第三章 圆锥曲线
3.2.2双曲线的几何性质(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2．双曲线的离心率为2，且过点，，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，△F1F2P为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
4．已知双曲线，其中为其一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
5．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆Γ与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经过与Γ反射，又回到了点历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经Γ两次反射后又回到了点历时秒；若则Γ与的离心率之比为（ ）
A. B. 1：2 C. 2：3 D. 3：4
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为 B. 的离心率为
C. 曲线经过的一个焦点 D. 直线与有两个公共点
8．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A. M的离心率为
B. M的标准方程为
C. M的渐近线方程为
D. 直线经过M的一个焦点
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为___________．
10．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=_____________
11．已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是_____________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．
13．已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线与双曲线交于点A， B两点.记FA， FB的斜率分别为
（1）求双曲线C的方程;
（2）求的值.
14．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
求双曲线C的标准方程；
是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．第三章 圆锥曲线
3.2.2双曲线的几何性质(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选：A.
2．双曲线的离心率为2，且过点，，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线过点，，
则有①，
又离心率为2，
则②，
由①②可得，，，
所以双曲线的标准方程为． 故选:B．
3．已知点F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，△F1F2P为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】由题意可设点在双曲线的右支上,
△F1F2P为等腰三角形，且顶角为120°,
则且.
所以
由双曲线的定义有：
则，所以，故选：D
4．已知双曲线，其中为其一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意，双曲线，其中为其一条渐近线方程，可得，
所以双曲线的离心率为．故选:C．
5．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆Γ与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经过与Γ反射，又回到了点历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经Γ两次反射后又回到了点历时秒；若则Γ与的离心率之比为（ ）
A. B. 1：2 C. 2：3 D. 3：4
【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
在左图中，由椭圆定义可得：①，
由双曲线定义可得：②，
①②得：，
的周长为：；
在右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，
即直线过，
的周长为，
又两次时间分别为，，且，
光线速度相同，，，
椭圆与双曲线焦点相同，
，． 故选：C．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】若双曲线的焦点在轴上，则，
所以，双曲线的离心率为；
若双曲线的焦点在轴上，则，可得，
所以，双曲线的离心率为. 故选：AD.
7．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为 B. 的离心率为
C. 曲线经过的一个焦点 D. 直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；
对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；
对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误. 故选：AC
8．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A. M的离心率为
B. M的标准方程为
C. M的渐近线方程为
D. 直线经过M的一个焦点
【答案】ACD
【解析】依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，所以双曲线方程为，离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，显然直线过点；故选：ACD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为___________．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，
所以，双曲线的方程为，即为.
故答案为：.
10．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=_____________
【答案】1
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，故答案为：1
11．已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是_____________
【答案】
【解析】己知双曲线(，)的右焦点为，若有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴，离心率，∴. 故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．
【答案】（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.
【解析】（1）当时，
双曲线方程化，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
13．已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线与双曲线交于点A， B两点.记FA， FB的斜率分别为
（1）求双曲线C的方程;
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设双曲线的方程为，
由题意，，该双曲线的渐近线方程，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，
所以，
所以双曲线C的方程为；
（2）设，
由，消去x化简可得，，
所以，，
所以
.
14．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
求双曲线C的标准方程；
是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）直线l不存在．详见解析
【解析】双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，
设双曲线方程为：，过点．
可得，
所求双曲线方程为：．
假设直线l存在．
设是弦MN的中点，
且，，则，．
，N在双曲线上，
，
，
，
，
直线l的方程为，即，
联立方程组，得
，
直线l与双曲线无交点，
直线l不存在．
