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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号， ( http: / / www.21cnjy.com )因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练1：二次根式
( http: / / www.21cnjy.com / )
一站式知识梳理
【知识点一】1、二次根式的概念
（1）代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．
（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
例1．等式成立的条件是（）
A． B． C． D．
例2．求使下列二次根式有意义的实数的取值范围．
（1）； （2）．
例3．已知，求的值．
例4．若有意义，则的取值范围是______．
例5．计算：．
例6．化简：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
例7.把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．
（1）；（2）；（3）；（4）．
例8．化简下列二次根式：
（1）； （2）； （3）．
例9．已知的值．
例10.如果，那么字母的取值范围是________.
例11.已知，化简：=________.
【知识点二】
1、最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【知识点三】
1、二次根式的加减运算：
把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）．
2、二次根式的乘除运算：
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；
（2） 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
例1．将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例2．是同类二次根式，求的值．
【巩固练习】
例3.将式子化为最简二次根式是_________.
例4._________.
例5.计算：．
例6.化简：
．
例7.解下列不等式
（1）； （2）．
例8.若等式成立，
化简：．
【知识点四】
1、分母有理化：
a) 把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．
b) 分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2、有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．21世纪教育网版权所有
例1．下列各式中，不是互为有理化因式的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．把下列各式分母有理化．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
例3.实数的整数部分是，小数部分是，求的值．
例4.比较下列各式的大小．
（1）； （2）．
一站式专练
一、单选题
1．计算：（3－2）2020（3＋2）2021的结果是（ ）
A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021
2．化简2ab的结果为（ ）
A．b2 B．b2 C．﹣b2 D．–b2
3．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥l且x≠0 B．x≠0 C．x≤1且x≠0 D．x≤1
4．已知实数a满足条件，那么的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
5．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
二、填空题
6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简的结果是________．
7．若实数a、b满足与互为相反数，则的值为_________．
8．已知实数a满足|2020﹣a|+＝a，那么a﹣20202+1的值是____．
9．计算＝________；
10．化简：＝___．
11．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则2a＋b＝________．21教育网
12．比较大小：（1）_____；（2）_____．
【标准答案】> >
【思路点拨】
（1）利用分子有理化比较大小即可；
（2）利用作差法结合配方法即可比较大小；
三、解答题
13．（1） （2）
（3） （4）解方程组
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．计算：
（1）．
（2）．
16．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一） （二）
（三）
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： = ， = =
（2）化简计算：
（3）化简：．
17．计算：．
18．计算：（1）
（2）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号 ( http: / / www.21cnjy.com )，因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练1：二次根式
( http: / / www.21cnjy.com / )
一站式知识梳理
【知识点一】1、二次根式的概念
（1）代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．
（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
例1．等式成立的条件是（）
A． B． C． D．
【标准答案】D．
【解析】由，，得，，∴．
例2．求使下列二次根式有意义的实数的取值范围．
（1）； （2）．
【标准答案】（1）或；（2）且．
【解析】（1）由，得或； （2）由，得且．
例3．已知，求的值．
【标准答案】1．
【解析】由题意得：，解得：，∴．
例4．若有意义，则的取值范围是______．
【标准答案】．
【解析】∵，
∴．
例5．计算：．
【标准答案】．
【解析】=．
例6．化简：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
【标准答案】（1）；（2） ；（3）；（4）3．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）．
例7.把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【标准答案】（1）； （2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例8．化简下列二次根式：
（1）； （2）； （3）．
【标准答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
例9．已知的值．
【标准答案】40．
【解析】∵， ∴．
∴代入得：=．
例10.如果，那么字母的取值范围是________.
【标准答案】.
【解析】
故答案为：
例11.已知，化简：=________.
【标准答案】3.
【解析】
【知识点二】
1、最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【知识点三】
1、二次根式的加减运算：
把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）．
2、二次根式的乘除运算：
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；
（2） 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
例1．将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【标准答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例2．是同类二次根式，求的值．
【标准答案】．
【解析】由题意得： ， 解得：．
【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求解．
【巩固练习】
例3.将式子化为最简二次根式是_________.
【标准答案】.
【解析】要使式子有意义则所以
例4._________.
【标准答案】.
【解析】
例5.计算：．
【标准答案】0．
【解析】原式=．
例6.化简：
．
【标准答案】．
【解析】原式=
=
=．
例7.解下列不等式
（1）； （2）．
【标准答案】（1）； （2）．
【解析】（1）∵，∴， ∴；
（2）解：∵， ∴， ∴．
例8.若等式成立，
化简：．
【标准答案】．
【解析】由题意得：， 解得：．
∴原式===．
【知识点四】
1、分母有理化：
a) 把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．
b) 分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2、有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．21世纪教育网版权所有
例1．下列各式中，不是互为有理化因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【解析】互为有理化因式指两个 ( http: / / www.21cnjy.com )含有二次根式的代数式乘积不再含有二次根式，B选项不满 足定义，对于单独的二次根式，常见的有理化因式是它本身，对于二次根式的和差， 可以利用平方差公式找它的二次根式．21·cn·jy·com
例2．把下列各式分母有理化．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【标准答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（3） 原式=．
例3.实数的整数部分是，小数部分是，求的值．
【标准答案】．
【解析】由已知得：． 原式=
= =．
例4.比较下列各式的大小．
（1）； （2）．
【标准答案】（1）； （2）．
【解析】（1），，
又，；
（2），，又，
，所以．
一站式专练
一、单选题
1．计算：（3－2）2020（3＋2）2021的结果是（ ）
A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021
【标准答案】B
【思路点拨】
先根据积的乘方得到原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)，然后利用平方差公式计算．21教育网
【精准解析】
解, 原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）
=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)
=(9-8) 2020×(3＋2)
=3＋2
故答案为:B
【名师指导】
本题考查了积的乘方，平方差公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．
2．化简2ab的结果为（ ）
A．b2 B．b2 C．﹣b2 D．–b2
【标准答案】C
【思路点拨】
根据二次根式有意义的条件，判断出，，即且，由此将原式化简计算即可．
【精准解析】
解：∵为二次根式
∴，
即：，
∴且
∴
故选：C
【名师指导】
本题考查二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记知识点并能灵活应用是解题关键．
3．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥l且x≠0 B．x≠0 C．x≤1且x≠0 D．x≤1
【标准答案】C
【思路点拨】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【精准解析】
解：根据题意得：1﹣x≥0且x≠0，
解得：x≤1且x≠0．
故选：C．
【名师指导】
本题考查了函数自变量的范围，一般从 ( http: / / www.21cnjy.com )三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2·1·c·n·j·y
4．已知实数a满足条件，那么的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【标准答案】C
【思路点拨】
由题意可知a-2012≥0，可得，移项后平方得a-2012=20112，变形得a-20112=2012．21·世纪*教育网
【精准解析】
解：∵有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012．
故选C．
【名师指导】
本题考查二次根式有意义条件，化简绝对值， ( http: / / www.21cnjy.com )代数式的值，掌握二次根式有意义条件得出a≥2012，化简绝对值得出a-2012=20112是解题关键．2-1-c-n-j-y
5．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
【标准答案】B
【思路点拨】
先根据二次根式的乘法运算计算，再估算的大小，进而估算，即可求得答案．
【精准解析】
\
故选B
【名师指导】
本题考查了二次根式的乘法运算，无理数大小估算，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简的结果是________．
【标准答案】b-2a
【思路点拨】
由数轴知a<0【精准解析】
由数轴知，a<0b
∴a-2b<0，a+b<0
∴
故答案为：b-2a
【名师指导】
本题考查了数轴上比较实数的大小，实 ( http: / / www.21cnjy.com )数的加减法则，绝对值的化简及算术平方根的性质，关键是根据实数的加减法则确定出a-2b及a+b的符号，这是正确脱去绝对值和化简二次根式的前提．21cnjy.com
7．若实数a、b满足与互为相反数，则的值为_________．
【标准答案】
【思路点拨】
利用非负数的性质可求得a与b的值，从而可求得代数式的值．
【精准解析】
∵与均为非负数，且互为相反数
∴，
即，
∴，
当，时，
故答案为：
【名师指导】
本题考查了非负数的性质，求代数式的值，二次根式的计算，关键是根据非负数的性质求得a与b的值．
8．已知实数a满足|2020﹣a|+＝a，那么a﹣20202+1的值是____．
【标准答案】
【思路点拨】
根据二次根式有意义的条件得到，根据绝对值的性质化简得到，把的值代入所求式子计算，得到答案．
【精准解析】
解：要使有意义，
，
解得，
，
，
，
原式＝，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
9．计算＝________；
【标准答案】
【思路点拨】
把化成最简二次根式计算即可．
【精准解析】
∵
=
=，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查了二次根式的化简，熟练进行二次根式的化简是解题的关键．
10．化简：＝___．
【标准答案】
【思路点拨】
根据二次根式的被开方数是非负数，把(1－a)移到根号内，然后进行化简．
【精准解析】
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【名师指导】
本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的定义确定含字母的代数式的正负是解题的关键．
11．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则2a＋b＝________．www.21-cn-jy.com
【标准答案】2.5
【思路点拨】
先估算的取值范围，即可得出的取值范围即可得出m、n的值，代入amn＋bn2＝1可得（6a+16b）-（2a+6b）=1，根据结果不含可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案．【出处：21教育名师】
【精准解析】
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴2＜＜3，
∵m、n分别表示的整数部分和小数部分，
∴m=2，n=-2=3-，
∵amn＋bn2＝1，
∴2（3-）a+（3-）2b=1，
整理得：（6a+16b）-（2a+6b）=1，
∵根据结果不含，
∴，
解得：，
∴2a＋b＝2.5．
故答案为：2.5
【名师指导】
本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
12．比较大小：（1）_____；（2）_____．
【标准答案】> >
【思路点拨】
（1）利用分子有理化比较大小即可；
（2）利用作差法结合配方法即可比较大小；
【精准解析】
解：（1）∵，
，
而>，
∴<，
∴>,
（2）∵，
∴
故答案为：（1）>；（2）>
【名师指导】
本题主要考查了比较大小方法的应用，本题比较大小方法有：分子有理化和作差法，结合题目特征，灵活选用恰当的方法比较大小是解题的关键．21教育名师原创作品
三、解答题
13．（1） （2）
（3） （4）解方程组
【标准答案】（1）；（2）10；（3）；（4）方程组的解为．
【思路点拨】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把除法转化为乘法，再利用二次根式的积化为积的二次根式，然后化简即可；
（3）先化简二次根式，利用完全平方公式展开，将分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（4）利用换元法解二元一次方程组设，方程组变为解方程组得， 再解方程组即可．
【精准解析】
解:（1），
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=10；
（3） ，
=，
=，
=；
（4）解方程组，
设，
方程组变为，
①×8得，
③-②得，
把代入①得，
，
④+⑤得，
把代入④得，
方程组的解为．
【名师指导】
本题考查二次根式混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，换元法解二元方程组，掌握二次根式化简技巧，二次根式的乘除法，分母有理化，完全平方公式应用，加减消元法解二元一次方程组，特别是较复杂的二元方程组可通过换元法简化运算是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【标准答案】（1）2；（2）；（3）9；（4）
【思路点拨】
（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据二次根式的性质和运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的性质和立方根运算计算即可解答；
（4）根据分母有理化和二次根式的运算法则计算即可．
【精准解析】
解：（1）
=
=6﹣4
=2；
（2）
=
=；
（3）
=6﹣3+6
=9；
（4）
=
=．
【名师指导】
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、二次根式的性质、立方根、分母有理化，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解答的关键．www-2-1-cnjy-com
15．计算：
（1）．
（2）．
【标准答案】（1）；（2）
【思路点拨】
（1）根据二次根式的除法法则计算，二次根式的性质化简即可；
（2）根据二次根式的乘法以及二次根式的加减法运算进行计算即可
【精准解析】
（1）
；
（2）
．
【名师指导】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键．
16．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一） （二）
（三）
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： = ， = =
（2）化简计算：
（3）化简：．
【标准答案】（1），，；（2）1；（3）
【思路点拨】
（1）仿照例题的解法依次化简即可；
（2）按照第三种方法化简即可；
（3）分子，分母同时乘以化简即可．
【精准解析】
（1）∵=，== ，
==，
故答案为：，，；
（2）
=
=1；
（3）
=
=
=．
【名师指导】
本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握平方差公式进行分母有理化是解题的关键．
17．计算：．
【标准答案】
【思路点拨】
先根据二次根式乘除法法则化简各式，再合并同类二次根式即可得到答案．
【精准解析】
解：
=
=
=
=
【名师指导】
本题考查了二次根式的混合运算，关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．计算：（1）
（2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路点拨】
（1）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减即可求解；
（2）根据负整数指数幂，绝对值，0指数幂，二次根式化简等知识进行整理，再进行二次根式加减即可求解．
【精准解析】
解：（1）；
（2） ．
【名师指导】
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，0指数幂，绝对值等知识，熟知相关知识并正确进行化简是解题关键．21*cnjy*com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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