南京市2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．
1．若复数z满足 ·i＝2+i,其中i为虚数单位，则z=
A．1+2i B．1－2i C．－1+2i D．－1－2i
2．记A＝{x|log2(x－1)<2}，A∩N＝B，则B的元素个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知cosθ＝ ，则sin(2θ＋)＝
A．－ B． C． D．－
4．设a，b为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb”是“a·b<0”的
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C． 充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A与学生B要安排在同一地点，则不同的安排方案共有
A．72种 B．36种 C．24种 D．12种
6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%-45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为P=P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤
A．6小时 B．3小时 C．1.5小时 D．小时
7．设F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是椭圆E准线上一点，∠F1MF2的最大值为60°，则椭圆E的离心率为
A． B． C． D．
8．已知a＝sin，b＝，c＝则
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
在这次射击中，下列说法正确的是
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定 D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
10．已知函数f(x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，当x[1，＋∞)时，f(x)＝x3，则
A．f(0)＝0 B．对任意的正实数a，都有f (a+)≥f (4)
C．f (1＋x)为偶函数 D．不等式f (x+1)
11．在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA=PB，则
A．点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8 B．△PAB面积最大时PA=2
C．∠PAB最大时，PA=2 D．P到直线AC距离最小值为
12．在底面棱长为2侧棱长为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，点E为AC1的中点，=λ(0≤λ≤1),则以下结论正确的是
A．当λ=时，=+ － B．当λ=时，AB1//平面A1C1D
C．存在λ使得DE⊥平面A1B1C D．四面体E－ABC外接球的半径为
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知(x＋ay)3的展开式中含x2y项的系数为6．则实数a的值为 ▲ ．
14．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC的边OA,OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为4，则a= ▲ ．
15．若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式an＝ ▲ ．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(tanA+tanB)= +，则= ▲ ；c=4，D为AB的中点且CD= ，则△ABC的面积为 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t(t＞0)倍，得到y＝g(x)的图象．若为函数y＝g(x)的一个零点，求t的最大值．
18．（本题满分12分）
我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
该农作物亩产量（kg） 900 1200
概率 0.5 0.5
该农作物市场价格（元/kg） 30 40
概率 0.4 0.6
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．
19.（本题满分12分）
在①6Sn=an2+3an－4；②an=2an-1－3n+5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}前n项和为Sn，满足a2＝2b2－1．a3=b3＋2，_______.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前70项和.
20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求三棱锥M﹣ACB体积．
21．(本小题满分12分)
已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．
（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；
（2）在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足＝ 若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex+a+bsinx－1的图象在原点处的切线方程为y=2x．
(1)求函数y＝f(x)的解析式．
(2)证明：f(x)≥2x．2021—2022 学年第一学期 12 月六校联合调研试题
高三数学参考答案 2021.12
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意的．
1．A 2． B 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题意．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．A C 10．B C 11．A B D 12．A D
三、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．
13．2 14．4 15． 2n＋1或 3n－1(形如 kn－(k－2)(k为不小于 3的正整数)答案不唯一
16．3，4 6
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10分）
解:(1)由图象知，A＝2．
又T＝5π－π＝π，ω＞0，所以 T＝2π＝2π，得ω＝1． …………2分
4 6 3 2 ω
所以 f(x)＝2sin(x＋φ)，将点(π，2)代入，得π＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
3 3 2
即φ＝π＋2kπ(k∈Z)．又－π＜φ＜π，所以φ＝π． ……………4分
6 2 2 6
所以 f(x)＝2sin(x＋π)． ………………5分
6
(2)g(x)＝2sin(1x＋π)， …………7分
t 6
所以1.π＋π＝kπ，k∈Z．
t 4 6
所以 t＝ 3 ,k∈Z ………………9分
12k-2
故时 k＝1，t的最大值为 3 ………………10分
10
18．（本题满分 12分）
解：(1)由题意知：
∴X的所有可能取值为：27000，36000，48000， ………………………………1分
设 A表示事件“作物亩产量为 900kg”，则 P(A)＝0.5，
B表示事件“作物市场价格为 30元/kg”，则 P(B)＝0.4，
则 P(X＝27000)＝0.5×0.4=0.2，
P(X＝36000)＝0.5×0.4+0.5×0.6=0.5，
P(X＝48000)＝0.5×0.6=0.3， ………………………………5分
∴X的分布列为：
X 27000 36000 48000
P 0.2 0.5 0.3
………………………………………………………………6分
(2)设 C表示事件“种植该农作物一亩一年的收人不少于 30000元”，
则 P(C)=P(X≥30000)=P(X＝36000)+P(X＝48000)=0.8， ………………8分
设这三年中有 Y年有收入不少于 30000元，则有Y B 3,0.8 ，……………10分
∴这三年中该农户种植该农作物一亩至少两年收入超过 30000元的概率为：
P(Y≥2)= 0.896． ……………………………………12分
19.（本题满分 12分）
解解(1)选①，令 n=1,则 6S1=a12+3a1－4，
所以 a1=4(负值舍去） …………… 1分
令 n=2,则 6S2=a22+3a2－4，
则 a2=7(负值舍去） …………… 2分
所以 an=3n+1 …………… 3分
又 a2＝2b2－1．a3=b3＋2，所以 b2=4，b3=8
所以 bn=2n …………… 6 分
选②，令 n=2,则 a2=2a1－1;设数列{an}是公差为 d的等差数列
所以 a1=d+1 …………… 1 分
令 n=2,则 a3=2a2－4;，
则 d=3，a1=4 …………… 2分
所以 an=3n+1 …………… 3分
又 a2＝2b2－1．a3=b3＋2，所以 b2=4，b3=8
所以 bn=2n …………… 6 分
c b 3n 1 27 128 n 127（2）当 n 的前 70项中含有 n 的前 6项时，令 ，3
此时至多有 41 7 48项（不符）.
c
当 n
8
的前 70 b 项中含有 n 的前 7项时，令3n 1 2 256 n 85，……… 9分
且 22，24，26是 an 和 bn 的公共项，则 cn 的前 70项中含有 bn 的前 7项且含有 an 的
前 66项，再减去公共的三项.
∴S70=(66×4+66×65×3)+2+23+25+27=6869 ……… 12 分
2
(注其他方法正确，酌情给分)
20．（本题满分 12分）
解：（1）证明：∵四边形 ABCD是直角梯形，AD＝CD＝2，BC＝4，
∴AC＝2 2，AB＝ ＝2 2，
∴△ABC是等腰直角三角形，即 AB⊥AC， ……………………………………2分
∵PA⊥平面 ABCD，AB 平面 ABCD，∴PA⊥AB，
又 PA∩AC＝A，∴AB⊥平面 PAC， ……………………………………4分
又 PC 平面 PAC，∴AB⊥PC． ……………………………………6分
（2）过点 M作 MN⊥AD于 N，则 MN∥PA，
∴MN⊥平面 ABCD，∴MN⊥AC．
过点 M作 MG⊥AC于 G，连接 NG，则 AC⊥NG，
∴∠MGN是二面角 M﹣AC﹣D的平面角． ……………………………………8分
若 cos∠MGN＝ 3，则 2NG＝MN，又 AN＝ 2NG＝MN，
3
设 MN＝x，则 AN＝x，ND＝2﹣x，
∵△MND是等腰直角三角形，解得 x＝2﹣x，
∴MN＝1 ……………………………………10分
在三棱锥 M﹣ABC中，VM﹣ABC＝1S△ABC MN＝1×1×4×2×1＝4 ………………12分
3 3 2 3
（2）另解：过点 A作 AE⊥BC于 E，以 A点为原点，AE，AD，AP所在直线分别为 x轴，y
轴，z轴建立平面直角坐标系
→
取平面 DAC的法向量AP＝(0，0，2)． ……………………………………8分
→ →
设 M(0，a，2－a)(0＜a≤2)，AM＝(0，a，2－a)，AC＝(2，2，0)，
设平面 CAM的法向量为 n＝(x，y，z)．
→ → 2x＋2y＝0
由AC·n＝0，AM·n＝0得 ay (2 a)z 0，可取 n＝(a－2，2－a，－a)，＋ － ＝
→
所以 cosθ= 3．得 a＝1 ………10分
3
故 VM 1﹣ABC＝ S△ABC a＝1×1×4×2×1＝4 ………………12分
3 3 2 3
21．(本小题满分 12分)
解：（1）直线 l：y＝2x－4
y 2x 4 x 4 x 1
由 2 得y 4x
或 ． …………2分
y 4
y 2
所以 A(4，4)，B(1，－2)， 故 AB=3 5． …………4分
（2）存在 x轴上的点 N(－a，0)满足题意，证明如下： …………5分
设直线 l：x＝my＋a
x my a
由 2 得 y2－4my－4a＝0．
y 4x
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4a．………… ………………7 分
k k y1 y2 y1(x2 a) y2 (x1 a)AN BN x1 a x2 a (x1 a)(x2 a)
y (my 2a) y (my 2a) 2my y 2a(y y )
1 2 2 1 1 2 1 2
(x1 a)(x2 a) (x1 a)(x2 a)
2m ( 4a) 2a 4m ……………………10分
0
(x1 a)(x2 a)
所以 kAN+kBN=0，可知 AN，BN的倾斜角互补，所以 ANM AMN ．
所以 NM为△ABN的角平分线，
由正弦定理:
BM BN AM AN
，
sin BNM sin BMN sin ANM sin AMN
AN AM
两式相除得
BN BM
综上，存在 x轴上的点 N(－a，0)满足题意 ……………………12分
22．(本小题满分 12分)
解：（1）已知函数 f(x)＝ex+a+bsinx－1的图象在原点处的切线方程为 y=2x
则 f′(0)=2，f(0)=0 ………… 2分
解得 a=0,b=1,则 f (x)＝ex＋sin x－1． ………… 4分
（2）证 f(x)≥2x，即证 ex＋sin x－2x－1≥0，令 g(x)＝ex＋sin x－2x－1，则 g(0)＝0，…5分
g′(x)＝ex＋cos x－2.则 g′(0)＝0，令 h(x)=ex＋cos x－2，则 h(0)=0，h′(x)=ex－sin x.
当 x＞0时，h′(x)＝ex－sin x＞0，则 h(x)在(0，＋∞)上是增函数，h(x)＞h(0)＝0，即 g′(x)＞0.
则 g(x)在(0，＋∞)上是增函数，则 g(x)＞g(0)＝0. …………………… 7分
当－π＜x＜0时，ex＞0，－sin x＞0，所以 h′(x)＞0，h(x)在(－π，0)上的增函数，h(x)＜h(0)
＝ 0.即 g′(x)＜ 0，函数 g(x)在区间 (－ π， 0)单调递减，在区间 (－ π， 0)上， g(x)＞
g(0)=0. …………………………10分
又当 x≤－π时，g(x)＝ex＋sin x－2x－1＞2π－2＞0.
综上所述 g(x)≥0，即 f(x)≥2x …………………12分