2.1.1平面 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word版，含解析）

第二章　点、直线、平面之间的位置关系
2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1　平面
基础过关练
题组一　点、直线、平面位置关系的三种语言转换
1.如果点A在直线a上,而直线a又在平面α内,那么可以记作(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A a,a α B.A∈a,a α
C.A a,a∈α D.A∈a,a∈α
2.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B α;
(2)l α,m∩α=A,A l;
(3)P∈l,P α,Q∈l,Q∈α.
3.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.
(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;(3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC;(5)直线AB与直线BC;(6)直线AB与平面AC;(7)平面A1B与平面AC.
题组二　公理1、2、3的应用
4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中(　　)
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
5.下列说法中正确的是(　　)
A.相交直线上的三个点可以确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
6.(河南洛阳高一月考)给出下列说法:
①梯形的四个顶点共面;
②四边形一定是平面图形;
③有三个公共点的两个平面重合;
④三条直线两两相交,可以确定3个平面.
其中正确的序号是(　　)
A.① B.①④ C ②③ D.③④
7.如图,平面α∩平面β=l,A、B∈α,C∈β,C l,直线AB∩l=D,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过(　　)
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
8.给出以下四个说法:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④首尾顺次相接的四条线段必共面.
其中说法正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是(　　)
A.C1,M,O三点共线 B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面 D.D1,D,O,M四点共面
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β,α,β不重合 α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
2.(★★☆)已知点A,直线a,平面α,以下叙述中正确的个数是(　　)
①若A∈a,a α,则A α;
②若A∈a,a∈α,则A∈α;
③若A a,a α,则A α;
④若A∈a,a α,则A α.
A.0 B.1
C.2 D.3
3.(云南丽江高一期末,★★☆)在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,那么(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上
D.M既不在直线AC上,也不在直线BD上
4.(★★☆)下列命题中,正确的是(　　)
A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面
B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面
C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面
D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面
5.(★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体的过点M,N,C1的截面图形是(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
二、填空题
6.(★★☆)已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β=l,m α,n β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　.
7.(★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有　　　　条.
8.(★★☆)空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是　　　　　　.
三、解答题
9.(★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)由点A,O,C可以确定一个平面;
(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
10.(2018浙江金华一中模考,★★☆)如图,在底面是平行四边形的四棱锥S-ABCD中,O为AC,BD的交点,P,Q分别为△SAD,△SBC的重心.求证:S,P,O,Q四点共面.
11.(★★★)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图.
(1)求证:D、B、E、F四点共面;
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.
12.(★★★)如图所示,△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1,BB1,CC1两两相交,求证:三条直线AA1,BB1,CC1交于一点.
答案全解全析
基础过关练
1.B　直线上有无数个点,直线可看成点的集合,点A在直线a上,可记作A∈a,直线a在平面α内,可记作a α,故选B.
2.解析　(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.
3.解析　(1)点P∈直线AB.(2)点C 直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1 平面AC.(5)直线AB∩直线BC=点B.(6)直线AB 平面AC.(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.
4.B　由图(1)(2)知,A,C,D均不正确,只有B正确.
5.D　A错误,当三点共线时,过三点的平面有无数个.B错误,空间两两相交的三条直线(不在同一平面内)交于同一点时,无法确定一个平面.C错误,空间中四个点不一定共面,有三个角为直角的四边形可能是空间图形.
6.A　因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;四边形可能为空间四边形,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.
7.D　因为A,B∈γ,所以根据公理1,知直线AB γ,又因为AB∩l=D,所以D∈AB γ,所以可判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.故选D.
8.B　①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确;②不正确,如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,但A,B,C,D,E不共面;③将线段放入长方体中,可知③不正确;④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.故选B.
9.D　连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,因为AC 平面ACC1A1,BD 平面C1BD,所以O∈平面ACC1A1,O∈平面C1BD.因为A1C∩平面C1BD=M,且A1C 平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面C1BD.又易知C1∈平面ACC1A1,C1∈平面C1BD,所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A中结论正确,又由公理2可知B,C中结论均正确,易知D中结论不正确.
能力提升练
一、选择题
1.C　选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C中推理错误.
2.A　①不正确,有可能存在a∩α=A;
②不正确,“a∈α”表述错误;
③不正确,如图所示,
A a,a α,但A∈α;
④不正确,“A α”表述错误.
3.A　如图,因为EF∩HG=M,
所以M∈EF,M∈HG,又EF 平面ABC,HG 平面ADC,故M∈平面ABC,M∈平面ADC,所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.故选A.
4.B　因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.故选B.
5.C　如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于点Q,连接PQ交AD于点E,交AB于点F,连接NF,ME,则正方体的过点M,N,C1的截面图形是五边形.故选C.
二、填空题
6.答案　P∈l
解析　因为m α,n β,m∩n=P,所以P∈α且P∈β.又α∩β=l,所以点P在直线l上,所以P∈l.
7.答案　5
解析　作图并观察可知既与AB共面,又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.
8.答案　1或2或3
解析　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).
②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,
直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).
③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).
三、解答题
9.解析　(1)不正确.因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面.
(2)正确.因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面.又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.
10.证明　如图,连接SP,SQ并延长,分别交AD,BC于点M,N,连接MN.
因为P,Q分别为△SAD,△SBC的重心,
所以M,N分别为AD,BC的中点,
所以O∈MN.
由棱锥的性质,可知S,M,N不共线,
所以确定一个平面SMN,
所以MN 平面SMN,所以O∈平面SMN.
又P∈SM,Q∈SN,SM 平面SMN,SN 平面SMN,
所以P∈平面SMN,Q∈平面SMN,
所以S,P,O,Q四点共面.
11.解析　(1)证明:由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O',则O'C1=C1C,故O'与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面(设为α).
(2)由于AA1∥CC1,
所以A1、A、C、C1四点共面(设为β).
因为P∈BD,BD α,所以P∈α.
又P∈AC,AC β,所以P∈β,
所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ.
又因为A1C β,
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.
连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.
12.证明　设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α,β,γ,AA1与BB1的交点为P,因为P∈AA1,P∈BB1,AA1 β,BB1 α,所以P∈α,P∈β,即P∈α∩β.又α∩β=CC1,所以P∈CC1,所以三条直线AA1,BB1,CC1交于一点P.