2021-2022学年湖南省娄底市第三学校八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年湖南省娄底市第三学校八年级第一学期期中数学试卷
一．选择题（共10题，每小题3分，共30分）.
1．医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000136米，将0.000136用科学记数法表示应为（　　）
A．0.136×10﹣3 B．1.36×10﹣3 C．1.36×10﹣4 D．13.6×10﹣5
2．计算+的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣a
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a3 C．（﹣2）﹣1＝2 D．（a2）﹣3＝a﹣6
4．若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣1
5．可以用来说明命题“若m＜n，则”是假命题的反例是（　　）
A．m＝2，n＝﹣3 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝﹣2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝3
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　）
A．70° B．80° C．40° D．30°
7．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
8．如图，若△ABD≌△EBC，且AB＝3，BC＝7，则DE的长为（　　）
A．2 B．4 C．10 D．3
9．若a＝﹣0.32，b＝﹣32，，，则a、b、c、d从大到小依次排列的是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．对顶角相等的逆命题是 　 　命题（填写“真”或“假”）．
12．分式，，的最简公分母为 　 　．
13．如图，点P是等边△ABC的边BC上一点，以A点为圆心，以AP的长为半径画弧，交AC于D点，连接PD，若∠APD＝80°，则∠DPC的度数为 　 　．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　 　．
15．若关于x的方程的解为正数，则实数a的取值范围是 　 　．
16．若m2＝3，my＝5，则m6﹣2y的值是 　 　．
17．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF＝　 　cm2．
18．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和等于 　 　度．
三．解答题
19．（16分）计算
（1）+（﹣1）2021；
（2）（﹣3m2n﹣2）﹣3÷（﹣2m﹣2n4）﹣2；
（3）﹣a﹣1；
（4）．
20．解方程
（1）；
（2）．
21．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
22．已知：如图点A、B、C在同一直线上，且AM＝AN，BM＝BN，求证：CM＝CN．
23．如果关于x的方程无解，求a的值．
24．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
25．（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
参考答案
一．选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000136米，将0.000136用科学记数法表示应为（　　）
A．0.136×10﹣3 B．1.36×10﹣3 C．1.36×10﹣4 D．13.6×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.000136＝1.36×10﹣4．
故选：C．
2．计算+的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣a
【分析】原式进行变形，然后根据同分母分式减法运算法则进行计算．
解：原式＝
＝
＝﹣1，
故选：C．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a3 C．（﹣2）﹣1＝2 D．（a2）﹣3＝a﹣6
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数幂，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故B不符合题意；
C、（﹣2）﹣1＝，故C不符合题意；
D、（a2）﹣3＝a﹣6，故D符合题意；
故选：D．
4．若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣1
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：由题意可得：2x﹣4＝0且x+1≠0，
解得x＝2．
故选：A．
5．可以用来说明命题“若m＜n，则”是假命题的反例是（　　）
A．m＝2，n＝﹣3 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝﹣2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝3
【分析】所选取的m、n的值符合题设，则不满足结论即作为反例．
解：∵当m＝﹣2，n＝3时，﹣＜，
∴m＝﹣2，n＝3是命题“若m＜n，则”的反例，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　）
A．70° B．80° C．40° D．30°
【分析】由等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE＝BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故选：D．
7．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
8．如图，若△ABD≌△EBC，且AB＝3，BC＝7，则DE的长为（　　）
A．2 B．4 C．10 D．3
【分析】利用全等三角形的性质证明即可．
解：∵△ABD≌△EBC，
∴AB＝BE＝3，BD＝BC＝7，
∴DE＝BD﹣BE＝7﹣3＝4，
故选：B．
9．若a＝﹣0.32，b＝﹣32，，，则a、b、c、d从大到小依次排列的是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
【分析】依次计算出各数的值，然后比较大小即可．
解：a＝﹣0.09，b＝﹣9，c＝9，d＝1，
∴可得：b＜a＜d＜c．
故选：C．
10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语是：“比李老师早到半小时”；等量关系为：李老师所用时间﹣张老师所用时间＝．
解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：．所列方程为：﹣＝．
故选：B．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．对顶角相等的逆命题是 　假　命题（填写“真”或“假”）．
【分析】先根据互逆命题的定义写出对顶角相等的逆命题，再判断真假．
解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题．
故答案为：假．
12．分式，，的最简公分母为 　12a2b　．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
解：分式，，的分母分别是3a2、4b、6ab，故最简公分母是12a2b；
故答案为12a2b．
13．如图，点P是等边△ABC的边BC上一点，以A点为圆心，以AP的长为半径画弧，交AC于D点，连接PD，若∠APD＝80°，则∠DPC的度数为 　20°　．
【分析】由等边三角形的性质得出∠C的度数，由AP＝AD得出∠APD＝∠ADP＝80°，再由外角的性质得出∠DPC的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵AP＝AD，∠APD＝80°，
∴∠ADP＝∠APD＝80°，
∴∠DPC＝∠ADP﹣∠C
＝80°﹣60°
＝20°，
故答案为：20°．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　7　．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣1＝0，
解得a＝7，b＝1，
∵7﹣1＝6，7+1＝8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c＝7，
故答案是：7．
15．若关于x的方程的解为正数，则实数a的取值范围是 　a＜﹣2　．
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．
解：∵于x的方程有解，
∴x+2≠0，
去分母得：2x+a＝﹣x﹣2
即3x＝﹣a﹣2
解得x＝
根据题意得：＞0
解得：a＜﹣2
故答案是：a＜﹣2
16．若m2＝3，my＝5，则m6﹣2y的值是 　　．
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此计算即可．
解：∵m2＝3，my＝5，
∴m6﹣2y＝m6÷m2y＝（m2）3÷（my）2＝33÷52＝．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF＝　2　cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∴S△BCE＝S△ABC＝×8＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2．
故答案为：2．
18．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和等于 　360　度．
【分析】利用三角形外角性质可得∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，三式相加易得∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
解：如右图所示，
∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360．
三．解答题
19．（16分）计算
（1）+（﹣1）2021；
（2）（﹣3m2n﹣2）﹣3÷（﹣2m﹣2n4）﹣2；
（3）﹣a﹣1；
（4）．
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂及乘方，再计算加减即可；
（2）先计算乘方，再计算除法即可；
（3）先通分，再计算加减即可；
（4）先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法即可．
解：（1）原式＝2+1+9﹣1
＝11；
（2）原式＝﹣m﹣6n6÷（m4n﹣8）
＝﹣m﹣10n14
＝﹣；
（3）原式＝﹣
＝；
（4）原式＝÷（﹣）
＝ （﹣）
＝﹣．
20．解方程
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：6x＝3x+3﹣x，
移项得：6x﹣3x+x＝3，
合并得：4x＝3，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：3（x+1）≠0，
∴x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：7x（x﹣1）+3（x+1）＝6x，
整理得：7x2﹣7x+3x+3＝6x，即7x2﹣10x+3＝0，
分解因式得：（7x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1，
检验：把x＝代入得：x（x+1）（x﹣1）≠0，
把x＝1代入得：x（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程的解为x＝．
21．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．
解：原式＝
＝
＝
＝．
∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，
∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，
当x＝0时，分母不为0，代入：
原式＝．
22．已知：如图点A、B、C在同一直线上，且AM＝AN，BM＝BN，求证：CM＝CN．
【分析】证明△AMB≌△ANB（SSS），推出∠MAB＝∠NAB，再证明△MAC≌△NAC（SAS），可得结论．
【解答】证明：在△MAB和△NAB中，
，
∴△AMB≌△ANB（SSS），
∴∠MAB＝∠NAB，
在△MAC和△NAC中，
，
∴△MAC≌△NAC（SAS），
∴CM＝CN．
23．如果关于x的方程无解，求a的值．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0
∵关于x的方程无解，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴当x＝1时，﹣3＝a+2，即a＝﹣5，
当x＝﹣2时，3＝﹣2a+2，即a＝﹣，
另当a＝﹣2时，方程变为3＝0，不成立，所以a＝﹣2时，方程也无解
∴a＝﹣5或﹣2或﹣时方程无解．
24．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
【分析】本题的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率，根据题意可得出：甲队的总工作量+乙队的总工作量＝1，由此可列出方程求解．
解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得：×20＝1，
解之得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．
（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y天，
根据题意得：y＝1，
解之得：y＝24．
答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天．
25．（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【分析】（1）根据等边三角形和外角的性质，可求∠AEB＝60°；
（2）方法同一，只是∠AEB＝∠8﹣∠5，此时已不是外角，但仍可用外角和内角的关系解答．
解：（1）如图3，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD＝OC＝OB＝OA，∠1＝∠2＝60°，
∴∠4＝∠5．
又∵∠4+∠5＝∠2＝60°，
∴∠4＝30°．
同理∠6＝30°．
∵∠AEB＝∠4+∠6，
∴∠AEB＝60°．
（2）如图4
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD＝OC，OB＝OA，∠1＝∠2＝60°．
又∵OD＝OA，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴∠4＝∠5，∠6＝∠7．
∵∠DOB＝∠1+∠3，
∠AOC＝∠2+∠3，
∴∠DOB＝∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB＝180°，∠6+∠7+∠AOC＝180°，
∴2∠5＝2∠6，
∴∠5＝∠6．
又∵∠AEB＝∠8﹣∠5，∠8＝∠2+∠6，
∴∠AEB＝∠2+∠6﹣∠5＝∠2+∠5﹣∠5＝∠2，
∴∠AEB＝60°．