2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第四章第一节 指数 讲义（学生版 教师版）（Word含解析）

编号：018 课题: §4.1 指数
目标要求
理解有理数指数幂的含义；
掌握指数幂的运算性质．
重点难点
重点：根式的化简、分数指数幂求值；
难点：分数指数幂运算性质的应用．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1. n次方根
一般地,如果,那么称为的次方根.可用下表表示:
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
_________________ ______________ x=0 不存在
【思考】
正数a的n次方根一定有两个吗
2.根式
(1)式子叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:当时,
①;
②
【思考】
式子与中的的范围一样吗
提示:不一样,式子中a≥0, 中a∈R.
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n均为正整数)
正分数指数幂 ____________
负分数指数幂
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
【思考】
分数指数幂中,为什么规定底数
4.有理数指数幂的运算性质()
(1). (2). (3).
【思考】
同底数幂相除,同次的指数幂相除分别等于什么
【课前小题演练】
题1. 下列运算中正确的是 (　 　)
A．a2a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)5＝－a10
题2．有下列各式：①()n＝a；②；③＝a；④＝，其中正确的个数是 (　　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
题3．若x＜3，则－|x－6|的值是 (　 　)
A．－3 B．3 C．－9 D．9
题4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是 (　 　)
A． B． C． D．
题5．化简：()2＋＋＝________．
题6.－(1－0.5－2)÷的值为________．
【课堂题组训练】
题7．()4运算的结果是 (　　 )　
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
题8．计算：＋＋(2 019)0＝ (　 　)
A．6 B．7 C．8 D．
题9．化简的值是 (　　 )
A．－　　　 B．－　　　 C．　　　 D．±
题10．若(a＋2)2＋(2b－1)2＝0，则a2 020·b2 020＝ (　 　)
A．22 020 B． C．－1 D．1
题11．已知a＞0，则＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
题12．(多选)已知＝4，则x等于 (　 　)
A． B．8 C．－ D．－8
题13．化简：－＋＋(·)6＝________．
题14．化简：4＋1×23－2×＝________．
题15．计算下列各式：
(1)－(－9.6)0－＋；
(2) b－2(－3b－1)÷(4b－3)．
题16．(1)化简：·； (2)已知x＋x－1＝4(0＜x＜1)，求.
【综合突破拔高】
题17．若＝，则x＝ (　 　)
A．9 B．3 C．9 D．3
题18．计算(－2)2 019·(＋2)2 020＝ (　　 )
A．＋2 B．－2 C．－－2 D．－＋2
题19．化简·的结果是 (　 　)
A． B．－ C． D．－
题20．(多选)在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 (　 　)
A．(－x)0.5＝－(x≠0) B．＝y
C．＝(xy>0) D．x＝－
题21．计算：＝________．
题22．化简的结果是________．
题23．计算：＋－＝________．
题24.设f(x)＝，若0题25．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a＝________．
题26．已知a＞0，a2x＝3，求的值．
题27．已知a1，且n∈N*，化简＋.
编号：018 课题: §4.1 指数
目标要求
理解有理数指数幂的含义；
掌握指数幂的运算性质．
重点难点
重点：根式的化简、分数指数幂求值；
难点：分数指数幂运算性质的应用．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1.n次方根
一般地,如果,那么称为的次方根.可用下表表示:
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
x=0 不存在
【思考】
正数a的n次方根一定有两个吗
提示:不一定.当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,且互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且仍为正数.
2.根式
(1)式子叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:当时,
①;
②
【思考】
式子与中的的范围一样吗
提示:不一样,式子中a≥0, 中a∈R.
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n均为正整数)
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
【思考】
分数指数幂中,为什么规定底数
提示:当时,及的负分数指数幂没有意义;
当a<0时,若n为偶数,m为奇数,则无意义.
4.有理数指数幂的运算性质()
(1). (2). (3).
【思考】
同底数幂相除,同次的指数幂相除分别等于什么
提示:(1);(2)
【课前小题演练】
题1. 下列运算中正确的是 (　 　)
A．a2a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)5＝－a10
【解析】选D.
a2a3＝a2＋3＝a5，(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，当a＝1时，(－1)0无意义，(－a2)5＝－a10.
题2．有下列各式：①()n＝a；②；③＝a；④＝，其中正确的个数是 (　　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.根据根式的定义，()n＝a正确；由分数指数幂的定义，＝；
＝＝；≠.只有①正确，其他三个都错．
题3．若x＜3，则－|x－6|的值是 (　 　)
A．－3 B．3 C．－9 D．9
【解析】选A.若x＜3，则x－3＜0，x－6＜0，
所以－|x－6|＝|x－3|－|x－6|＝3－x＋x－6＝－3.
题4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由题意＝．
题5．化简：()2＋＋＝________．
【解析】易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1.
答案：a－1
题6.－(1－0.5－2)÷的值为________．
【解析】原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×＝.
答案：
【课堂题组训练】
题7．()4运算的结果是 (　　 )　
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
【解析】选A.由指数运算法则，容易得()4＝2.
题8．计算：＋＋(2 019)0＝ (　 　)
A．6 B．7 C．8 D．
【解析】选B.＋＋(2 019)0＝2＋＋1＝2＋22＋1＝7.
题9．化简的值是 (　　 )
A．－　　　 B．－　　　 C．　　　 D．±
【解析】选A.＝＝－.
题10．若(a＋2)2＋(2b－1)2＝0，则a2 020·b2 020＝ (　 　)
A．22 020 B． C．－1 D．1
【解析】选D.
因为(a＋2)2＋(2b－1)2＝0，所以a＝－2，b＝，所以(－2)2 020·＝＝1.
题11．已知a＞0，则＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
【解析】选B.＝＝＝．
题12．(多选)已知＝4，则x等于 (　 　)
A． B．8 C．－ D．－8
【解析】选AC.由＝4，得＝4，即＝，所以x2＝，得x＝±.
题13．化简：－＋＋(·)6＝________．
【解析】－＋＋＝－1＋
＝10－1＋23＋(23·32)＝9＋8＋8×9＝89.
答案：89
题14．化简：4＋1×23－2×＝________．
【解析】原式＝××＝＝21＝2.
答案：2
题15．计算下列各式：
(1)－(－9.6)0－＋；
(2) b－2(－3b－1)÷(4b－3)．
【解析】(1)原式＝－1－＋＝－1＝.
(2)原式＝－×3·ab－3÷(2ab)＝－ab．
题16．(1)化简：·；
(2)已知x＋x－1＝4(0＜x＜1)，求.
【解析】(1)·＝·＝.
(2)因为x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝4(x－x－1)，所以(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝12，
因为0＜x＜1，所以x－x－1＝－2，所以x2－x－2＝－8，
又因为＝x＋x－1＋2＝6，所以x＋x＝，所以＝－4.
【综合突破拔高】
题17．若＝，则x＝ (　 　)
A．9 B．3 C．9 D．3
【解析】选A.由＝有意义，得x>0.又因为＝，所以＝，
所以x2·x＝x＝9，所以x＝9．
题18．计算(－2)2 019·(＋2)2 020＝ (　　 )
A．＋2 B．－2 C．－－2 D．－＋2
【解析】选C.原式＝[(－2)(＋2)]2 019·(＋2)＝(－1)2 019·(＋2)＝－－2.
题19．化简·的结果是 (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选B.由题意可知a≤0，
则·＝(－a)·a＝－(－a) ·(－a) ＝－(－a) ＝－＝－.
题20．(多选)在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 (　 　)
A．(－x)0.5＝－(x≠0) B．＝y
C．＝(xy>0) D．x＝－
【解析】选BC.对于A，(－x)0.5和－必有一个无意义，错误；
对于B，＝y＝y，正确；
对于C，因为xy＞0，则＝＝，正确；
对于D，x＝＝，错误．
题21．计算：＝________．
【解析】＝＝a4.
答案：a4
题22．化简的结果是________．
【解析】由题意知，解得x＜0，
所以＝＝＝＝＝－.
答案：－
【误区警示】本题容易忽视x的范围，式子隐含x＜0.
题23．计算：＋－＝________．
【解析】原式＝＋－
＝＋－＝
＋＋2－－2＋＝2.
答案：2
题24.设f(x)＝，若0【解析】f ＝＝＝＝|a－|.
由于0答案：－a
题25．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a＝________．
【解析】a＝(ax)2·(ay)＝32×5＝9.
答案：9
题26．已知a＞0，a2x＝3，求的值．
【解析】因为a＞0，a2x＝3，所以ax＝，所以a－x＝，a3x＝3，a－3x＝，
所以＝＝.
题27．已知a1，且n∈N*，化简＋.
【解析】因为a当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
所以＋＝
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