1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 196.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 12:39:52 | ||
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文档简介
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
基础过关练
题组一 柱体、锥体、台体的表面积
1.六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积等于( )
A.12+12 B.48+12
C.64+6 D.72+6
2.(广东高考模拟)在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=3,AC=4,以AC所在直线为轴旋转一周,所得几何体的表面积等于( )
A.24π B.12π C. D.
3.(湖北高三期末)已知圆台的上、下底面中心分别为O1,O2,过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4,且高为的等腰梯形,则该圆台的侧面积为( )
A.3π B.3π C.6π D.6π
4.(辽宁辽阳高一期末)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面去截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,则该圆柱的表面积为 .
5.(湖南长郡中学高一期中)若圆锥的表面积为27π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面圆的直径为 .
题组二 柱体、锥体、台体的体积
6.如图,ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是( )
A. B. C. D.
7.(河北高一月考)如图,一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为( )
A. B. C.π D.π
8.(天津河东高一期末)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形,则圆柱的体积是 .
9.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是 .
题组三 组合体的表面积与体积
10.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 .
11.如图所示,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求:
(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B-AB1C的体积为( )
A. B. C. D.
2.(★★☆)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为( )
A.7 B.6 C.5 D.3
3.(湖北高考模拟,★★☆)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为( )
A.4 B.
C.2 D.4
4.(福建高考模拟,★★☆)母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于288°,则该圆锥的体积为( )
A.16π B.8π
C. D.
二、填空题
5.(天津高考模拟,★★☆)已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 .
6.(★★☆)一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为 .
7.(★★☆)如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,则此正三棱锥的表面积为 .
8.(★★★)用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是 .
三、解答题
9.(★★☆)在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.
10.(★★☆)已知四面体ABCD中,AB=CD=,BC=AD=2,BD=AC=5,求四面体ABCD的体积.
11.(上海高三期末,★★☆)如图,一个圆锥形量杯的高为12厘米,其母线与轴的夹角为30°.
(1)求该量杯的侧面积S;
(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA上刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,量杯里的液体的体积是多少.当液体体积是100立方厘米时,刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米(精确到0.1厘米)
答案全解全析
基础过关练
1.B 题中六棱柱的底面为正六边形,侧面是矩形,所以为正六棱柱,侧面积为4×2×6=48,上、下底面面积之和为2××22×6=12,所以表面积等于48+12,故选B.
2.A 由题意可得旋转体为圆锥,其底面半径r=3,高h=4,故它的母线长l=BC==5,侧面积为πrl=π×3×5=15π,底面积为πr2=9π,故它的表面积为15π+9π=24π,故选A.
3.C 设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,高为h,则根据题意知,r1=1,r2=2,h=,且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线,
则母线长l===2,则该圆台的侧面积S侧=π(r1+r2)l=6π.
故选C.
4.答案 6π
解析 因为过直线O1O2的平面去截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,
所以圆柱的母线长l=2,底面圆的直径为2,则半径r=1,
所以圆柱的表面积S=2πrl+2πr2=6π.
5.答案 6
解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,∵圆锥的侧面展开图是一个半圆,∴2πr=πl,∴l=2r,∴圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=27π,∴r2=9,即r=3,2r=6.
6.C ∵VC-A'B'C'=VABC-A'B'C'=,
∴VC-AA'B'B=1-=.故选C.
7.C 设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,圆锥的侧面积S侧=πrl=4π,解得r=1,所以圆锥的高h==,故圆锥的体积V=πr2h=π,故选C.
8.答案 或
解析 当母线长为4时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××4=;
当母线长为2时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××2=.
综上,所求圆柱的体积为或.
9.答案 π
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上底面=πr2=π,S下底面=πR2=4π,∴r=1,R=2.
又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2,
∴h==,
∴V=(π++4π)×=π.
10.答案 10π
解析 用一个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.
11.解析 (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆台,其上底面半径是4 cm,下底面半径是16 cm,高AB=5 cm,母线DC==13(cm).
∴该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线DC长为13 cm,又圆柱的母线AD长为4 cm,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
能力提升练
一、选择题
1.D 设棱柱ABC-A1B1C1的高为h,且h=3,则==S△ABC·h=××3=.故选D.
2.A 设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.
由S侧=3π(r+3r)=84π,
解得r=7.
故选A.
3.B 设长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,z,则
所以体对角线的长为===.故选B.
4.A ∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于288°,
∴侧面展开图的弧长为×5=8π.
设圆锥的底面半径为r,则8π=2πr,
∴r=4,
∴圆锥的高h==3,
∴圆锥的体积V=×πr2h=16π.
故选A.
二、填空题
5.答案 2π
解析 将边长为2的等边三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体,该组合体由两个同底的圆锥组成,两个圆锥的底面半径为,高为1,所以所围成几何体的体积为2×π××1=2π.
6.答案 160
解析 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=+===64,
∴AB=8.
∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
7.答案 27
解析 如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h',过点O作OE⊥AB,与AB交于点E,连接SE,则SE⊥AB,SE=h'.
∵S侧=2S底,∴3×ah'=2×a2.
∴a=h'.∵SO⊥OE,∴SO2+OE2=SE2.
∴32+=h'2.
∴h'=2.∴a=h'=6.
∴S底=a2=×62=9,
S侧=2S底=18.
∴S表=S侧+S底=18+9=27.
8.答案 8
解析 图①是棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图①所示的方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图②易知正方形的边长为2,故其面积为8.
三、解答题
9.解析 设棱台的高为h,S△ABC=S,则=4S,
∴=S△ABC·h=Sh,
=·h=Sh.
又V台=(S+4S+2S)h=Sh,
∴=V台--
=Sh-Sh-Sh=Sh,
∴∶∶=1∶2∶4.
10.解析 以四面体的各棱为长方体的面对角线作出该四面体,如图所示.
设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,
则∴
易知VD-ABE=DE·S△ABE=V长方体.
同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=V长方体.
∴V四面体ABCD=V长方体-4×V长方体=V长方体.
而V长方体=2×3×4=24,∴V四面体ABCD=8.
11.解析 (1) 由题意知,圆锥底面半径r=12×tan 30°=4(厘米),母线l==8(厘米).
则圆锥的侧面积S=πrl=96π(平方厘米).因此该量杯的侧面积为96π平方厘米.
(2)设BP=x厘米,则过点B平行于底面的截面圆的半径为 厘米,顶点P到该截面的距离为 厘米,
所以此时液体的体积V=×π××=x3立方厘米,将V=100代入可得x≈7.6.
因此刻度的位置B与顶点P之间的距离约为7.6厘米.
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
基础过关练
题组一 柱体、锥体、台体的表面积
1.六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积等于( )
A.12+12 B.48+12
C.64+6 D.72+6
2.(广东高考模拟)在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=3,AC=4,以AC所在直线为轴旋转一周,所得几何体的表面积等于( )
A.24π B.12π C. D.
3.(湖北高三期末)已知圆台的上、下底面中心分别为O1,O2,过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4,且高为的等腰梯形,则该圆台的侧面积为( )
A.3π B.3π C.6π D.6π
4.(辽宁辽阳高一期末)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面去截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,则该圆柱的表面积为 .
5.(湖南长郡中学高一期中)若圆锥的表面积为27π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面圆的直径为 .
题组二 柱体、锥体、台体的体积
6.如图,ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是( )
A. B. C. D.
7.(河北高一月考)如图,一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为( )
A. B. C.π D.π
8.(天津河东高一期末)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形,则圆柱的体积是 .
9.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是 .
题组三 组合体的表面积与体积
10.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 .
11.如图所示,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求:
(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B-AB1C的体积为( )
A. B. C. D.
2.(★★☆)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为( )
A.7 B.6 C.5 D.3
3.(湖北高考模拟,★★☆)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为( )
A.4 B.
C.2 D.4
4.(福建高考模拟,★★☆)母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于288°,则该圆锥的体积为( )
A.16π B.8π
C. D.
二、填空题
5.(天津高考模拟,★★☆)已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 .
6.(★★☆)一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为 .
7.(★★☆)如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,则此正三棱锥的表面积为 .
8.(★★★)用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是 .
三、解答题
9.(★★☆)在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.
10.(★★☆)已知四面体ABCD中,AB=CD=,BC=AD=2,BD=AC=5,求四面体ABCD的体积.
11.(上海高三期末,★★☆)如图,一个圆锥形量杯的高为12厘米,其母线与轴的夹角为30°.
(1)求该量杯的侧面积S;
(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA上刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,量杯里的液体的体积是多少.当液体体积是100立方厘米时,刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米(精确到0.1厘米)
答案全解全析
基础过关练
1.B 题中六棱柱的底面为正六边形,侧面是矩形,所以为正六棱柱,侧面积为4×2×6=48,上、下底面面积之和为2××22×6=12,所以表面积等于48+12,故选B.
2.A 由题意可得旋转体为圆锥,其底面半径r=3,高h=4,故它的母线长l=BC==5,侧面积为πrl=π×3×5=15π,底面积为πr2=9π,故它的表面积为15π+9π=24π,故选A.
3.C 设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,高为h,则根据题意知,r1=1,r2=2,h=,且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线,
则母线长l===2,则该圆台的侧面积S侧=π(r1+r2)l=6π.
故选C.
4.答案 6π
解析 因为过直线O1O2的平面去截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,
所以圆柱的母线长l=2,底面圆的直径为2,则半径r=1,
所以圆柱的表面积S=2πrl+2πr2=6π.
5.答案 6
解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,∵圆锥的侧面展开图是一个半圆,∴2πr=πl,∴l=2r,∴圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=27π,∴r2=9,即r=3,2r=6.
6.C ∵VC-A'B'C'=VABC-A'B'C'=,
∴VC-AA'B'B=1-=.故选C.
7.C 设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,圆锥的侧面积S侧=πrl=4π,解得r=1,所以圆锥的高h==,故圆锥的体积V=πr2h=π,故选C.
8.答案 或
解析 当母线长为4时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××4=;
当母线长为2时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××2=.
综上,所求圆柱的体积为或.
9.答案 π
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上底面=πr2=π,S下底面=πR2=4π,∴r=1,R=2.
又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2,
∴h==,
∴V=(π++4π)×=π.
10.答案 10π
解析 用一个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.
11.解析 (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆台,其上底面半径是4 cm,下底面半径是16 cm,高AB=5 cm,母线DC==13(cm).
∴该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线DC长为13 cm,又圆柱的母线AD长为4 cm,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
能力提升练
一、选择题
1.D 设棱柱ABC-A1B1C1的高为h,且h=3,则==S△ABC·h=××3=.故选D.
2.A 设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.
由S侧=3π(r+3r)=84π,
解得r=7.
故选A.
3.B 设长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,z,则
所以体对角线的长为===.故选B.
4.A ∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于288°,
∴侧面展开图的弧长为×5=8π.
设圆锥的底面半径为r,则8π=2πr,
∴r=4,
∴圆锥的高h==3,
∴圆锥的体积V=×πr2h=16π.
故选A.
二、填空题
5.答案 2π
解析 将边长为2的等边三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体,该组合体由两个同底的圆锥组成,两个圆锥的底面半径为,高为1,所以所围成几何体的体积为2×π××1=2π.
6.答案 160
解析 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=+===64,
∴AB=8.
∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
7.答案 27
解析 如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h',过点O作OE⊥AB,与AB交于点E,连接SE,则SE⊥AB,SE=h'.
∵S侧=2S底,∴3×ah'=2×a2.
∴a=h'.∵SO⊥OE,∴SO2+OE2=SE2.
∴32+=h'2.
∴h'=2.∴a=h'=6.
∴S底=a2=×62=9,
S侧=2S底=18.
∴S表=S侧+S底=18+9=27.
8.答案 8
解析 图①是棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图①所示的方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图②易知正方形的边长为2,故其面积为8.
三、解答题
9.解析 设棱台的高为h,S△ABC=S,则=4S,
∴=S△ABC·h=Sh,
=·h=Sh.
又V台=(S+4S+2S)h=Sh,
∴=V台--
=Sh-Sh-Sh=Sh,
∴∶∶=1∶2∶4.
10.解析 以四面体的各棱为长方体的面对角线作出该四面体,如图所示.
设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,
则∴
易知VD-ABE=DE·S△ABE=V长方体.
同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=V长方体.
∴V四面体ABCD=V长方体-4×V长方体=V长方体.
而V长方体=2×3×4=24,∴V四面体ABCD=8.
11.解析 (1) 由题意知,圆锥底面半径r=12×tan 30°=4(厘米),母线l==8(厘米).
则圆锥的侧面积S=πrl=96π(平方厘米).因此该量杯的侧面积为96π平方厘米.
(2)设BP=x厘米,则过点B平行于底面的截面圆的半径为 厘米,顶点P到该截面的距离为 厘米,
所以此时液体的体积V=×π××=x3立方厘米,将V=100代入可得x≈7.6.
因此刻度的位置B与顶点P之间的距离约为7.6厘米.