第三章 圆锥曲线
3.2.2双曲线的几何性质(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．设双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5．在平面直角坐标系中，已知点，点在双曲线上，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列双曲线中，以为渐近线的双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 的面积为1
C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2
D. 以为直径的圆的方程为
8．已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为_____________
10．已知双曲线的离心率为，则实数的值为_____________
11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（，0），点N的坐标为（0，2），点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为_____．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知双曲线C1：-=1．
（1）若点M（3，t）在双曲线C1上，求M点到双曲线C1右焦点的距离；
（2）求与双曲线C1有共同渐近线，且过点（-3，2）的双曲线C2的标准方程．
13．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
14．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于 两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于 的一点，且直线 的斜率 均存在，求证：为定值；第三章 圆锥曲线
3.2.2双曲线的几何性质(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，所以该选项正确；
双曲线的渐近线方程为，所以该选项错误；
双曲线的渐近线方程为，所以该选项错误；
双曲线的渐近线方程为，所以该选项错误. 故选：A
2．已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为曲线为等轴双曲线，所以，则，
即焦点的坐标为，其渐近线方程为，
因为焦点到渐近线的距离为1，所以，
则双曲线的标准方程为. 故选：B
3．设双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，双曲线：的离心率为，即，
所以，所以的渐近线方程为．故选:B．
4．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理知，，
，
由双曲线的定义知，
，即
,又, 故选：B
5．在平面直角坐标系中，已知点，点在双曲线上，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，当直线AB的斜率为0时显然不满足题意，
设，AB的方程为，联立消x，得，
所以，①，又，有，即②，
由①②，得，即，，所以斜率为.
故选：B.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列双曲线中，以为渐近线的双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】的渐近线方程为：，所以A正确；
的渐近线方程为：，所以B正确；
的渐近线方程为：，所以C不正确；
的渐近线方程为：，所以D正确，故选：ABD.
7．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 的面积为1
C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2
D. 以为直径的圆的方程为
【答案】AB
【解析】对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确；
对于B，由双曲线，可得，则，设，则，
所以，得，
因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确；
对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；
对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误， 故选：AB
8．已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
【答案】ABC
【解析】A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得，所以A正确；
B，设点，
有，，
直线的斜率之积
，所以B正确；
C，根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，
在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，
此时为等腰三角形，
也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，
同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确；
D，，
设，，由双曲线的定义可得，
则，①
由余弦定理可得，②
②①得，，
则
，所以D不正确. 故选：ABC
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为_____________
【答案】
【解析】因为曲线为等轴双曲线，所以，则，
即焦点的坐标为，其渐近线方程为，
因为焦点到渐近线的距离为1，所以，
则双曲线的标准方程为. 故答案为：
10．已知双曲线的离心率为，则实数的值为_____________
【答案】
【解析】曲线的离心率为，故，解得.
故答案为：
11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（，0），点N的坐标为（0，2），点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为_____．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，则|MF|﹣＝2a，即，
故，当且仅当N，M，三点共线时等号成立．由可得，
故△MNF的周长|MN|+|MF|+|NF|≥+|NF|＝14+2a，
依题意，△MNF周长的最小值14+2a≥20，解得a≥3，
所以双曲线的离心率e＝ ，又e＞1，
可得1＜e≤，故双曲线的离心率的范围是. 故答案为：．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知双曲线C1：-=1．
（1）若点M（3，t）在双曲线C1上，求M点到双曲线C1右焦点的距离；
（2）求与双曲线C1有共同渐近线，且过点（-3，2）的双曲线C2的标准方程．
【答案】（1）4（2）x2-=1
【解析】（1）双曲线C1：-=1的右焦点为（4，0），
点M（3，t）在双曲线C1上，可得t2=12（-1）=15，
则M点到双曲线C1右焦点的距离为=4；
（2）与双曲线C1有共同渐近线，可设双曲线C2的方程为-=m（m≠0，m≠1），
代入点（-3，2），可得m=-=，
则双曲线C2的标准方程为x2-=1．
13．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，设，
于是，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，.
14．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于 两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于 的一点，且直线 的斜率 均存在，求证：为定值；
【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】（1）由题意得：
解得：
∴双曲线的方程为
（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为
设，则
，得
∴
