第三章函数的应用达标检测-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1（Word含答案）

第三章　函数的应用
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)
2.已知函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,给出以下四个命题:
①f(x),g(x),h(x)在其定义域上都是增函数;
②f(x)的增长速度始终不变;
③g(x)的增长速度越来越快;
④h(x)的增长速度越来越慢.
其中真命题的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
3.根据表格中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(　　)
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
4.现有一组数据,如下表所示:
x 1 2 3 4 5
y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近这组数据满足的规律的是　(　　)
A.指数函数 B.反比例函数
C.一次函数 D.二次函数
5.函数y=ln x+x-2的零点所在的区间是(　　)
A. B.(1,2) C.(e,3) D.(2,e)
6.已知函数f(x)=log2x-,若实数x0是方程f(x)=0的根,且0A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零
7.方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有两个不同的实数根x1,x2,且满足0A. B.(-∞,-1)∪(5,+∞)
C. D.
8.某工厂2017年投入的科研资金为120万元,在此基础上,每年投入的科研资金比上一年增长12%,则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 3≈0.48,lg 2≈0.30)(　　)
A.2022年 B.2023年 C.2024年 D.2025年
9.甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)
A.40万元 B.60万元 C.120万元 D.140万元
10.已知f(x)=2x-lox的零点为a,g(x)=-log2x的零点为b,h(x)=-x的零点为c, 则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a11.对于每个实数x,设f(x)取y=2,y=|x-2|两个函数中的较小值.若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是(　　)
A.(2,6-2) B.(2,+1)
C.(4,8-2) D.(0,4-2)
12.定义在R上的函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-mf(x)+m-1=0(其中m>2)有n个不同的实数根x1,x2,…,xn,则f(x1+x2+…+xn)=(　　)
A.5e B.4e C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.函数f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点的个数是　　　　.
14.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,4]上的实数根的近似值时,取中点x1=3,则下一个有根区间是　　　　.
15.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于　　　　.(保留三位有效数字,参考数据:ln 3取1.099)
16.已知函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=给出下列四个命题:
①F(x)=|f(x)|;
②函数F(x)是偶函数;
③当a<0时,若0④当a>0时,函数y=F(x)-2有4个零点.
其中真命题的序号是　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设函数f(x)=ex-m-x,其中x∈R,当m>1时,判断函数f(x)在区间(0,m)内是否存在零点.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x|+-1(x≠0).
(1)若对任意的x>0,不等式f(x)>0恒成立,求m的取值范围;
(2)试讨论函数f(x)零点的个数.
19.(本小题满分12分)经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天该产品每天的价格呈直线上升趋势,而后60天呈直线下降趋势.现抽取其中4天的价格如下表所示:
时间 第4天 第32天 第60天 第90天
价格(元) 23 30 22 7
(1)写出价格f(x)关于时间x的函数解析式(x表示投入市场的第x天);
(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系式是g(x)=-x+ (1≤x≤100,x∈N*),求日销售额的最大值,并求第几天销售额最高.
20.(本小题满分12分)某城市上一年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为a千瓦时,本年度计划将电价降到0.55~0.7元/千瓦时之间,而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时).经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为0.2a,试问当地电价最低为多少元/千瓦时时,可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%
21.(本小题满分12分)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(单位:月,x∈N)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的y关于x的函数解析式;
(2)求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放面积的1 000倍.
22.(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围;
(4)设关于x的函数F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零点,求实数b的取值范围.
答案全解全析
第三章　函数的应用
本章达标检测
一、选择题
1.B　选项B中,函数零点左右两侧的函数值不变号,故不能用二分法求解.
2.D　根据常见函数模型及增长特点可知,①②③④均为真命题.
3.C　设f(x)=ex-x-2,则f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,所以方程ex-x-2=0的一个根所在区间为(1,2).
4.C　由表中数据知,随着自变量每增加1,函数值约增加2,所以最接近这组数据满足的规律的是一次函数.
5.B　设f(x)=ln x+x-2,则f(x)的图象在(0,+∞)内是连续不断的,且
f=ln+-2=-<0,
f(1)=ln 1+1-2=-1<0,
f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,
f(e)=ln e+e-2=e->0,
f(3)=ln 3+3-2=ln 3+1>0.
∴f(x)在(1,2)内有零点,
故选B.
6.A　因为f(x)=log2x-为(0,+∞)上的增函数,07.A　由题知Δ=4(m-1)2-4(2m+6)>0,解得m>5或m<-1.又由0解得-8.A　设经过x年该厂投入的科研资金开始超过200万元,
依题意得120×(1+0.12)x>200,
两边取常用对数得xlg 1.12>lg,
因此x>=≈=4.4,
由x∈N*得x≥5,
所以2 017+5=2 022,
即从2022年起该厂投入的科研资金开始超过200万元,故选A.
9.C　要想获得最大利润,则甲的价格为6元时,全部买入,可以买120÷6=20(万份),价格为8元时,全部卖出,此过程获利20×2=40(万元);乙的价格为4元时,全部买入,可以买(120+40)÷4=40(万份),价格为6元时,全部卖出,此过程获利40×2=80(万元),∴共获利40+80=120(万元),故选C.
10.B　因为a,b,c分别是函数f(x)=2x-lox,
g(x)=-log2x,h(x)=-lox的零点,所以a,b,c分别是方程2x-lox=0,-log2x=0,-lox=0的根,
在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=
lox,y=,y=log2x的图象,如图所示.
由图象可得a11.C　令2=|x-2|,两边平方得4x=x2-4x+4,即x2-8x+4=0,
解得x=4+2或x=4-2,
作出函数y=m与y=f(x)的图象,如图中实线部分所示.
设x1则0因此x1+x2+x3=x1+4,
由0即x1+x2+x3的取值范围是(4,8-2),
故选C.
12.C　由[f(x)]2-mf(x)+m-1=0得[f(x)-1][f(x)-(m-1)]=0,
解得f(x)=1或 f(x)=m-1>1.
作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由f(x)的图象知, f(x)=1有三个解,分别为e,x1,x2,且x1+x2=2e, f(x)=m-1有两个解,分别为x3,x4,且x3+x4=2e.
因此f(x1+x2+…+xn)=f(5e)=,故选C.
二、填空题
13.答案　1
解析　易知f(x)为单调函数,且f(0)·f(1)=-1<0,则函数f(x)在区间(0,1)内有1个零点.
14.答案　(2,3)
解析　设f(x)=x3-2x-5,则f(2)<0, f(3)>0, f(4)>0,
故f(2)·f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).
15.答案　4.58
解析　由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=,
∴-0.24t=ln=-ln 3,
∴0.24t=ln 3=1.099,
∴t≈4.58.
16.答案　②③④
解析　∵函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),
F(x)=
∴|f(x)|=|a|log2x|+1|,
∴F(x)≠|f(x)|,
所以①是假命题;
∵F(-x)=∴F(x)=F(-x),
∴函数F(x)是偶函数,
所以②是真命题;
当a<0时,若0则|log2m|>|log2n|,
即F(m)-F(n)<0成立.
所以③是真命题;
当x>0时,F(x)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴x>0时,F(x)的最小值为F(1)=1,
故x>0时,F(x)的图象与直线y=2有2个交点.
∵函数F(x)是偶函数,
∴x<0时,F(x)的图象与直线y=2也有2个交点,
故当a>0时,函数y=F(x)-2有4个零点.
所以④是真命题.
三、解答题
17.解析　∵f(x)=ex-m-x,x∈R,∴f(0)=e-m-0=e-m>0,f(m)=e0-m=1-m,又∵m>1,∴f(m)<0,∴f(0)·f(m)<0.∵函数f(x)的图象在区间(0,m)上是一条连续不断的曲线,∴函数f(x)=ex-m-x(m>1)在区间(0,m)内存在零点.
18.解析　(1)当x>0时, f(x)=x+-1,不等式f(x)>0恒成立等价于x+-1>0恒成立,则有m>x-x2对x>0恒成立,
而x-x2=-+≤(x>0),
故m>.
(2)令f(x)=|x|+-1=0,
得m=
令g(x)=
求函数f(x)的零点个数,即求y=m和y=g(x)=图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=m,y=g(x)的图象(如图).
结合图象可知,
①当m>或m<-时,函数f(x)有一个零点;
②当m=±或m=0时,函数f(x)有两个零点;
③当-19.解析　(1)由题意知价格f(x)关于时间x构成的函数符合一次函数模型.用待定系数法,易得f(x)=
(2)设日销售额为S元,
当1≤x≤40时,S==-+,
∵x∈N*,∴当x=10或x=11时, Smax==808.5;
当40综上可知,在第10天及第11天日销售额最高,最高是808.5元.
20.解析　设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.7),则新增用电量为千瓦时,依题意,有(x-0.3)≥a(0.8-0.3)×(1+20%),
即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4),
整理得x2-1.1x+0.3≥0,
解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,
又0.55≤x≤0.7,
所以0.6≤x≤0.7,
因此,xmin=0.6,即当地电价最低为0.6元/千瓦时时,可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%.
21.解析　(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=+q(p>0)的增长速度越来越慢,∴依题意选函数模型y=kax(k>0,a>1)更合适.
由解得
∴y=8×(x∈N).
(2)由(1)可知,当x=0时,y=8,
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2.
设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放面积的1 000倍,则有8×=8×1 000,
∴x=lo1 000==≈17,
∴约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放面积的1 000倍.
22.解析　(1)由题设,知f(0)==0,
∴a=1,∴f(x)=,
经验证, f(x)为奇函数,∴a=1.
(2)函数f(x)在定义域R上是减函数.
证明:任取x1,x2∈R,且x1f(x2)-f(x1)=-=.
∵x1∴-<0,(1+)(1+)>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,
即f(x1)>f(x2),
∴该函数在定义域R上是减函数.
(3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x)是奇函数,
∴f(t2-2t)由(2)知, f(x)是减函数,
∴t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立,
∴Δ=4+12k<0,解得k<-,
故实数k的取值范围为.
(4)函数F(x)有零点的问题等价于方程f(4x-b)+f(-2x+1)=0有实数根的问题,
由(2)及f(x)为奇函数知,方程f(4x-b)+f(-2x+1)=0有实数根可转化为方程4x-b=2x+1有解,即方程b=4x-2x+1有解,
∵4x-2x+1=(2x)2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1,∴当b∈[-1,+∞)时,函数F(x)存在零点,故实数b的取值范围为[-1,+∞).