2.2基本不等式 同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案）

基本不等式
一、单选题
1．若，，，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．9 D．18
2．若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．－1
4．若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
5．已知x>1，则的最小值是（ ）
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
6．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
7．已知，，，，且，则下列不等式中，成立的个数有①，②，③，④（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．当x≠0时，x+≥2 B．当x>0时，+≥2
C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当x<1时，x+有最大值
三、填空题
12．已知，，，则的最小值为______.
13．当时，的最小值为______.
14．已知正实数，满足，则的最大值等于______．
四、解答题
15．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
16．某工厂分批生产某种产品，若每批生产件，每批产品的生产准备费用为1800元，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元.
（1）写出关于的函数解析式；
（2）当为何值时，有最小值？最小值是多少？
17．已知，，．
（1）试比较与的大小，并证明；
（2）分别求，的最小值．
18．年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心（长方体状，高度恒定）改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.问：
（1）改造后方舱医院的面积S的最大值是多少
（2）为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．C
5．A
6．D
7．C
8．A
因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
故选：A.
9．AC
10．AB
11．BD
对于A，当时，不成立，故A不正确；
对于B，当时，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，当时，由，当且仅当时，等号成立，而，所以等号取不到，故C不正确；
对于D，当时，，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故D正确.
故选：BD
12．2
13．
14．1
正实数，满足，即，
∴（当且仅当时，取等号），
∴，即，
则的最大值等于1，
故答案为：1．
15．证明见解析
证明：都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
16．
（1）（为正整数）
（2）当时，最小值为60
解：（1）
根据题意可得，（为正整数）
（2）
，当且仅当，即时等号成立，
故当时，有最小值，最小值为60.
17．（1）；证明见解析 ；（2） ，的最小值都是8．
解：
（1）与的大小为，
证明：由，
因为，，所以，，，，
所以，所以.
（2）因为
，
当时取等号，
又由（1），所以，的最小值都是8．
18．（1）8836 m2；（2）141 m.
解：
（1）设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积
S=xy，总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.
由条件知z≤188 000，即4x+9y+2xy≤18800.
∵x>0，y>0，
∴y≤.
令t=9+2x，则x=（t>9），
∴S=xy≤
=
=
当且仅当，即t=291时等号成立.
故S的最大值为8836 m2.
（2）由（1）知，当S=8836 m2时，t=291，t=9+2x，∴x=141，则y=.
∴方舱医院的面积S达到最大值8836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.