2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（Word版，含解析）

第二章　平面向量
2.4　平面向量的数量积
2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
基础过关练
题组一　数量积的坐标运算
1.(安徽高三月考)已知=(-3,-2),=(m,1),||=3,则·=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7 B.-7 C.15 D.-15
2.已知a=(2,1),b=(-1,1),则向量a在b方向上的投影为(　　)
A. B.- C.- D.
3.(北京师大附中高一期中)已知向量a=(-1,2),b=(3,4),则a2-a·b=(　　)
A.0 B.-1
C.2或-2 D.
4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
5.已知=(2,2),=(4,1),=(x,0),则当·的值最小时,x的值是(　　)
A.-3 B.3 C.-1 D.1
6.(江苏苏州高一上学业调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),B(5,12).
(1)求·的值;
(2)若∠AOB的平分线交线段AB于点D,求点D的坐标;
(3)在单位圆上是否存在点C,使得·=64 若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
题组二　向量的模
7.已知点A(1,-1),B(-2,3), 则与向量方向相同的单位向量为(　　)
A. B.
C. D.
8.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为　　　　.
9.已知向量a=(x,1),b=(1,2),c=(-1,5),若(a+2b)∥c,则|a|=　　　　.
10.已知向量a,b满足a=(1,-1),a+b=(3,1),则|b|=　　　　.
11.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求|+3|的最小值.
题组三　向量的夹角
12.(2018陕西四校高三联考)已知向量a=(1,-),b=(0,-2),则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
13.(安徽高一期末)已知向量a=,|b|=2,若a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
14.(河北深州中学高二期末)已知向量a=(x,6),b=(3,4),若a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围是(　　)
A.[-8,+∞) B.∪
C.∪ D.(-8,+∞)
15.(2018湖南衡阳八中高一下期末)已知向量a=(x2,x+2),b=(-,-1),c=(1,),若a∥b,则a与c的夹角为　(　　)
A. B. C. D.
16.已知a=(1,2),b=(3,4),求a+b与a-b夹角的余弦值.
题组四　坐标表示下的平面向量数量积的应用
17.(内蒙古高一期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是(　　)
A.|a|=|b| B.a·b=2
C.a-b与a垂直 D.a∥b
18.(湖南长沙一中高三月考)已知向量a=(k,-2),b=(2,2),a+b为非零向量,若a⊥(a+b),则实数k的值为(　　)
A.0 B.2 C.-2 D.1
19.(湖南长沙一中高一期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于(　　)
A. B.
C. D.
20.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积是(　　)
A. B.2 C.5 D.10
21.(云南宾川四中高一月考)已知a=(4,2),则与a垂直的单位向量的坐标为(　　)
A.或
B.或
C.或
D.或
22.设向量a=(3,-1),b=(1,m),若(a+2b)⊥a,则|b|=　　　　.
23.(安徽淮北高三月考)在△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,-1),C(-3,-1),已知△ABC是以B为直角顶点的直角三角形,求t的值.
24.已知a=(,-1),b=,,
(1)证明:a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t).
能力提升练
一、选择题
1.(陕西安康高一下期末,★★☆)已知向量a=(0,-1),b=,则下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a∥b B.(a+b)⊥b
C.(a-b)⊥b D.|a-b|=|b|
2.(云南曲靖一中高三质检,★★☆)若O(0,0),A(1,3),B(3,1),则sin∠AOB=(　　)
A. B. C.- D.-
3.(贵州高二月考,★★☆)已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a+b,n=a-λb,如果m⊥n,那么实数λ=(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.(山东济南历城第二中学高一期中,★★☆)已知向量a=,|b|=1,且两向量的夹角为120°,则|a-b|=(　　)
A.1 B. C. D.
5.(浙江高一期中,★★☆)平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=3,|a-b|=4,当|a+b|取得最小值时,a·b=(　　)
A.0 B.2 C.3 D.6
二、填空题
6.(★★☆)如图,在正方形ABCD中,AD=4,点E为DC边上一点,=3,点F为BC边的中点,则·=　　　　.
7.(★★☆)已知向量a,b满足a=(2,0),|b|=1,|a+b|=,则向量a,b所成的角为　　　　.
三、解答题
8.(甘肃高二期末,★★☆)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与a-b垂直,求a与b的夹角θ.
9.(安徽六安月考,★★☆)已知△ABC是边长为1的正三角形,动点M为△ABC所在平面内一点,若·<0,||=1,求·的取值范围.
10.(广西南宁三中高一期中,★★☆)(1)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),求a与b的夹角θ;
(2)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,求·的值.
11.(浙江杭州高一下期中,★★☆)平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点,满足=λ(λ∈R).
(1)求|2+|的值;
(2)求cos∠BAC;
(3)若⊥,求实数λ的值.
答案全解全析
第二章　平面向量
2.4　平面向量的数量积
2.4.2　平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角
基础过关练
1.B　因为=(-3,-2),=(m,1),
所以=-=(m+3,3),
所以||==3,所以m=-3,
所以=(-3,1),
所以·=-·=(3,2)·(-3,1)=-9+2=-7.故选B.
2.B　由题意知a·b=-1,|b|=,∴向量a在b方向上的投影为==- .故选B.
3.A　因为a=(-1,2),b=(3,4),所以a2=|a|2=1+4=5,a·b=(-1)×3+2×4=5,所以a2-a·b=5-5=0.故选A.
4.B　易知=(2,-2),=(6,6),∴·=2×6+(-2)×6=0,即⊥.
又||==2,||==6,即||≠||,
∴△ABC为直角三角形.故选B.
5.B　由已知可得=-=(x-2,-2),
=-=(x-4,-1),
·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·的值最小.故选B.
6.解析　(1)由已知可得=(3,4),=(5,12),所以·=3×5+4×12=63.
(2)设点D的坐标为(a,b),则=(a-3,b-4),且=(2,8).
因为点D在线段AB上,
所以∥,所以8(a-3)=2(b-4),化简得4a-b=8,①
再设∠AOD=∠BOD=θ,
则cos θ===,
同理cos θ===,
可知13(3a+4b)=5(5a+12b),化简得a=b,②
由①②解得a=,b=,即点D的坐标为.
(3)假设单位圆上存在点C(cos α,sin α)满足条件,
则·=(3-cos α,4-sin α)·(5-cos α,12-sin α)=sin2α+cos2α-8cos α-16sin α+15+48=64-8(cos α+2sin α).
当·=64时,cos α+2sin α=0,即cos α=-2sin α,
又因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,
所以或
所以当α为第二象限角时,点C的坐标为;
当α为第四象限角时,点C的坐标为.
综上,单位圆上存在点C或C满足题意.
7.A　由题可得=(-3,4),
设与向量方向相同的单位向量为a,则a=λ=λ(-3,4),其中λ>0,
则|a|==1,解得λ=或λ=-(舍去),
所以与向量方向相同的单位向量为a=.故选A.
8.答案　2
解析　因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1),
因为|a-b|=|a+b|,所以有=,解得x=2.
9.答案　
解析　∵a=(x,1),b=(1,2),∴a+2b=(x+2,5),又(a+2b)∥c,∴5(x+2)=-5,解得x=-3,∴a=(-3,1),∴|a|=.
10.答案　2
解析　依题意得b=(3,1)-(1,-1)=(2,2),故|b|==2.
11.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y≤h),则=(2,-y),=(1,h-y),
∴+3=(5,3h-4y),
∴|+3|=≥=5.
故|+3|的最小值为5.
12.A　设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),
则cos θ= ==,
所以θ=.故选A.
13.A　由已知可得a2=|a|2=1,a·b-a2=2,即a·b=3,
设向量a与b的夹角为θ,则cos θ==,所以向量a与b的夹角为.故选A.
14.B　若a∥b,则4x=18,解得x=.
因为a与b的夹角为锐角,所以x≠.
又a·b=3x+24,且a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即3x+24>0,解得x>-8.
又x≠,所以x∈∪.故选B.
15.A　由a∥b,a=(x2,x+2),b=(-,-1),知x≠0,所以x2>0,又-<0,
所以a,b的方向相反.
设b,c的夹角为θ,则a与c的夹角为π-θ.
由b=(-,-1),c=(1,),
可得cos θ==-,∴θ=,
所以a与c的夹角为π-θ=.故选A.
16.解析　∵a=(1,2),b=(3,4),
∴a-b=(-2,-2),a+b=(4,6),
∴cos==-.
17.C　由题意得|a|=1,|b|=,选项A错误;a·b=1,选项B错误;(a-b)·a=(0,-1)·(1,0)=0,∴(a-b)⊥a,选项C正确;∵不存在实数λ,使得b=λa,∴a与b不平行,选项D错误.故选C.
18.A　∵a=(k,-2),b=(2,2),
∴a+b=(k+2,0).
∵a⊥(a+b),∴a·(a+b)=k(k+2)=0.
∵a+b为非零向量,即k+2≠0,
∴k=0.故选A.
19.D　设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n).
由(c+a)∥b,
得(-3)×(1+m)=2×(2+n),即3m+2n+7=0.①
由c⊥(a+b),a+b=(3,-1),得3m-n=0.②
由①②得m=-,n=-,
∴c=-,-.
20.C　因为=(1,2),=(-4,2),
所以||=,||=2,
又·=1×(-4)+2×2=0,
所以⊥,
所以S四边形ABCD=||×||=××2=5.故选C.
21.D　设所求向量为b=(x,y),
∴∴或
故选D.
22.答案　
解析　a+2b=(5,-1+2m),由于(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=0,即(5,-1+2m)·(3,-1)=15+1-2m=0,解得m=8,故|b|==.
23.解析　由已知得·=0,即(3-t,t+1)·(-3-t,0)=0,∴(3-t)(-3-t)=0,解得t=3或t=-3,当t=-3时,点B、C重合,故t的值是3.
24.解析　(1)证明:∵a·b=×-1×=0,
∴a⊥b.
(2)∵x⊥y,∴x·y=-ka2+[t-k(t2-3)]a·b+t(t2-3)b2=0.
∵|a|=2,|b|=1,a·b=0,
∴-4k+t(t2-3)=0,
∴k=(t3-3t)(t≠0).
能力提升练
一、选择题
1.B　若a∥b,则0×-(-1)×-=0,显然不成立,故A错误;
若(a+b)⊥b,则(a+b)·b=0,即-,-·-,=-=0,显然成立,故B正确;
若(a-b)⊥b,则(a-b)·b=0,即,-·-,=--=0,显然不成立,故C错误;
若|a-b|=|b|,则=,显然不成立,故D错误.故选B.
2.B　由已知得=(1,3),=(3,1),
∴cos∠AOB===,
∴sin∠AOB=.故选B.
3.A　∵a=(1,-2),b=(1,1),
∴m=a+b=(2,-1),
n=a-λb=(1-λ,-2-λ),
∵m⊥n,∴m·n=2(1-λ)+(-1)×(-2-λ)=0,∴λ=4.故选A.
4.B　∵a=,
∴|a|==1.
又|b|=1,且两向量的夹角为120°,
∴|a-b|=
=
==.故选B.
5.A　根据题意设e=(1,0),a=(1,m),b=(3,n),∴a-b=(-2,m-n),
∴4+(m-n)2=16,∴m-n=±2.
不妨设m-n=2,则a+b=(4,m+n)=(4,2n+2),
∴|a+b|2=16+4n2+8n+12=4n2+8n+28=4(n+)2+16,
∴当n=-时上式取最小值,此时m=.
∴a·b=3+mn=3-3=0.故选A.
二、填空题
6.答案　20
解析　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),F(4,2).
∵=3,∴E(3,4),则=(3,4),=(4,2),∴·=3×4+4×2=20.
7.答案　120°
解析　因为a=(2,0),|b|=1,|a+b|=,
所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2a·b+1=3,解得a·b=-1,
所以由向量的夹角公式可得cos==-,又0°≤≤180°,
所以=120°.
三、解答题
8.解析　(1)由题意可设c=λa=(λ,2λ),
则|c|==2,
可得λ=±2,∴c=(2,4)或 c=(-2,-4).
(2)∵|b|=,且a+2b与a-b垂直,
∴(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=0,
化简可得 a·b=-,即 ××cos θ=-,解得cos θ=-1,
又θ∈[0,π],故θ=π.
9.解析　如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
则B(1,0),C,,
设M(x,y),则·=(x,y)·(1,0)=x<0,
由||=1得x-2+y-2=1,
所以-≤x<0,
所以·=x-,y-·(1,0)=x-∈-1,-.
10.解析　(1)因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,
则cos θ===-,
又0≤θ≤π,所以θ=.
(2)=+=+=+,=-=-+,
∴·=(4+3)·(4-3)=(16-9)=(16×62-9×42)=9.
11.解析　(1)因为=(-1,1),=(1,5),所以2+=(-1,7),
所以|2+|==5.
(2)cos∠BAC=
==.
(3)=-=λ-=λ(1,5)-(-1,1)=(λ+1,5λ-1).
因为⊥,所以·=0,
又=(1,-1),所以(λ+1)×1+(5λ-1)×(-1)=0,解得λ=.