2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第四章第二节第2课时 对数的运算性质 讲义（学生版 教师版）（Word含答案解析）

编号：020 课题: §4.2.2 对数的运算性质
目标要求
理解对数的运算性质；
重点难点
重点：对数换底公式的应用；
难点：实际问题中的对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
【思考】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗
提示:积的对数等于积的各个因式的对数的和;
商的对数等于分子的对数减去分母的对数;
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
2.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式
(2)你能用换底公式证明结论吗
【课前小题演练】
题1. 下列式子中成立的是(假定各式均有意义) (　 　)
A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax
C．＝loga D．＝logax－logay
题2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则 (　 　)
A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab
题3．已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是 (　 　)
A．1 B．3 C． D．
题4．log227·log34＝________；log23·log310·lg 8＝________．
题5．(1)log2 25－log2 ＝________；
(2)log2 8＝________．
题6．若ln x＝2ln a－ln b，则x＝________．
题7．求值：.
【课堂题组训练】
题8．log(＋1)(3－2)等于 (　 　)　
A．－2 B．－4 C．2 D．4
题9. 等于 (　 　)　
A．lg 3 B．－lg 3 C． D．－
题10．设alog34＝2，则4－a＝ (　 　)
A． B. C． D．
题11.已知4a＝2，lg x＝a，则x＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．10　　　 D．1
题12．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝ (　 　)
A．2a＋2b B．a＋b C．ab D．a＋b
题13．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是 (　 　)
(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 6≈0.778 2)
A．10－5.519 B．10－5.521 C．10－5.523 D．10－5.525
题14．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝ (　 　)
A．3 B．8 C．4 D．log48
题15．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为 (　 　)
A．m－n B．m－n C．－ D．m－n
题16．logm2＝a，logm3＝b，则m2a＋b的值为 (　　 )
A．6 B．7 C．12 D．18
题17．(多选)(2021·潍坊高一检测)若10a＝4，10b＝25，则 (　 　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab＞8lg22 D．b－a＜lg 6
题18．计算：2－1＋lg 100－ln ＝________．
题19．已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
题20．计算以下式子的值：
(1)2lg 2＋lg 25；
(2).
【综合突破拔高】
题21．(log29)·(log34)等于 (　 　)
A． B． C．2 D．4
题22．如果(13.2)a＝1 000，(0.013 2)b＝1 000，那么－的值是(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题23．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 (　 　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
题24．设实数x满足0题25．已知lg a＋b＝3，ab＝100，则alg 2·b＝________．
题26． ＝________.
题27．已知3a＝4，b＝log23，则ab＝________；4b＝________．
题28．计算下列各式：
(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋2log25；
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
题29.计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
题30．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，试估计1 000以内的素数的个数．
(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)
【素养培优训练】
题31．若实数x，y同时满足方程2x＝8y＋1和9y＝3x－9，则x＋y的值为(　 　)　
A．18 B．24 C．21 D．27
题32．对于一切不等于1的正数x，则＋＋等于 (　 　)
A． B．
C． D．
题33．已知a＋a－1＝3，下列各式中正确的个数是 (　　 )
①a2＋a－2＝7；②a3＋a－3＝18；
③a＋a－＝±；④a＋＝2.
A．1 B．2 C．3 D．4
题34．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝ (　 　)
A．15 B．56 C． D．
题35．设a，b＞0，若a＋4b＝1，则log2a＋log2b的 (　　 )
A．最小值为－2 B．最小值为－4 C．最大值为－2 D．最大值为－4
题36．已知ab＝－5，则a＋b的值是 (　 　)
A．2 B．0 C．－2 D．±2
题37.＋(－1)－1÷0.75－2＋－＝ (　　)
A． B． C．－ D．－
题38．(多选)下列等式不成立的是 (　 　)
A．ln e＝1 B．log31＝0 C．＝a－ D．log2(－5)2＝2log2(－5)
题39．(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．2
题40．已知方程loga(5x－3x)＝x(a>0，a≠1)，若2是方程的一个解，则a＝________；当a＝2时，方程的唯一解是________．
题41．计算：20＋－8＝________．若10x＝2，10y＝3，则10＝________．
题42．计算：10＋－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝________．
题43．求下列式子的值：
(1)；
(2)log49·log38＋lne2＋lg 0.01＋51＋log53.
题44．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：＝＝＝－1.
方法二：＝＝＝＝－1.
(1)请用两种不同的方法化简：；
(2)化简：＋＋…＋.
题45．已知5x＝2y＝()z，且x，y，z≠0，求＋的值．
题46．设a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
编号：020 课题: §4.2.2 对数的运算性质
目标要求
理解对数的运算性质；
重点难点
重点：对数换底公式的应用；
难点：实际问题中的对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
【思考】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗
提示:积的对数等于积的各个因式的对数的和;
商的对数等于分子的对数减去分母的对数;
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
2.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式
(2)你能用换底公式证明结论吗
提示:(1).
(2) .
【课前小题演练】
题1. 下列式子中成立的是(假定各式均有意义) (　 　)
A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax
C．＝loga D．＝logax－logay
【解析】选C.根据对数的运算性质知，C正确．
题2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则 (　 　)
A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab
【解析】选C.设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，所以c＝ab.
【误区警示】本题容易忽视设出log2a＝log3b＝log6c＝k，导致无法表示出a，b，c.
题3．已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是 (　 　)
A．1 B．3 C． D．
【解析】选D.因为xlog32＝1，所以x＝log23，所以2x＋2－x＝2log23＋2－log23＝3＋＝.
题4．log227·log34＝________；log23·log310·lg 8＝________．
【解析】log227·log34＝log233·log322＝(3log23)·(2log32)＝6.
log23·log310·lg 8＝··＝＝log28＝3.
答案：6　3
题5．(1)log2 25－log2 ＝________；
(2)log2 8＝________．
【解析】(1)log2 25－log2 ＝log2＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.
(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.
答案：(1)2　(2)3
题6．若ln x＝2ln a－ln b，则x＝________．
【解析】因为ln x＝2ln a－ln b＝ln a2b，所以x＝a2b．
答案：a2b
题7．求值：.
【解析】＝＝＝＝＝1.
【课堂题组训练】
题8．log(＋1)(3－2)等于 (　 　)　
A．－2 B．－4 C．2 D．4
【解析】选A.
因为 3－2＝2－2＋1＝()2－2＋12＝(－1)2＝＝(＋1)－2.
所以 log(＋1)(3－2)＝log(＋1)(＋1)－2＝－2.
题9. 等于 (　 　)　
A．lg 3 B．－lg 3 C． D．－
【解析】选C.原式＝log＋log＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝.
题10．设alog34＝2，则4－a＝ (　 　)
A． B. C． D．
【解析】选B.由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以有4－a＝.
题11.已知4a＝2，lg x＝a，则x＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．10　　　 D．1
【解析】选B.因为4a＝2，所以a＝，因为lg x＝a＝，则x＝.
题12．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝ (　 　)
A．2a＋2b B．a＋b C．ab D．a＋b
【解析】选D.log415＝log215＝(log23＋log25)＝a＋b.
题13．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与最接近的是 (　 　)
(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 6≈0.778 2)
A．10－5.519 B．10－5.521 C．10－5.523 D．10－5.525
【解析】选C.由题意可得＝3×10－6，
所以lg ＝lg 3＋lg 10－6≈0.477 1－6＝－5.522 9≈－5.523，故≈10－5.523.
题14．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝ (　 　)
A．3 B．8 C．4 D．log48
【解析】选A.因为2x＝3，所以x＝log23.又log4＝y，
所以x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.
题15．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为 (　 　)
A．m－n B．m－n C．－ D．m－n
【解析】选D.
log3＝log3－log3＝log3x－log3(y·y)＝log3x－log3y＝m－n.
题16．logm2＝a，logm3＝b，则m2a＋b的值为 (　　 )
A．6 B．7 C．12 D．18
【解析】选C.因为logm2＝a，logm3＝b，所以ma＝2，mb＝3，m2a＋b＝m2amb＝(ma)2mb＝22×3＝12.
题17．(多选)(2021·潍坊高一检测)若10a＝4，10b＝25，则 (　 　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab＞8lg22 D．b－a＜lg 6
【解析】选AC.因为10a＝4，10b＝25，
所以a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A选项正确，
b－a＝lg 25－lg 4＝lg ＞lg 6，故B，D选项不正确，ab＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2·lg 5＞4lg 2·lg 4＝8lg22，故C选项正确．
题18．计算：2－1＋lg 100－ln ＝________．
【解析】原式＝＋2－＝2.
答案：2
题19．已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
【解析】因为3a＝5b＝c，所以a＝log3c，b＝log5c，c>0，所以＝logc3，＝logc5，所以＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝(负值舍去).
题20．计算以下式子的值：
(1)2lg 2＋lg 25；
(2).
【解析】(1)原式＝lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 100＝2.
(2)原式＝＝
＝＝＝1.
【综合突破拔高】
题21．(log29)·(log34)等于 (　 　)
A． B． C．2 D．4
【解析】选D.(log29)·(log34)＝·＝·＝4.
题22．如果(13.2)a＝1 000，(0.013 2)b＝1 000，那么－的值是(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.因为(13.2)a＝1 000，(0.013 2)b＝1 000，所以a＝log13.21 000，b＝log0.013 21 000，
所以＝log1 00013.2，＝log1 0000.013 2，
所以－＝log1 00013.2－log1 0000.013 2＝log1 000＝log1 0001 000＝1.
题23．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 (　 　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
【解析】选A.令m1＝－26.7，m2＝－1.45，则m2－m1＝－1.45－(－26.7)＝25.25＝lg ，
所以lg ＝10.1，则＝1010.1.
题24．设实数x满足0【解析】因为logx4＝2logx2＝.所以logx4－log2x＝－log2x＝1，即(log2x)2＋log2x－2＝0，
解得：log2x＝－2或log2x＝1，所以x＝或x＝2.因为0答案：
题25．已知lg a＋b＝3，ab＝100，则alg 2·b＝________．
【解析】lg a＋b＝3，a＝103－b，又因为ab＝100，所以10(3－b)b＝100，b(3－b)＝2，
所以b＝1或2，a＝100或10，所以alg 2·b＝102lg 2·1＝4或alg 2·b＝10lg 2·2＝2×2＝4.
答案：4
题26． ＝________.
【解析】原式＝ ＝＝＝2.
答案：2
题27．已知3a＝4，b＝log23，则ab＝________；4b＝________．
【解析】因为3a＝4，b＝log23，所以a＝log34，
所以ab＝log34·log23＝×＝2.4b＝4log23＝4log49＝9.
答案：2　9
题28．计算下列各式：
(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋2log25；
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
【解析】(1)(log32＋log92)(log43＋log83)＋2log25＝＋5
＝···＋5＝×＋5＝.
(2)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22＝2lg 5＋lg 23＋lg 5·lg (4×5)＋lg22
＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.
题29.计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
【解析】(1)原式＝
log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22＝log2＝log2＝log22＝－.
题30．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，试估计1 000以内的素数的个数．
(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)
【思路导引】根据素数计算公式，利用换底公式计算．
【解析】由题意可知：π(1 000)≈
＝lg e≈×0.434 29≈145.
所以根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为145.
【素养培优训练】
题31．若实数x，y同时满足方程2x＝8y＋1和9y＝3x－9，则x＋y的值为(　 　)　
A．18 B．24 C．21 D．27
【解析】选D.由实数x，y同时满足方程2x＝8y＋1和9y＝3x－9，
可得即解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
题32．对于一切不等于1的正数x，则＋＋等于 (　 　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.由题意，根据对数的换底公式，可得
＋＋＝logx3＋logx4＋logx5＝logx(3×4×5)＝logx60＝.
题33．已知a＋a－1＝3，下列各式中正确的个数是 (　　 )
①a2＋a－2＝7；②a3＋a－3＝18；
③a＋a－＝±；④a＋＝2.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.①a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，正确；
②a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18，正确；
③因为a＋a－1＝3可知a>0，a＋a－>0，(a＋a－)2＝a＋2＋a－1＝5，所以a＋a－＝，故错误；
④a＋＝a＋a－＝(a＋a－)(a－1＋a－1)＝(a－1＋a－1)＝2，正确．
题34．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝ (　 　)
A．15 B．56 C． D．
【解析】选B.因为7a＝k，所以a＝log7k.因为8b＝k，所以b＝log8k，所以＋＝logk7＋logk8＝logk56＝1，所以k＝56.
题35．设a，b＞0，若a＋4b＝1，则log2a＋log2b的 (　　 )
A．最小值为－2 B．最小值为－4 C．最大值为－2 D．最大值为－4
【解析】选D.因为a，b＞0，且a＋4b＝1，
所以由基本不等式得a＋4b≥2，当且仅当a＝4b时，等号成立，所以ab≤，
所以log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2＝－4.
题36．已知ab＝－5，则a＋b的值是 (　 　)
A．2 B．0 C．－2 D．±2
【解析】选B.因为ab＝－5，所以a与b异号，
所以a＋b＝a＋
b＝a＋b＝a＋b＝0.
题37.＋(－1)－1÷0.75－2＋－＝ (　　)
A． B． C．－ D．－
【解析】选A.原式＝－＋3×＝－＋＝.
题38．(多选)下列等式不成立的是 (　 　)
A．ln e＝1 B．log31＝0 C．＝a－ D．log2(－5)2＝2log2(－5)
【解析】选CD.根据对数式的运算，可得ln e＝1，log31＝0，故A，B成立；
由根式与指数式的互化可得＝a－，故C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立．
题39．(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝ (　 　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．2
【解析】选AD.令t＝logab，则t＋＝，所以2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，
所以t＝或t＝2.所以logab＝或logab＝2.所以a＝b2或a2＝b.因为ab＝ba，
所以2b＝a＝b2或b＝2a＝a2.所以b＝2，a＝4或a＝2，b＝4.所以＝2或＝.
题40．已知方程loga(5x－3x)＝x(a>0，a≠1)，若2是方程的一个解，则a＝________；当a＝2时，方程的唯一解是________．
【解析】若2是方程的一个解，则loga(52－32)＝2，即loga16＝2，a2＝16，由于a>0，a≠1，
所以a＝4.当a＝2时，方程化为log2(5x－3x)＝x，即2x＝5x－3x，2x＋3x＝5x，显然x＝1是方程的解．
答案：4　1
题41．计算：20＋－8＝________．若10x＝2，10y＝3，则10＝________．
【解析】20＋－8＝1＋|1－|－(23)＝1＋－1－＝0；
10＝(103x－y)＝＝＝＝.
答案：0　
题42．计算：10＋－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝________．
【解析】10＋－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝1＋6－4＋2＝5.
答案：5
题43．求下列式子的值：
(1)；
(2)log49·log38＋lne2＋lg 0.01＋51＋log53.
【解析】(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝6log43·log32＋2－2＋5·3＝3＋15＝18.
题44．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：＝＝＝－1.
方法二：＝＝＝＝－1.
(1)请用两种不同的方法化简：；
(2)化简：＋＋…＋.
【解析】(1)方法一：原式＝＝－；
方法二：原式＝＝－.
(2)原式＝
(－＋－＋…＋－)＝(－)＝－.
题45．已知5x＝2y＝()z，且x，y，z≠0，求＋的值．
【解析】令5x＝2y＝()z＝k，则x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k，
所以＋＝＋＝2lg k(logk5＋logk2)＝2lg k·logk10＝2，即＋＝2.
题46．设a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
【解析】原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，所以t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
所以lg (ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，即lg (ab)·(logab＋logba)＝12.
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