1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 同步训练——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 同步训练——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 08:57:52 | ||
图片预览
文档简介
用空间向量研究距离、夹角问题
一、单选题
1．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则平面与所成的角为（ ）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
2．已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l确定的平面的距离为（ ）
A．5 B．14 C． D．
3．已知在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（ ）
A． B．
C． D．
7．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，与相交
C．异面直线与所成的角为 D．始终与平面平行
二、多选题
9．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面，所成锐角的大小为
10．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面
B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角最小时，线段长为
11．如图所示，设，分别是正方体的棱上的两点，且，，其中正确的说法为（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的大小为45°
C．平面 D．直线与平面所成的角的大小为40°
12．如图，菱形边长为2，，E为边AB的中点.将沿DE折起，使A到，且平面平面，连接AB，AC.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．四面体的外接球表面积为
C．BC与AD所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
14．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，AD//BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是___________.
15．已知正方体，给出下列四个命题：
①；②；
③与的夹角为60°；④二面角大于120°．
其中错误命题的序号是________．
16．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.
（1）求与平面所成角的正弦；
（2）求点到面PBC的距离.
19．如图1五边形中，，将沿折到的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为线段的中点，且平面.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面;
（3）若直线与所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
20．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，ABCD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°.
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求___________夹角的余弦值；
从①平面PAB与平面ABC，②平面PBD与平面BDC，③平面PBC与平面BCD这三个条件中任选一个，补充在填空线上并作答.
（3）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
参考答案
1．B
2．C
3．B
4．A
5．A
6．B
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．易知平面的一个法向量为，则，所以，．
故选：B
7．C
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
8．D
依题意可知两两相互垂直，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系.
，
所以，
，
所以与不一定相等，所以A错误.
，
， ，所以异面直线与所成的角不是. C选项错误.
，平面的法向量为，
，所以始终与平面平行，D选项正确.
对于B选项，由上述分析可知平面，若与相交，设与确定的平面为，平面，所以.
，，则，解得，所以B选项错误.
故选：D
9．BCD
10．ACD
由题意可得，，，，
，，，设，
，，
直三棱柱中，，
可得为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
对于A，，，
即，又平面，所以平面，故A正确；
对于B，若是上的中点，则，
所以，所以与不垂直，故B不正确；
对于C，由为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于D，设，
则，
当时，即时，取最大值，
即直线与直线所成角最小，此时，
，故D正确.
故选：ACD
11．AB
对于A选项，为定值，故A正确；
对于B选项，异面直线与所成的角与直线与的角为同一个角，
即异面直线与所成的角的平面角为，故B正确；
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.
对于D选项，，平面即平面，
设平面的法向量是，
则即
取，得，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角的平面角为，
则，
所以，故D错误；
对于C选项，由D选项可知直线与平面所成的角为30°，故C错误.
故选：AB
12．BCD
解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，
，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
对于，，0，，，，，，0，， 2，，，
，，，，，，
，与不垂直，故错误；
对于，取中点，连接，
，，
过作平面，四面体的外接球球心在直线上，
设，由，得，解得，，
四面体的外接球表面积为：，故正确；
对于，，，，，，，
设与所成角的为，
则，
与所成角的余弦值为，故正确；
对于，，0，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
直线与平面所成角的正弦值为：
，故正确．
故选：．
13．
14．
15．③
如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，
对于①，因为，， 所以，，所以 ，所以①正确，
对于②，因为，所以②正确，
对于③，设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，所以 ③错误，
对于④，设平面的法向量为，则
，令，则，
平面的一个法向量为，
所以，由图可知二面角为钝角，设二面角的平面角为，则，所以，所以④正确，
故答案为：③
16．
解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为，
所以，
所以.
即P点到直线AB的距离为.
故答案为：.
17．(1) .
(2) .
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
19．（1）；（2）
解：
（1）因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，
则
（2），，
设平面的法向量，
则，令，即，
设点到面PBC的距离为，
则
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
解:(1）证明：取的中点，连接
则，
又，
所以，
则四边形为平行四边形，
所以
因为平面
所以平面
由(1）知，又平面
平面
由即及为的中点，
可得为等边三角形，
又，
即
又
平面.
为直线与所成的角，
由可得，
设则，
取的中点，连接，
易知平面过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
设为平面的法向量，
则，
即
取，则为平面的一个法向量，
又平面的法向量，
则
由图易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角余弦值
20．
（1）证明见解析
（2）答案见解析
（3）证明见解析
（1）
证明：因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD 平面ABCD，AD⊥DC，
所以AD⊥平面PCD，
又因为PC 平面PCD，
所以AD⊥PC.
（2）
选择①：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H.
由（1）可知，AD⊥平面PDC，所以AD⊥DH.
故DA，DC，DH两两垂直.
如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），P（0，-1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）.
则，=（0，1，0），
易知平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）.
设平面PAB的法向量为=（x，y，z）.
则由，即，
取z=2，有=（，0，2）.
设平面PAB与平面ABC的夹角为θ，
所以cosθ=|cos<，，
故平面PAB与平面ABC夹角的余弦值为；
选择②：若与上面建系相同，则平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），
,,设平面PBD的一个法向量为，
则，则平面PBD的一个法向量为,
设平面PBD与平面BDC的夹角为，
所以；
选择③：若与上面建系相同，则平面ABCD的一个法向量为（0，0，1），
设平面PBC的一个法向量为，,,
则,则平面PBC的一个法向量为=（1，2，2）.
设平面PBC与平面BCD的夹角为β，
所以cosβ=|cos<，；
（3）
证明：假设棱BC上存在点F，使MFPC.
设=λ，λ∈[0，1]，=μ.
依题意及（2）可知M），=（-2，1，0），
故=（-2λ，λ，0），则F（2-2λ，1+λ，0），
所以，
则此方程组无解，故假设不成立，
所以对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
一、单选题
1．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则平面与所成的角为（ ）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
2．已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l确定的平面的距离为（ ）
A．5 B．14 C． D．
3．已知在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（ ）
A． B．
C． D．
7．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，与相交
C．异面直线与所成的角为 D．始终与平面平行
二、多选题
9．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面，所成锐角的大小为
10．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面
B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角最小时，线段长为
11．如图所示，设，分别是正方体的棱上的两点，且，，其中正确的说法为（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的大小为45°
C．平面 D．直线与平面所成的角的大小为40°
12．如图，菱形边长为2，，E为边AB的中点.将沿DE折起，使A到，且平面平面，连接AB，AC.则下列结论中正确的是（ ）
A． B．四面体的外接球表面积为
C．BC与AD所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
14．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，AD//BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是___________.
15．已知正方体，给出下列四个命题：
①；②；
③与的夹角为60°；④二面角大于120°．
其中错误命题的序号是________．
16．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.
（1）求与平面所成角的正弦；
（2）求点到面PBC的距离.
19．如图1五边形中，，将沿折到的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为线段的中点，且平面.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面;
（3）若直线与所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
20．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，ABCD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°.
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求___________夹角的余弦值；
从①平面PAB与平面ABC，②平面PBD与平面BDC，③平面PBC与平面BCD这三个条件中任选一个，补充在填空线上并作答.
（3）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
参考答案
1．B
2．C
3．B
4．A
5．A
6．B
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．易知平面的一个法向量为，则，所以，．
故选：B
7．C
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
8．D
依题意可知两两相互垂直，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系.
，
所以，
，
所以与不一定相等，所以A错误.
，
， ，所以异面直线与所成的角不是. C选项错误.
，平面的法向量为，
，所以始终与平面平行，D选项正确.
对于B选项，由上述分析可知平面，若与相交，设与确定的平面为，平面，所以.
，，则，解得，所以B选项错误.
故选：D
9．BCD
10．ACD
由题意可得，，，，
，，，设，
，，
直三棱柱中，，
可得为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
对于A，，，
即，又平面，所以平面，故A正确；
对于B，若是上的中点，则，
所以，所以与不垂直，故B不正确；
对于C，由为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于D，设，
则，
当时，即时，取最大值，
即直线与直线所成角最小，此时，
，故D正确.
故选：ACD
11．AB
对于A选项，为定值，故A正确；
对于B选项，异面直线与所成的角与直线与的角为同一个角，
即异面直线与所成的角的平面角为，故B正确；
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.
对于D选项，，平面即平面，
设平面的法向量是，
则即
取，得，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角的平面角为，
则，
所以，故D错误；
对于C选项，由D选项可知直线与平面所成的角为30°，故C错误.
故选：AB
12．BCD
解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，
，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
对于，，0，，，，，，0，， 2，，，
，，，，，，
，与不垂直，故错误；
对于，取中点，连接，
，，
过作平面，四面体的外接球球心在直线上，
设，由，得，解得，，
四面体的外接球表面积为：，故正确；
对于，，，，，，，
设与所成角的为，
则，
与所成角的余弦值为，故正确；
对于，，0，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
直线与平面所成角的正弦值为：
，故正确．
故选：．
13．
14．
15．③
如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，
对于①，因为，， 所以，，所以 ，所以①正确，
对于②，因为，所以②正确，
对于③，设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，所以 ③错误，
对于④，设平面的法向量为，则
，令，则，
平面的一个法向量为，
所以，由图可知二面角为钝角，设二面角的平面角为，则，所以，所以④正确，
故答案为：③
16．
解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为，
所以，
所以.
即P点到直线AB的距离为.
故答案为：.
17．(1) .
(2) .
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
19．（1）；（2）
解：
（1）因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，
则
（2），，
设平面的法向量，
则，令，即，
设点到面PBC的距离为，
则
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
解:(1）证明：取的中点，连接
则，
又，
所以，
则四边形为平行四边形，
所以
因为平面
所以平面
由(1）知，又平面
平面
由即及为的中点，
可得为等边三角形，
又，
即
又
平面.
为直线与所成的角，
由可得，
设则，
取的中点，连接，
易知平面过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
设为平面的法向量，
则，
即
取，则为平面的一个法向量，
又平面的法向量，
则
由图易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角余弦值
20．
（1）证明见解析
（2）答案见解析
（3）证明见解析
（1）
证明：因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD 平面ABCD，AD⊥DC，
所以AD⊥平面PCD，
又因为PC 平面PCD，
所以AD⊥PC.
（2）
选择①：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H.
由（1）可知，AD⊥平面PDC，所以AD⊥DH.
故DA，DC，DH两两垂直.
如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），P（0，-1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）.
则，=（0，1，0），
易知平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）.
设平面PAB的法向量为=（x，y，z）.
则由，即，
取z=2，有=（，0，2）.
设平面PAB与平面ABC的夹角为θ，
所以cosθ=|cos<，，
故平面PAB与平面ABC夹角的余弦值为；
选择②：若与上面建系相同，则平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），
,,设平面PBD的一个法向量为，
则，则平面PBD的一个法向量为,
设平面PBD与平面BDC的夹角为，
所以；
选择③：若与上面建系相同，则平面ABCD的一个法向量为（0，0，1），
设平面PBC的一个法向量为，,,
则,则平面PBC的一个法向量为=（1，2，2）.
设平面PBC与平面BCD的夹角为β，
所以cosβ=|cos<，；
（3）
证明：假设棱BC上存在点F，使MFPC.
设=λ，λ∈[0，1]，=μ.
依题意及（2）可知M），=（-2，1，0），
故=（-2λ，λ，0），则F（2-2λ，1+λ，0），
所以，
则此方程组无解，故假设不成立，
所以对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.