2021-2022学年湖南省娄底市第三学校九年级（上）第二次月考数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湖南省娄底市第三学校九年级（上）第二次月考数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 780.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 10:23:25 | ||
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文档简介
2021-2022学年湖南省娄底市第三学校九年级第一学期第二次月考数学试卷
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+1）（x+2）
C．（k2+1）x2﹣＝0 D．（k2﹣1）x+4k+6＝0
2．方程3x2﹣x+＝0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣9
3．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．（x+）2＝ B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
4．如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2＝2x﹣3 D．x2﹣4x+4＝0
6．某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，若设原价为x，则可列方程为（ ）
A．x（1+20%）2＝a B．a（1+20%）2＝x
C．x（1﹣20%）2＝a D．a（1﹣20%）2＝x
7．大正方形的周长比小正方形的周长多24cm，而面积比是4：1，这两个正方形边长（cm）分别是（ ）
A．8和2 B．8和4 C．12和6 D．12和3
8．已知x：y＝1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A．2：2 B．3：1 C．3：2 D．2：3
9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1
10．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
11．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②③
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知4x2﹣ax+1可变为（2x﹣b）2的形式，则ab＝ ．
14．在比例尺为1：20000的地图上测得AB两地间的图上距离为8cm，则AB两地间的实际距离为 km．
15．当x＝ 时，既是最简二次根式，被开方数又相同．
16．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
17．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
18．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2＝16，则k的值为 ．
三．解答题（共2小题，每小题6分，共12分）
19．解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝2x（2﹣x）；
（2）x2﹣2x＝1（用公式法解）．
20．先化简，再求值，其中x满足方程x2+x﹣2＝0．
四．解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
21．某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：
最喜爱的节目 人数
歌曲 15
舞蹈 a
小品 12
相声 10
其它 b
（1）在此次调查中，该校一共调查了 名学生；
（2）a＝ ；b＝ ；
（3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
23．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2，求实数m的值．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售、增加盈利、尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
填空或解答：
（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利 元，平均每天可售出 件；
（2）若商场平均每天盈利2100元，则每件衬衫应降价多少元？
六．解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
25．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程x2﹣2x﹣3＝0，则有x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝4，解得x1＝3，x2＝﹣1．
已知x2﹣2x+y2+4y+5＝0，求x，y的值，则有（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，
根据以上材料解答下列各题：
（1）若x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求（x+y）﹣2011的值；
（2）无论a取何值，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0总有两个不相等的实数根；
（3）解方程：x2﹣360x+32000＝0；
（4）若a，b，c表示△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+1）（x+2）
C．（k2+1）x2﹣＝0 D．（k2﹣1）x+4k+6＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
B．整理，得3x+4＝0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．（k2+1）x2﹣＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D．当k＝±1时不是方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．方程3x2﹣x+＝0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣9
【分析】首先确定二次项系数与一次项系数及常数项，然后再求积即可．
解：方程3x2﹣x+＝0的二次项系数是3，一次项系数是﹣，常数项是，
3××（﹣）＝﹣9，
故选：D．
3．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．（x+）2＝ B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
解：ax2+bx+c＝0，
ax2+bx＝﹣c，
x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
故选：A．
4．如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的面积公式得到x和y的关系式，再判断是何种函数，由自变量的取值范围进而的得到函数的图象．
解：∵三角形ABC的面积为3，
则3＝x y，
∴y＝，
∴BC的长为y，BC边上的高为x是反比例函数，
∴函数图象是双曲线；
∵x＞0，y＞0，
∴该反比例函数的图象位于第一象限．
故选：A．
5．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2＝2x﹣3 D．x2﹣4x+4＝0
【分析】判断上述方程有两个不相等实数根，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0就可以了．
解：A、Δ＝b2﹣4ac＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．
B、Δ＝b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8＜0，方程没有实数根．
C、Δ＝b2﹣4ac＝12﹣12＝0，方程有两个相等的实数根．
D、Δ＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，方程有两个相等的实数根．
故选：A．
6．某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，若设原价为x，则可列方程为（ ）
A．x（1+20%）2＝a B．a（1+20%）2＝x
C．x（1﹣20%）2＝a D．a（1﹣20%）2＝x
【分析】易得第一次降价后的价格为：x（1﹣20%），那么第二次降价后的价格为：x（1﹣20%）×（1﹣20%），那么相应的等量关系为：原价×（1﹣降低的百分率）2＝第二次降价后的价格，把相关数值代入即可．
解：∵某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，原价为x，
∴第一次降价后的价格为：x（1﹣20%），
∴第二次降价后的价格为：x（1﹣20%）×（1﹣20%）＝x（1﹣20）2，
∴可列方程为：x（1﹣20%）2＝a．
故选：C．
7．大正方形的周长比小正方形的周长多24cm，而面积比是4：1，这两个正方形边长（cm）分别是（ ）
A．8和2 B．8和4 C．12和6 D．12和3
【分析】正方形的周长为4×边长，面积＝边长的平方．那么如果设较小的正方形的边长为x，由题意可得出方程4x2＝（24÷4+x）2，解方程求得较小的正方形的边长，从而可求较大的正方形的边长．
解：设较小的正方形的边长为x，根据题意得4x2＝（24÷4+x）2，
解得x＝﹣2（不合题意舍去），x＝6，
那么较大的正方形的边长就应该是x+24÷4＝12．
故选：C．
8．已知x：y＝1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A．2：2 B．3：1 C．3：2 D．2：3
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
解：∵x：y＝1：2，
∴设x＝a，则y＝2a，
∴（x+y）：y＝（a+2a）：2a＝3：2．
故选：C．
9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1
【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4＝﹣b，﹣2×4＝c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，
∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4＝﹣b，﹣2×4＝c，
解得b＝﹣2，c＝﹣8
∴b+c＝﹣10．
故选：A．
10．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
【分析】此题不能只利用两根之和公式进行简单的求和计算，还要考虑一下△与0的关系，判断方程是否有解．
解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．
∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，
即所有实数根的和3．
故选：D．
11．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+2020，利用降次的方法得到a2+2a+b＝a+b+2020，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程x2+x﹣2020＝0的实数根，
∴a2+a﹣2020＝0，
∴a2＝﹣a+2020，
∴a2+2a+b＝﹣a+2020+2a+b＝a+b+2020，
∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝﹣1+2020＝2019．
故选：C．
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②③
【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF＝CD＝BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP＝BE，AO＝EO，通过证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．
解：令GF和AC的交点为点P，如图
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF＝∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG＝EG＝AB，
∴EG＝EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF＝BE，
∵GP＝BE＝GF，
∴GP＝FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE＝∠FPE＝90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP＝∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故选：A．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知4x2﹣ax+1可变为（2x﹣b）2的形式，则ab＝ 4 ．
【分析】此题考查了配方法，解此题时要注意一次项系数为二次项系数与常数项的平方根的积的二倍，还要注意完全平方式有两个，所以一次项系数有两个且互为相反数．
解：据题意得﹣a＝±2×2×1＝±4
∴a＝±4
∴当a＝4时，4x2﹣ax+1＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∴b＝1
∴ab＝4
∴当a＝﹣4时，4x2﹣ax+1＝4x2+4x+1＝（2x+1）2，∴b＝﹣1
∴ab＝4
解得ab＝4．
14．在比例尺为1：20000的地图上测得AB两地间的图上距离为8cm，则AB两地间的实际距离为 1.6 km．
【分析】由于地图与实地为相似形，相似比为比例尺，即图上距离与实地距离的比，所以设出AB的实际距离，列出方程即可解答．
解：设A，B的实际距离为xcm，根据题意列方程得，
1：20000＝8：x，
解得x＝160000，
∵160000cm＝1600m＝1.6km，
∴A、B的实际距离为1.6km．
故答案为1.6．
15．当x＝ ﹣5 时，既是最简二次根式，被开方数又相同．
【分析】最简二次根式是根号内没有再被开方的数，令两被开方数相等，解出x，然后检验是不是最简二次根式．
解：若既是最简二次根式，
则x2+3x＝x+15，
解得x＝﹣5或3，
当x＝3时，被开方数x+15＝18，两式不是最简二次根式，
故x＝﹣5．
16．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠0 ．
【分析】首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由一元二次方程的根的判别式来求k的取值范围．
解：∵|b﹣1|+＝0，
∴b﹣1＝0，＝0，
解得，b＝1，a＝4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，
∴Δ＝a2﹣4kb≥0且k≠0，
即16﹣4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4且k≠0；
故答案为：k≤4且k≠0．
17．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m．
【分析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，根据矩形绿地的面积为480m2，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出x＝20不符合题意，此题得解．
解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x） （24﹣2x）＝480，
整理得：x2﹣22x+40＝0，
解得：x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30﹣3x＝﹣30，24﹣2x＝﹣16，不符合题意舍去，
即x＝2．
答：人行通道的宽度为2米．
故答案为：2．
18．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2＝16，则k的值为 8 ．
【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，则OA2﹣AB2＝16变形为AC2﹣AD2＝8，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）＝8，所以（OC+BD） CD＝8，则有a b＝8，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝8．
解：设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，
∵OA2﹣AB2＝16，
∴2AC2﹣2AD2＝16，即AC2﹣AD2＝8，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝8，
∴（OC+BD） CD＝8，
∴a b＝8，
∴k＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共2小题，每小题6分，共12分）
19．解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝2x（2﹣x）；
（2）x2﹣2x＝1（用公式法解）．
【分析】（1）将（x+4）看作一个整体，提取公因式，然后解一元一次方程．
（2）利用求根公式求解即可．
解：（1）（x﹣2）2＝2x（2﹣x），
移项得：（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣2+2x）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝．
（2）x2﹣2x＝1，
x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
20．先化简，再求值，其中x满足方程x2+x﹣2＝0．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，解一元二次方程求出x，最后根据分式有意义的条件求出x不能为1和2，最后把x＝﹣2代入求出答案即可．
解：
＝
＝
＝
＝，
解方程x2+x﹣2＝0得：x＝﹣2或1，
∵要使分式有意义，x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x不能为1和2，
∴取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝0．
四．解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
21．某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：
最喜爱的节目 人数
歌曲 15
舞蹈 a
小品 12
相声 10
其它 b
（1）在此次调查中，该校一共调查了 50 名学生；
（2）a＝ 8 ；b＝ 5 ；
（3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．
【分析】（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数，
（2）舞蹈占50人的16%可以求出a的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b的值，
（3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360°去乘即可，
（4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数．
解：（1）12÷24%＝50（人），
故答案为50．
（2）a＝50×16%＝8（人），
b＝50﹣15﹣8﹣12﹣10＝5（人），
故答案为：8，5．
（3）360°×＝108°
答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108°；
（4）1200×＝240（人），
答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF＝DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论；
（2）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，再由三角形面积公式可求得答案．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．
五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
23．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2，求实数m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m+1），x1 x2＝m2﹣1，结合（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＝8m+8≥0，
解得：m≥﹣1，
∴当方程有实数根时，实数m的取值范围为m≥﹣1．
（2）∵方程两实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m+1），x1 x2＝m2﹣1．
∵（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝16﹣2x1x2，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＝16﹣2（m2﹣1），
整理，得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1．
又∵m≥﹣1，
∴实数m的值为1．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售、增加盈利、尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
填空或解答：
（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利 45﹣x 元，平均每天可售出 20+4x 件；
（2）若商场平均每天盈利2100元，则每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，此题得解；
（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可．
解：（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件．
故答案为：45﹣x；20+4x．
（2）根据题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30．
∵为了尽快减少库存，
∴x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
六．解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
25．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程x2﹣2x﹣3＝0，则有x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝4，解得x1＝3，x2＝﹣1．
已知x2﹣2x+y2+4y+5＝0，求x，y的值，则有（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，
根据以上材料解答下列各题：
（1）若x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求（x+y）﹣2011的值；
（2）无论a取何值，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0总有两个不相等的实数根；
（3）解方程：x2﹣360x+32000＝0；
（4）若a，b，c表示△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先将x2﹣4x+y2+6y+13＝0分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入（x+y）﹣2011即可解答；
（2）计算方程的判别式，判断其符号即可；
（3）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（4）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．
解：（1）∵x2﹣4x+y2+6y+13＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）﹣2011＝（2﹣3）﹣2011＝﹣1；
（2）∵Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（3）x2﹣360x+32000＝0，
（x﹣160）（x﹣200）＝0，
x﹣160＝0，x﹣200＝0，
解得x1＝160，x2＝200；
（4）△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc＝0，
即a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【分析】（1）如图，过点P作PE⊥CD于E，设x秒后PQ＝10cm，利用勾股定理得出即可．
（2）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，
∴16﹣5x＝±8，
∴x1＝，x2＝；
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB＝16﹣3y，
∴PB BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，
解得y＝4；
②当＜x≤时，
BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，则
BP CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，
解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；
③＜x≤8时，
QP＝CQ﹣PQ＝22﹣y，则
QP CB＝（22﹣y）×6＝12，
解得y＝18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+1）（x+2）
C．（k2+1）x2﹣＝0 D．（k2﹣1）x+4k+6＝0
2．方程3x2﹣x+＝0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣9
3．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．（x+）2＝ B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
4．如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2＝2x﹣3 D．x2﹣4x+4＝0
6．某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，若设原价为x，则可列方程为（ ）
A．x（1+20%）2＝a B．a（1+20%）2＝x
C．x（1﹣20%）2＝a D．a（1﹣20%）2＝x
7．大正方形的周长比小正方形的周长多24cm，而面积比是4：1，这两个正方形边长（cm）分别是（ ）
A．8和2 B．8和4 C．12和6 D．12和3
8．已知x：y＝1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A．2：2 B．3：1 C．3：2 D．2：3
9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1
10．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
11．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②③
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知4x2﹣ax+1可变为（2x﹣b）2的形式，则ab＝ ．
14．在比例尺为1：20000的地图上测得AB两地间的图上距离为8cm，则AB两地间的实际距离为 km．
15．当x＝ 时，既是最简二次根式，被开方数又相同．
16．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
17．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
18．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2＝16，则k的值为 ．
三．解答题（共2小题，每小题6分，共12分）
19．解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝2x（2﹣x）；
（2）x2﹣2x＝1（用公式法解）．
20．先化简，再求值，其中x满足方程x2+x﹣2＝0．
四．解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
21．某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：
最喜爱的节目 人数
歌曲 15
舞蹈 a
小品 12
相声 10
其它 b
（1）在此次调查中，该校一共调查了 名学生；
（2）a＝ ；b＝ ；
（3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
23．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2，求实数m的值．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售、增加盈利、尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
填空或解答：
（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利 元，平均每天可售出 件；
（2）若商场平均每天盈利2100元，则每件衬衫应降价多少元？
六．解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
25．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程x2﹣2x﹣3＝0，则有x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝4，解得x1＝3，x2＝﹣1．
已知x2﹣2x+y2+4y+5＝0，求x，y的值，则有（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，
根据以上材料解答下列各题：
（1）若x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求（x+y）﹣2011的值；
（2）无论a取何值，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0总有两个不相等的实数根；
（3）解方程：x2﹣360x+32000＝0；
（4）若a，b，c表示△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+1）（x+2）
C．（k2+1）x2﹣＝0 D．（k2﹣1）x+4k+6＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
B．整理，得3x+4＝0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．（k2+1）x2﹣＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D．当k＝±1时不是方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．方程3x2﹣x+＝0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣9
【分析】首先确定二次项系数与一次项系数及常数项，然后再求积即可．
解：方程3x2﹣x+＝0的二次项系数是3，一次项系数是﹣，常数项是，
3××（﹣）＝﹣9，
故选：D．
3．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．（x+）2＝ B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
解：ax2+bx+c＝0，
ax2+bx＝﹣c，
x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
故选：A．
4．如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的面积公式得到x和y的关系式，再判断是何种函数，由自变量的取值范围进而的得到函数的图象．
解：∵三角形ABC的面积为3，
则3＝x y，
∴y＝，
∴BC的长为y，BC边上的高为x是反比例函数，
∴函数图象是双曲线；
∵x＞0，y＞0，
∴该反比例函数的图象位于第一象限．
故选：A．
5．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2＝2x﹣3 D．x2﹣4x+4＝0
【分析】判断上述方程有两个不相等实数根，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0就可以了．
解：A、Δ＝b2﹣4ac＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．
B、Δ＝b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8＜0，方程没有实数根．
C、Δ＝b2﹣4ac＝12﹣12＝0，方程有两个相等的实数根．
D、Δ＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，方程有两个相等的实数根．
故选：A．
6．某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，若设原价为x，则可列方程为（ ）
A．x（1+20%）2＝a B．a（1+20%）2＝x
C．x（1﹣20%）2＝a D．a（1﹣20%）2＝x
【分析】易得第一次降价后的价格为：x（1﹣20%），那么第二次降价后的价格为：x（1﹣20%）×（1﹣20%），那么相应的等量关系为：原价×（1﹣降低的百分率）2＝第二次降价后的价格，把相关数值代入即可．
解：∵某种商品经过连续两次降价20%后价格为a，原价为x，
∴第一次降价后的价格为：x（1﹣20%），
∴第二次降价后的价格为：x（1﹣20%）×（1﹣20%）＝x（1﹣20）2，
∴可列方程为：x（1﹣20%）2＝a．
故选：C．
7．大正方形的周长比小正方形的周长多24cm，而面积比是4：1，这两个正方形边长（cm）分别是（ ）
A．8和2 B．8和4 C．12和6 D．12和3
【分析】正方形的周长为4×边长，面积＝边长的平方．那么如果设较小的正方形的边长为x，由题意可得出方程4x2＝（24÷4+x）2，解方程求得较小的正方形的边长，从而可求较大的正方形的边长．
解：设较小的正方形的边长为x，根据题意得4x2＝（24÷4+x）2，
解得x＝﹣2（不合题意舍去），x＝6，
那么较大的正方形的边长就应该是x+24÷4＝12．
故选：C．
8．已知x：y＝1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A．2：2 B．3：1 C．3：2 D．2：3
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
解：∵x：y＝1：2，
∴设x＝a，则y＝2a，
∴（x+y）：y＝（a+2a）：2a＝3：2．
故选：C．
9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1
【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4＝﹣b，﹣2×4＝c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，
∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4＝﹣b，﹣2×4＝c，
解得b＝﹣2，c＝﹣8
∴b+c＝﹣10．
故选：A．
10．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
【分析】此题不能只利用两根之和公式进行简单的求和计算，还要考虑一下△与0的关系，判断方程是否有解．
解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．
∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，
即所有实数根的和3．
故选：D．
11．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+2020，利用降次的方法得到a2+2a+b＝a+b+2020，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程x2+x﹣2020＝0的实数根，
∴a2+a﹣2020＝0，
∴a2＝﹣a+2020，
∴a2+2a+b＝﹣a+2020+2a+b＝a+b+2020，
∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝﹣1+2020＝2019．
故选：C．
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②③
【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF＝CD＝BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP＝BE，AO＝EO，通过证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．
解：令GF和AC的交点为点P，如图
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF＝∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG＝EG＝AB，
∴EG＝EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF＝BE，
∵GP＝BE＝GF，
∴GP＝FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE＝∠FPE＝90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP＝∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故选：A．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知4x2﹣ax+1可变为（2x﹣b）2的形式，则ab＝ 4 ．
【分析】此题考查了配方法，解此题时要注意一次项系数为二次项系数与常数项的平方根的积的二倍，还要注意完全平方式有两个，所以一次项系数有两个且互为相反数．
解：据题意得﹣a＝±2×2×1＝±4
∴a＝±4
∴当a＝4时，4x2﹣ax+1＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∴b＝1
∴ab＝4
∴当a＝﹣4时，4x2﹣ax+1＝4x2+4x+1＝（2x+1）2，∴b＝﹣1
∴ab＝4
解得ab＝4．
14．在比例尺为1：20000的地图上测得AB两地间的图上距离为8cm，则AB两地间的实际距离为 1.6 km．
【分析】由于地图与实地为相似形，相似比为比例尺，即图上距离与实地距离的比，所以设出AB的实际距离，列出方程即可解答．
解：设A，B的实际距离为xcm，根据题意列方程得，
1：20000＝8：x，
解得x＝160000，
∵160000cm＝1600m＝1.6km，
∴A、B的实际距离为1.6km．
故答案为1.6．
15．当x＝ ﹣5 时，既是最简二次根式，被开方数又相同．
【分析】最简二次根式是根号内没有再被开方的数，令两被开方数相等，解出x，然后检验是不是最简二次根式．
解：若既是最简二次根式，
则x2+3x＝x+15，
解得x＝﹣5或3，
当x＝3时，被开方数x+15＝18，两式不是最简二次根式，
故x＝﹣5．
16．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠0 ．
【分析】首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由一元二次方程的根的判别式来求k的取值范围．
解：∵|b﹣1|+＝0，
∴b﹣1＝0，＝0，
解得，b＝1，a＝4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，
∴Δ＝a2﹣4kb≥0且k≠0，
即16﹣4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4且k≠0；
故答案为：k≤4且k≠0．
17．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m．
【分析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，根据矩形绿地的面积为480m2，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出x＝20不符合题意，此题得解．
解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x） （24﹣2x）＝480，
整理得：x2﹣22x+40＝0，
解得：x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30﹣3x＝﹣30，24﹣2x＝﹣16，不符合题意舍去，
即x＝2．
答：人行通道的宽度为2米．
故答案为：2．
18．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2＝16，则k的值为 8 ．
【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，则OA2﹣AB2＝16变形为AC2﹣AD2＝8，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）＝8，所以（OC+BD） CD＝8，则有a b＝8，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝8．
解：设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，
∵OA2﹣AB2＝16，
∴2AC2﹣2AD2＝16，即AC2﹣AD2＝8，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝8，
∴（OC+BD） CD＝8，
∴a b＝8，
∴k＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共2小题，每小题6分，共12分）
19．解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝2x（2﹣x）；
（2）x2﹣2x＝1（用公式法解）．
【分析】（1）将（x+4）看作一个整体，提取公因式，然后解一元一次方程．
（2）利用求根公式求解即可．
解：（1）（x﹣2）2＝2x（2﹣x），
移项得：（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣2+2x）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝．
（2）x2﹣2x＝1，
x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
20．先化简，再求值，其中x满足方程x2+x﹣2＝0．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，解一元二次方程求出x，最后根据分式有意义的条件求出x不能为1和2，最后把x＝﹣2代入求出答案即可．
解：
＝
＝
＝
＝，
解方程x2+x﹣2＝0得：x＝﹣2或1，
∵要使分式有意义，x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x不能为1和2，
∴取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝0．
四．解答题（共2小题，每小题8分，共16分）
21．某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：
最喜爱的节目 人数
歌曲 15
舞蹈 a
小品 12
相声 10
其它 b
（1）在此次调查中，该校一共调查了 50 名学生；
（2）a＝ 8 ；b＝ 5 ；
（3）在扇形统计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．
【分析】（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数，
（2）舞蹈占50人的16%可以求出a的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b的值，
（3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360°去乘即可，
（4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数．
解：（1）12÷24%＝50（人），
故答案为50．
（2）a＝50×16%＝8（人），
b＝50﹣15﹣8﹣12﹣10＝5（人），
故答案为：8，5．
（3）360°×＝108°
答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108°；
（4）1200×＝240（人），
答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF＝DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论；
（2）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，再由三角形面积公式可求得答案．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．
五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
23．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2，求实数m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m+1），x1 x2＝m2﹣1，结合（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＝8m+8≥0，
解得：m≥﹣1，
∴当方程有实数根时，实数m的取值范围为m≥﹣1．
（2）∵方程两实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m+1），x1 x2＝m2﹣1．
∵（x1﹣x2）2＝16﹣2x1x2，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝16﹣2x1x2，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＝16﹣2（m2﹣1），
整理，得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1．
又∵m≥﹣1，
∴实数m的值为1．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售、增加盈利、尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
填空或解答：
（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利 45﹣x 元，平均每天可售出 20+4x 件；
（2）若商场平均每天盈利2100元，则每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，此题得解；
（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可．
解：（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件．
故答案为：45﹣x；20+4x．
（2）根据题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30．
∵为了尽快减少库存，
∴x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
六．解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
25．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程x2﹣2x﹣3＝0，则有x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝4，解得x1＝3，x2＝﹣1．
已知x2﹣2x+y2+4y+5＝0，求x，y的值，则有（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，
根据以上材料解答下列各题：
（1）若x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求（x+y）﹣2011的值；
（2）无论a取何值，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0总有两个不相等的实数根；
（3）解方程：x2﹣360x+32000＝0；
（4）若a，b，c表示△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先将x2﹣4x+y2+6y+13＝0分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入（x+y）﹣2011即可解答；
（2）计算方程的判别式，判断其符号即可；
（3）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（4）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．
解：（1）∵x2﹣4x+y2+6y+13＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）﹣2011＝（2﹣3）﹣2011＝﹣1；
（2）∵Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（3）x2﹣360x+32000＝0，
（x﹣160）（x﹣200）＝0，
x﹣160＝0，x﹣200＝0，
解得x1＝160，x2＝200；
（4）△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc＝0，
即a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【分析】（1）如图，过点P作PE⊥CD于E，设x秒后PQ＝10cm，利用勾股定理得出即可．
（2）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，
∴16﹣5x＝±8，
∴x1＝，x2＝；
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB＝16﹣3y，
∴PB BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，
解得y＝4；
②当＜x≤时，
BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，则
BP CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，
解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；
③＜x≤8时，
QP＝CQ﹣PQ＝22﹣y，则
QP CB＝（22﹣y）×6＝12，
解得y＝18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
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