2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第四章 指数与对数 复习讲义（学生版 教师版）（Word含答案解析）

编号：021 课题: §4 指数与对数复习
目标要求
理解并掌握指、对数的概念；
理解并掌握指、对数的运算性质；
重点难点
重点：指、对数的运算性质；
难点：实际问题中的指、对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
知识结构简图
基础知识积累
1. n次方根
一般地,如果,那么称为的次方根.可用下表表示:
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
_________________ ______________ x=0 不存在
2.根式
(1)式子叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:当时,
①;
②
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n均为正整数)
正分数指数幂 ____________
负分数指数幂
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质()
(1). (2).
(3).
5. 对数的概念
(1)定义:一般地,如果,那么就称b是以a为底N的对数,记作
___________,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)特殊对数:
常用对数:以10为底,记作___________;
自然对数:以e为底,记作__________.
(3)指数与对数的关系:
当, _______________.
6.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2) ;
(3) .
7.对数恒等式
.
8. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
9.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【课堂题组训练】
题1. 已知ln x＝，则x＝ (　 　)
A．－2 021 B． C． D．e2 021
题2．已知x<1，则＝ (　　 )
A．x－1 B．1－x C．－x－1 D．x＋1
题3．已知正数x满足+＝，则x2＋x－2＝ (　　 )
A．6 B．7 C．8 D．9
题4．若log5＝log25(ab)(a，b>0)，则a＋b的最小值为 (　 　)
A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4
题5．化简(x>0)的结果是 (　　 )
A．x B．x2 C．1 D．
题6．若10α＝2，β＝lg 3，则10＝ (　 　)
A． B． C．1 D．
题7．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有 (　 　)
A.=-(x≠0) B.=(x>0)
C.=(x>0,y>0) D.=
题8．下列各式正确的有 (　 　)
A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝，则x＝±5．
题9.计算:+--log31=　　　　.
题10．方程log9x＋logx23＝1的解是x＝ ________．
题11．若2a＝5b＝10，则＋＝________．
题12．已知2a＝3，则8a＝________，a－log26＝________．
题13．化简：
(1)(a>0，b>0)． (2)+log3+log3.
题14．若log23＝a，3b＝7，求log4256．(用含a，b的式子表示)
题15．求下列各式中的x的值：
(1)log2(x2－2)＝0； (2)log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1．
题16.(1)若a+a-1=3,求-及-的值. (2)设3x=4y=36,求+的值.
编号：021 课题: §4 指数与对数复习
目标要求
理解并掌握指、对数的概念；
理解并掌握指、对数的运算性质；
重点难点
重点：指、对数的运算性质；
难点：实际问题中的指、对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
知识结构简图
基础知识积累
1. n次方根
一般地,如果,那么称为的次方根.可用下表表示:
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
x=0 不存在
2.根式
(1)式子叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:当时,
①;
②
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n均为正整数)
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质()
(1). (2).
(3).
5. 对数的概念
(1)定义:一般地,如果,那么就称b是以a为底N的对数,记作
___ ____,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)特殊对数:
常用对数:以10为底,记作__ ___;
自然对数:以e为底,记作__ ___.
(3)指数与对数的关系:
当, _______.
6.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2) ;
(3) .
7.对数恒等式
.
8. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
9.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【课堂题组训练】
题1. 已知ln x＝，则x＝ (　 　)
A．－2 021 B． C． D．e2 021
【解析】选C．由对数式与指数式的互化可知x＝．
题2．已知x<1，则＝ (　　 )
A．x－1 B．1－x C．－x－1 D．x＋1
【解析】选B．因为x<1，所以x－1<0，
所以＝＝1－x．
题3．已知正数x满足+＝，则x2＋x－2＝ (　　 )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】选B．因为正数x满足+＝，所以＝5，即x＋x－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，所以2＝9，即x2＋x－2＋2＝9，因此x2＋x－2＝7．
题4．若log5＝log25(ab)(a，b>0)，则a＋b的最小值为 (　 　)
A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4
【解析】选D．因为log5＝log25(ab)，所以3a＋4b＝ab，所以＋＝1．又a，b>0，
所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝4＋3＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝3＋2时等号成立，所以a＋b的最小值是7＋4．
题5．化简(x>0)的结果是 (　　 )
A．x B．x2 C．1 D．
【解析】选A．＝＝＝x1＝x．
题6．若10α＝2，β＝lg 3，则10＝ (　 　)
A． B． C．1 D．
【解析】选D．因为β＝lg 3，所以10β＝3．所以110====．
题7．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有 (　 　)
A.=-(x≠0) B.=(x>0)
C.=(x>0,y>0) D.=
【解析】选BCD.A.=(x≠0),故错误;B.=((x>0) ,故正确;
C.=·=(x>0,y>0),故正确;D.====,故正确.
题8．下列各式正确的有 (　 　)
A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝，则x＝±5．
【解析】选AB．对于A，因为lg (lg 10)＝lg 1＝0，所以A对；对于B，因为lg (ln e)＝lg 1＝0，所以B对；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，C错；对于D，因为log25x＝，所以x＝25＝5．
所以只有AB正确．
题9.计算:+--log31=　　　　.
【解析】+--log31=+23-1-0=+7=
答案：
题10．方程log9x＋logx23＝1的解是x＝ ________．
【解析】log9x＋logx23＝log9x＋＝1，所以42－4log9x＋1＝0，令m＝log9x，
则4m2－4m＋1＝2＝0，即log9x＝＝log93，所以x＝3．
答案：3
题11．若2a＝5b＝10，则＋＝________．
【解析】因为2a＝5b＝10所以a＝log210，b＝log510，
所以＋＝＋＝log102＋log105＝1．
答案：1
题12．已知2a＝3，则8a＝________，a－log26＝________．
【解析】8a＝a＝3＝33＝27，由2a＝3，
则a＝log23，a－log26＝log23－log26＝log2＝log2＝－1
答案：27　－1
题13．化简：
(1)(a>0，b>0)． (2)+log3+log3.
【解析】原式=+log3==.
题14．若log23＝a，3b＝7，求log4256．(用含a，b的式子表示)
【解析】由log23＝a，3b＝7得，log32＝，log37＝b，
则log4256＝＝＝＝＝．
题15．求下列各式中的x的值：
(1)log2(x2－2)＝0； (2)log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1．
【解析】(1)由log2(x2－2)＝0，得x2－2＝1解得x＝±，经检验x＝±是原方程的根；
(2)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，得3x2＋2x－1＝2x2－1，解得x＝0或x＝－2，
经检验x＝0不是原方程的根，x＝－2是原方程的根．所以x＝－2．
题16.(1)若a+a-1=3,求-及-的值. (2)设3x=4y=36,求+的值.
【解题思路】本题考查指数幂的运算,关键是利用化归与转化的思想.
利用=a-2+a-1,即可得出-=±1,利用-=即可得出-.
【解析】(1)因为a+a-1=3,所以a>0,=a-2+a-1=1,
则-=±1,-=(-)=×4=±4.
(2)因为3x=36,4y=36,所以x=log336,y=log436,
由换底公式得:x==,y==,所以=log363,=log364,
所以+=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.
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