 ×2 商÷4 再÷2，综合为÷8
16 ÷ 8 = 2
重难点：掌握并运用商的变化规律
易错点：注意区分商的变化规律与积的变化规律
【例8】 填空
（1） 两个数的商是 30，如果被除数和除数都扩大 4 倍，则商是（ ）
（2） 两个数的商是 30，如果除数扩大到原来的 10 倍，被除数不变，则商是（ ）
（3） 两个数的商是 400，被除数扩大到原来的 8 倍，除数不变，商是（ ）
（4） 两个数的商是 200，余数是 3，被除数和除数同时扩大 10 倍，商是（ ），余数是（ ）
12
2
【巩固8】
1、判断
（1） 被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。（ ）
（2） 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商和余数都不变。 （ ）
（3） 两数相除的商是 20，被除数和除数同时乘 2，商是 40。（ ）
（4）6 0÷12=（60 ÷ 3）÷（12×3） （ ）
2、填表
被除数 扩大 10 倍 缩小 20 倍 扩大 10 倍 扩大 10 倍 扩大 100 倍
除数 扩大 10 倍 缩小 5 倍 扩大 100 倍 缩小 10 倍
商 不变 缩小 10 倍 扩大 50 倍
模块六 除法应用题
常用数量关系（公式）：
（1）速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间
（2）工作效率×时间=工作总量 工作总量÷时间=工作效率 工作总量÷工作效率=时间
（3）单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量
（4）每份数×份数=总数 总数÷份数=每份数 总数÷每份数=份数
重难点：公式的记忆以及熟练运用
易错点：区分公式的乘法和除法
【例9】
（1）1 包 A4 纸有 500 张，每 22 张订成 1 本练习本。1 包纸最多可以订几本这样的练习本？再添上几张纸
就可以多订 1 本练习本？
（2）从武汉到某地，水路 212 千米，公路 432 千米。一艘轮船 3 小时行驶 159 千米，一辆公共汽车 4 小时
行驶 288 千米。
①轮 船与公共汽车哪个行驶的快些？
②现 在轮船和公共汽车同时从上海出发，谁先到达目的地？
13
3
【巩固9】
（1）某修路队修一条公路，12 人 5 天修了 240 千米；1920 千米 24 人需要修多少天？
（2）小明有 124 粒巧克力糖，妹妹只有 20 粒，小明想让妹妹的糖和自己的一样多，他每次从自己的罐里
拿出 13 粒放入妹妹的罐里，需要拿几次？
【例10】 小欣在计算有余数的除法时，把被除数 172 错写成 137，这样商比原来少 3，余数比原来少 2．求
这道除法算式的除数和余数。
【巩固10】
1、奇奇在计算有余数的除法时，把被除数 237 错写成了 273，这样商比原来多了 4，而余数相同，这道题
的除数和余数各是多少？
2、小马在计算一个除法算式时，把被除数 114 错写成 141，结果商和余数都比原来大 3．则这个算式的除
数是多少？
14
4
1、判断题
（1） 在同一平面内，平行的两条直线永不相交。（ ）
（2） 直线 AB 是一条垂线。（ ）
（3）可 以把平行四边形分成两个完全一样的梯形。（ ）
（4） 平行四边形两组对边互相平行，所以只有一条高。（ ）
（5）只 有一组对边相等的四边形叫等腰梯形。（ ）
（6）用 一个平行四边形和三角形一定可以拼成梯形。（ ）
（7）在 除法里，余数不能大于除数，但可以和除数相等。（ ）
（8） 试商时，除数和商的积小于被除数，商一定准确。（ ）
2、填空
1)如 果除数缩小 10 倍，要使商不变,那么被除数要( )。
2)□ 78÷88，□里填（ ）商是两位数；□56÷75= ，□里填（ ）商是一位数
3)A ÷（ ）=6……18,除数最小是（ ），那 A=（ ）
4)平 行四边形和梯形都有（ ）条高，这些高的长度都（ ）。
5)从 直线外一点到这条直线所画的线段中，（ ）线段最短。
3、明明利用暑假为预防雾霾宣传，计划 24 天发 1440 张宣传单，实际 11 天发了 968 张．实际每天比计划
多发了多少张宣传单？
15
5
【作业1】 填空题
（1） 在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）和（ ）两种情况。
（2）两 条直线相交成（ ）时，两条直线就相互垂直。
（3） 两条对边分别平行的四边形叫做（ ），只有一组对边平行的多边形叫做（ ）。
（4） 有一个角是直角的平行四边形是（ ），两边相等的长方形是（ ）。
（5） 平行四边形经过拉动后（ ）发生了变化，这说明平行四边形具有（ ）性。
（6） 一个数的 8 倍是 400，这个数是（ ）。
（7）要 使 403÷□5 的商是两位数，□里能填（ ）。
（8） 在□÷36=20……☆中，☆最大是（ ），这时□里的数是（ ）。
（9） 括号里最大能填几
40×（ ）＜153
32×（ ）＜380
68×（ ）＜315
75×（ ）＜800
【作业2】 选择题
（1）计 算 270÷70 时，商应该写在（ ）位上。
A、个 B、十 C、百
（2）试 商时，如果余数比除数大，应该把上（ ）。
A、调大 B、调小 C、不变
（3）一 个数除以 85，余数最大是（ ）。
A、84 B、85 C、86
（4） 两个数相除的商是 5，余数是 3，如果被除数和除数都扩大到原来的 10 倍，那么结果是（ ）
A、5……3 B、5……30 C、50……30
（5） 在一道除法算式中，商和余数是 13，被除数是 208，则除数是（ ）。
A、15 B、16 C、17
（6） 150÷5，如果被除数加上 300，要使商不变，除数应（ ）
A、加上 300 B、乘 3 C、除以 3
【作业3】竖 式计算
338÷26= 455÷65= 693÷21= 538÷48=
16
6
【作业4】 操作题
（1） 经过点 A 画出角两边的垂线。
A
（2） 画出下面图形的高。
（3） 画一个长是 3cm，宽是 2cm 的长方形。
（4） ·
公路B
鱼池
公路A
17
7
【作业5】 数一数
（1）下图中的平行四边形和梯形各有多少个？
（2）图中有多少个三角形，多少个平行四边形，多少个梯形？
【作业6】列 式计算
（1）3705 与 196 的差，除以 23，商是多少？
（2）750 除以 15 的商，再加上 135，和是多少？
【作业7】 贝贝这个月交了 120 元的午餐费，后来老师又给她退回 15 元。贝贝这个月（按 21 天计算）平均
每天的午餐费是多少元？
【作业8】飞 机 2 小时飞 1920 千米，小轿车 6 小时行驶 480 千米，飞机的速度是小轿车的多少倍？
18
8
【作业9】 双休日小明全家乘汽车到湿地公园游玩，车速是 54 千米/时，全程 162 千米，要求在 11︰00
到达目的地。小明全家应该什么时候出发？
【作业10】 两个完全一样的等腰梯形的周长是 18 厘米，拼成一个平行四边形后周长是 30 厘米。等腰梯形
的周长是多少
【作业11】 一个等腰梯形的下底是 8 厘米，是上底的 4 倍，它的周长是 22 厘米，这个等腰梯形的腰是多少
厘米
19
9