3.2.2 函数模型的应用实例题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1（Word版，含解析）

第三章　函数的应用
3.2　函数模型及其应用
3.2.2　函数模型的应用实例
基础过关练
题组一　一次函数、二次函数模型的应用
1.一辆匀速行驶的火车90 min行驶了180 km,则这辆火车行驶的路程y(单位:km)与时间t(单位:h)之间的函数关系式是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2t B.y=120t
C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0)
2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形中相邻两边的长x,y(8≤y<24)应为(　　)
A.x=15,y=12 B.x=12,y=15
C.x=14,y=10 D.x=10,y=14
4.某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品的进价为3元/件,并规定其销售价格不低于商品进价,且不高于12元/件.该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.
(1)试求y关于x的函数解析式;
(2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大
5.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品的广告效益应该是产品的销售额与广告费之差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,那么根据对市场的抽样调查发现:每投入100万元的广告费,所得的销售额是1 000万元,问:该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益
题组二　指数函数、对数函数模型的应用
6.某工厂2018年生产某产品2万件,计划从年开始每年比上一年增产20%,则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.2022年 B.2023年
C.2024年 D.2025年
7.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式y=alog3(x+2),观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只,估计到年冬越冬白鹤有(　　)
A.4 000只 B.5 000只
C.6 000只 D.7 000只
8.(河北唐山11校联盟高一上期中)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.5×+5x(x∈N*),若每台产品的售价为8万元,则当产量为7台时,生产者可获得的利润为　　　　万元.
9.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到35 ℃时,需要多少时间
题组三　分段函数模型的应用
10.已知A,B两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地,把汽车与A地的距离x表示为时间t的函数,其解析式是(　　)
A.x=60t
B.x=60t+50t
C.x=
D.x=
11.如图所示,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点.当点P沿路线A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是(　　)
12.大气温度y(℃)随着距地面的高度x(km)的增加而降低,到高空11 km处为止,在更高的上空气温几乎不变.设地面温度为22 ℃,每上升1 km大气温度大约降低6 ℃,则y与x的函数关系式为　　　　　　.
13.如图所示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,已知甲、乙两城相距80 km,有人根据函数图象,提出了关于这两位旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.
其中正确信息的序号是　　　　.
14.(福建福州八县(市)一中高一上期中联考)某景点有50辆自行车供游客有偿租用,管理自行车的总费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.规定:每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,并要求出租的所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理总费用,用y表示出租的所有自行车的日净收入(即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理总费用后所得的收入).
(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元 日净收入最多为多少元
能力提升练
一、选择题
1.(湖南株洲二中高一上期中,★★☆)已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,在区间(0,+∞)上一定存在x0,若x>x0,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x
C.log2x>2x>x2 D.log2x>x2>2x
2.(北京人大附中高一上期中,★★☆)如下图,是吴老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是(　　)
3.(北京丰台高一上期中联考,★★☆)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=2kx+m (k,m为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃的保鲜时间是16小时,则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　　)
A.4小时 B.8小时
C.16小时 D.32小时
4.(山东烟台高一上期末,★★☆)某商家准备在年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来价格相比(　　)
A.略有降低 B.略有提高
C.相等 D.无法确定
5.(浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★★)在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为(　　)
A.120 B.210 C.225 D.300
二、填空题
6.(豫西南部分示范性高中高一期中,★★☆)年国庆期间,一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球放在自己房间内,由于气球密封不好,经过t天后,气球体积变为V=ae-kt.若经过25天后,气球体积变为原来的,则至少经过　　　　天后,气球体积小于原来的.(lg 3≈0.477,lg 2≈0.301,结果保留整数)
7.(河北石家庄二中高一上月考,★★★)如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图2方案是　　　　,图3方案是　　　　.
三、解答题
8.(湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,★★☆)某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查,得到每月利润y(单位:万元)与相应月份数x的部分数据,如表:
x 1 4 7 12
y 229 244 241 196
(1)根据如表数据,请在y=ax3+b,y=-x2+ax+b,y=a·bx三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系,并说明理由;
(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.
9.(河北唐山一中高一上期中,★★☆)“绿水青山就是金山银山”,随着我国经济的快速发展,国家加大了对环境污染的治理力度,某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察,发现该厂产生的废气经过过滤排放后,过滤过程中废气的污染物数量P千克/升与时间t小时之间的关系为P=P0e-kt,如果在前5个小时消除了10%的污染物,那么
(1)10个小时后还剩百分之多少的污染物
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1小时) (参考数据:ln 2≈0.693,ln 0.9≈-0.105)
10.(江西临川一中高一上月考,★★★)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示.
(1)写出图①表示的市场销售价与上市时间的函数关系式P=f(t);写出图②表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t);
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大
答案全解全析
第三章　函数的应用
3.2　函数模型及其应用
3.2.2　函数模型的应用实例
基础过关练
1.D　∵90 min=1.5 h,∴y=t=120t(t≥0).
2.C　设利润为L(x)万元,则L(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000,由L(x)≥0,03.A　如图,过点B作BC⊥AE于点C,
易知△ADE∽△ABC,则=,
即=,
整理得x=(24-y),
∴S矩形=xy=(24-y)·y=-(y-12)2+180(8≤y<24),
∴当y=12时,S矩形取得最大值,此时x=15.
4.解析　(1)由题图可知该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,于是设y=kx+b(k≠0).
∵点(3,600),(5,500)在其图象上,
∴解得
∴y=-50x+750(3≤x≤12).
(2)设该商品每天的利润为w元.由题意知w=(-50x+750)(x-3)-300,
整理得w=-50(x2-18x+51)=-50[(x-9)2-30].∵x∈[3,12],∴当x=9时,w取得最大值,最大值为1 500.
故当销售单价定为9元时,该商品每天的利润最大.
5.解析　设当广告费为x万元时,广告效益为y万元,销售额为t万元.由题意可设t=k,则y=t-x=k-x.
∵当x=100时,t=1 000,
故1 000=10k,解得k=100,
∴t=100,∴y=100-x.
令=m,则m≥0,y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,
∴当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.
∴该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.
6.D　设从2018年起,再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,根据题意,得2×(1+20%)n>6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,∴n>=≈6.03,又n为整数,∴n的最小值为7,
又2 018+7=2 025,
∴从2025年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,故选D.
7.C　当x=1时,由3 000=alog3(1+2)得a=3 000,所以到年冬,即第7年,越冬白鹤有y=3 000×log3(7+2)=6 000只.故选C.
8.答案　17　
解析　当产量为7台时,总成本y=0.5×+5×7=39,则生产者可获得的利润为7×8-39=17(万元).
9.解析　由题意知40-24=(88-24)·,即=,解得h=10,故T-24=(88-24)×.
当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)×,即=,两边取对数,用计算器求得t≈25.
因此,需要约25 min,可降温到35 ℃.
10.C　由题意知A,B两地相距150 km,
某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达
B地,可得从A到B需用2.5小时,以50 km/h的速度返回A地,可得从B到A需用3小时,
∴当0≤t≤2.5时,x=60t,
当2.5当3.5综上,x=
故选C.
11.A　由题意得,当0当1当2结合各选项可知,A选项符合题意.
12.答案　y=
解析　根据题意得函数关系式为
y=
13.答案　①②③
解析　看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两个图象的交点表示此时两者行驶的路程相同,故③正确,④错误.
14.解析　(1)当00,解得x>2.3,∴3≤x≤6且x∈N*.
当60恒成立.
故y=
其定义域为{x∈N*|3≤x≤20}.
(2)当3≤x≤6且x∈N*时,∵y=50x-115是递增的, ∴当x=6时,ymax=185.
当6∵185<270,∴ymax=270.∴当每辆自行车的日租金定为11元时才能使日净收入最多,日净收入最多为270元.
能力提升练
一、选择题
1.A　由于指数函数增长最快,对数函数增长最慢,因此当x很大时,指数函数值最大,对数函数值最小,即在区间(0,+∞)上一定存在x0,当x>x0时,2x>x2>log2x,故选A.
2.D　根据题中图象可知在第一段时间中吴老师离家的距离随着时间的增加而增加,第二段时间中吴老师离家的距离随着时间的增加距离不变,第三段时间中吴老师离家的距离随着时间的增加而减少,最后回到始点位置,对比各选项,只有选项D正确,故选D.
3.A　依题意得解得
∴y=.
当x=36时,y==22=4(小时),故选A.
4.A　设这种商品的原价为a,两次提价10%后的价格为a(1+10%)2=1.12·a.
又进行两次降价10%后的价格为
1.12×a×(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2×a=0.992a.
因此最终售价与原来价格相比略有降低,故选A.
5.C　如图所示,设DE为x,DE的一条邻边为y,由题可知,△ADE∽△ABC,则有=,即=,整理得,y=30-x,
∴矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225.
∴当x=15时,Smax=225,故选C.
二、填空题
6.答案　68
解析　由“经过t天后,气球体积变为V=ae-kt,经过25天后,气球体积变为原来的”得,
ae-25k=a e-25k=,
则-25k=ln.①
设经过t0天后,气球体积变为原来的,
则a=a,即=,
所以-kt0=ln.②
①②两式相除可得=,即==≈≈0.369,所以t0≈68,则至少经过68天后,气球体积小于原来的.
7.答案　降低成本,票价不变;增加票价
解析　由图1知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.对于图2与图1相比,两图中对应的一次函数的一次项系数不变,在y轴上截距减少,则图2表示降低成本,票价不变;对于图3与图1相比,一次项系数增大,即增加票价,故答案为降低成本,票价不变;增加票价.
三、解答题
8.解析　(1)由题中的数据知,描述每月利润y(单位:万元)与相应月份数x的变化关系的函数不可能是常数函数,也不可能是单调函数,所以应选取二次函数y=-x2+ax+b进行描述.
(2)将(1,229),(4,244)代入y=-x2+ax+b,得解得
∴y=-x2+10x+220,1≤x≤12,x∈N*,
整理得y=-(x-5)2+245,∴x=5时,ymax=245万元.
9.解析　(1)由已知可得0.9P0=P0·e-5k,
∴e-5k=0.9,当t=10时,P=P0·e-10k=P0·(e-5k)2=0.81P0,
故10小时后还剩81%的污染物.
(2)由已知得0.5P0=P0·e-kt,又由(1)知,e-5k=0.9,即e-k=0.,所以0.5P0=P0·e-kt=P0·0.,所以0.5=0.,两边同时取自然对数可得,-ln 2=ln 0.9,∴t=≈=33,
∴污染物减少50%需要花33个小时.
10.解析　(1)由题图①可得市场销售价与上市时间的函数关系式为f(t)=
由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系式为g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t),
即h(t)=
当0≤t≤200时,配方得h(t)=-(t-50)2+100,
所以当t=50时,h(t)在区间[0,200]上取得的最大值为100;
当200所以当t=300时,h(t)在区间(200,300]上取得的最大值为87.5.
综上,h(t)在区间[0,300]上的最大值为100,此时t=50,
即从2月1日开始的第50天,上市的西红柿纯收益最大.