中小学教育资源及组卷应用平台
编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称 ( http: / / www.21cnjy.com )号，因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练2：一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com / )
一站式知识梳理
【知识点一】一元二次方程的解法
1.特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解．
2.因式分解法的一般步骤：
1将方程右边化为零；
2将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
3令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
3.配方法的步骤
1先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；
2移项：把常数项移到方程右边；
3配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式；
4当时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
4.求根公式法的一般步骤
1把一元二次方程化成一般形式（）；
2确定a、b、c的值；
3求出的值（或代数式）；
若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．
例1．填空：
（1） 方程的根是____________；
（2） 方程的根是____________；
（3） 如果方程有解，那么_________；其解=________；=________．
例2．解关于的方程（合适的方法）：
（1）；
（2）．
例3．解关于的方程：
（1）；
（2）
例4.如果是一个完全平方式，那么的值可以是（ ）
A．2 B． C．2或 D．都不对
例5.用指定的方法解下列方程：
（1）（配方法）； （2）（开平方）；
（3）（因式分解）； （4）（公式法）．
【知识点二】根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（1）解与根有关的证明题
例1.关于的方程有实数根，则关于x的方程的根的情况又如何？写出判断的过程 ．
例2.关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
例3.已知关于x的方程．
（1）若方程有两个不相等的实根，求a的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实根，求a的值，并求出此时方程的根；
（3）若方程有实根，求a的最大整数值．
【巩固练习】
1.一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
2.关于的方程无实数根，则的取值范围是___________．
3.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
4.当k取何值时，方程有实数根．
5.要使关于x的方程有实根，整数a取得的最大值是多少？
6.求证：不论m取何值，关于x的方程总有实数根．
【知识点三】一元二次方程的应用
二次三项式在实数范围内因式分解：
一元二次方程的应用
1、列一元二次方程解应用题的步骤：
审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．
注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．
2、数字问题：
主要考察的是对数的表示如：
两位数 = 十位数字10+个位数字；
三位数 = 百位数字100+十位数字10+个位数字．
3、增长（降低）率问题
基本公式： ．
表示增长（降低）前的数，表示增长（降低）率，表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出、．
4、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
5、传播问题：
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
6、利率问题
基本公式：利息=本金*利率*期数
7、利润问题
基本公式：
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本）*销售的件数．
8、面积问题：
判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程
9、动态几何类问题
（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；
（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式
【例题精讲】
例1.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
例2.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
例3.某种商品，原价50元，受金融危机的影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率．21·cn·jy·com
例4.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会 www.21-cn-jy.com
例5.某实验室需要培养一群有益菌，现有60 ( http: / / www.21cnjy.com )个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌 2·1·c·n·j·y
例6.某种服装，平均每天 ( http: / / www.21cnjy.com )可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元 【来源：21·世纪·教育·网】
例7.利用22米长的墙为一边，用篱笆围 ( http: / / www.21cnjy.com )成一个长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC边各应为多少 21·世纪*教育网
例8.有一面积是150平方米的长方形鸡 ( http: / / www.21cnjy.com )场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米
例9.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． 2-1-c-n-j-y
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20？若存在，请求出此时x
的值；若不存在，请说明理由
【巩固练习】
1.一块长和宽分别为40厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )和25厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米．那么纸盒的高是多少？21世纪教育网版权所有
2.某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元．如果每月产值的增长率相同，求这个增长率．21*cnjy*com
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出2 ( http: / / www.21cnjy.com )0件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛 21教育网
5.等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，动点P从A点出发，沿AB向B移动，通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于R、Q．当AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16 【来源：21cnj*y.co*m】
一站式专练
一、单选题
1．已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（ ）
A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5
2．若x＝﹣1是一元二次方程x2+（a﹣1）x+2b＝0的根，则代数式3a﹣6b的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
3．已知一个等腰三角形的两边长恰是方程的两根，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．1
4．要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式，每两队之间都赛两场，计划安排15场比赛． 设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）【出处：21教育名师】
A． B．
C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
6．设方程的两个根是，则的取值是________.
7．已知方程有一根满足为正整数，则___________．
8．若关于x的方程的一个根为3，则另一个根为_______．
9．已知，是方程的两个实数根，则________
10．如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ___．21教育名师原创作品
11．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是___．21*cnjy*com
12．商场某种商品进价为120元/ ( http: / / www.21cnjy.com )件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为 __________元时，商场每天盈利达1500元．
三、解答题
13．已知关于x的一元二次方程（x﹣5）2＝m+1有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2﹣x1x2＝3，求m的值．
14．已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，www-2-1-cnjy-com
（1）求几秒后，的面积等于？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．解下列一元二次方程：
（1）
（2）．
16．如图，某小区居委会打算把一块长20m ( http: / / www.21cnjy.com )，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（1）计算：； （2）解方程：
18．（1）解方程：
（2）已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
19．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，那么这个月这户居民只交10元用电费；如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．下表是这户居民5月、6月的用电情况，请根据其中的数据，回答电厂规定的x度是多少
月份 用电量（度） 用电量（度）
5月 80 25
6月 45 10
20．解方程：
（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
21．如图，一张正方形纸片的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形，四边形EFGH的面积可能为1cm2吗？请说明理由．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A
B
C
D
E
F
A
B
C
P
Q
A
B
C
Q
P
R
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因为 ( http: / / www.21cnjy.com )在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练2：一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com / )
一站式知识梳理
【知识点一】一元二次方程的解法
1.特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解．
2.因式分解法的一般步骤：
1将方程右边化为零；
2将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
3令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
3.配方法的步骤
1先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；
2移项：把常数项移到方程右边；
3配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式；
4当时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
4.求根公式法的一般步骤
1把一元二次方程化成一般形式（）；
2确定a、b、c的值；
3求出的值（或代数式）；
若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．
例1．填空：
（1） 方程的根是____________；
（2） 方程的根是____________；
（3） 如果方程有解，那么_________；其解=________；=________．
【标准答案】（1）； （2）； （3），．
【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解
1 ② ① ②
； ；
（3）由原方程有解得：．
直接开平方：
1 ②
∴．
例2．解关于的方程（合适的方法）：
（1）；
（2）．
【标准答案】（1）； （2）．
【解析】（1）因式分解法 （2）把看作一个整体，因式分解【版权所有：21教育】
① ②
∴；
1 ②
∴．
例3．解关于的方程：
（1）；
（2）
【标准答案】 （1），；
（2）当时，，；
当时， ；
当，原方程有无数解；
例4.如果是一个完全平方式，那么的值可以是（ ）
A．2 B． C．2或 D．都不对
【标准答案】D
【解析】通过公式进行解答，根据完全平方有和的平方，差的平方两 种，所以有两种情况，并且中间一项是积的2倍．
例5.用指定的方法解下列方程：
（1）（配方法）； （2）（开平方）；
（3）（因式分解）； （4）（公式法）．
【标准答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1）对原方程配方，得：，所以，
所以原方程的解为：；
（2）开平方，得：，所以原方程的解为：；
（1），，
所以原方程的解为：；
（4）∵，∴，∴，
所以原方程的根为．
【知识点二】根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（1）解与根有关的证明题
例1.关于的方程有实数根，则关于x的方程的根的情况又如何？写出判断的过程 ．
【标准答案】方程有两不相等的实数根．【标准答案】【标准答案】
【解析】（1）当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根，此时另一方程
为，，即得方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有实数根，可得，
得且，则，又，
所以方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有两个不相等的实数根．
例2.关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
【标准答案】且．【标准答案】【标准答案】
【解析】方程整理成一般式即为，方程有两个实数根，则， 即方程必为一元二次方程，且有，
即得：且．
例3.已知关于x的方程．
（1）若方程有两个不相等的实根，求a的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实根，求a的值，并求出此时方程的根；
（3）若方程有实根，求a的最大整数值．
【标准答案】（1）；（2），方程根为；（3）0．【标准答案】【标准答案】
【解析】（1）方程有两个不等实数根，则有， 即得：；
（2）方程有两个相等实数根，则有，即得，此时方程即为 ，解得:；
（3）方程有实数根，则有，即得，则的最大整数值为0．
【巩固练习】
1.一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
【标准答案】且．【标准答案】【标准答案】
【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则二次项系数，
且有，即得：且．
2.关于的方程无实数根，则的取值范围是___________．
【难度】★
【标准答案】．【标准答案】【标准答案】
【解析】方程无实根，则必有，即方程为一元二次方程，则有
，即得：．
3.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
【标准答案】且．........................................................【标准答案】【标准答案】
【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则二次项系数，
且有，即得且．
4.当k取何值时，方程有实数根．
【标准答案】．【标准答案】【标准答案】
【解析】整理成一般形式即为，（1）当，即时，
此时，方程为一元一次方程，必有实数根；（2）当，即时，
方程有实数根，则有，即得且；
综上所述，当时，方程有实数根．
5.要使关于x的方程有实根，整数a取得的最大值是多少？
【标准答案】0【标准答案】【标准答案】
【解析】（1）当，此时，方程为一元一次方程，必有实数根；
（2）当时，方程有实数根，则有，
即得：且；综上所述，，则整数a取得的最大值为0．
6.求证：不论m取何值，关于x的方程总有实数根．
【标准答案】略．【标准答案】【标准答案】
【解析】证明：（1）当，即时，此时，方程为一元一次方程，必有
实数根；（2）当时，方程有实数根，则恒
成立；综上所述，即证方程必有实数根．
【知识点三】一元二次方程的应用
二次三项式在实数范围内因式分解：
一元二次方程的应用
1、列一元二次方程解应用题的步骤：
审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．
注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．
2、数字问题：
主要考察的是对数的表示如：
两位数 = 十位数字10+个位数字；
三位数 = 百位数字100+十位数字10+个位数字．
3、增长（降低）率问题
基本公式： ．
表示增长（降低）前的数，表示增长（降低）率，表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出、．
4、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
5、传播问题：
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
6、利率问题
基本公式：利息=本金*利率*期数
7、利润问题
基本公式：
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本）*销售的件数．
8、面积问题：
判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程
9、动态几何类问题
（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；
（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式
【例题精讲】
例1.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，解得：，，
即该式可分解为；
（2）令，解得：，，
即该式可分解为．
例2.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式为．
例3.某种商品，原价50元，受金融危机的影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率．【来源：21·世纪·教育·网】
【标准答案】．
【解析】设2、3月份平均增长率为，依题意可得，
解得：（舍），，即月均增长率为．
例4.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会 21·cn·jy·com
【标准答案】10
【解析】设参加展会共有家公司，依题意可得方程为，整理得：， 解得：，（舍），即参加展会共有10家公司．2-1-c-n-j-y
例5.某实验室需要培养一群有益菌，现有60 ( http: / / www.21cnjy.com )个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌
【标准答案】19
【解析】设每轮分裂中可分裂出个有益菌，一轮培植后共有个有益菌，二轮培植 后共有个有益菌，依题意可得：，整理得：， 解得：，（舍），即每轮可分裂出19个有益菌．
例6.某种服装，平均每天可以销售20件， ( http: / / www.21cnjy.com )每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元
【标准答案】4
【解析】设每件应降价元，则每件盈利为元，销量为元，依题意可得方 程即为，整理即为，解得：，， 降价幅度不超过10元，可知应舍去，即每件应降价4元．
例7.利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC边各应为多少
【标准答案】，．
【解析】设，则有，
依题意可得：，
解得：，，利用墙的长最大为，则有
，得，取，则有，．
例8.有一面积是150平方米的长方形鸡场 ( http: / / www.21cnjy.com )，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米
【标准答案】鸡场长为，宽为．
【解析】设鸡场宽为，则鸡场长为，依题意有，解得：，，根据墙长，可知，得，取，即鸡场长为，宽为．
例9.如图，Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20？若存在，请求出此时x
的值；若不存在，请说明理由
【标准答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）根据题意可得，，勾股定理可得
，则有；
（2）△PBQ为等腰三角形，仅可能，即，
解得：；
（3），即，由此可得：，
整理得：，解得：，此时．
【巩固练习】
1.一块长和宽分别为40厘米和25厘米的长 ( http: / / www.21cnjy.com )方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米．那么纸盒的高是多少？
参考答案：
解：设纸盒的高为厘米，由题意，得
解得， ，（不合题意，舍去），
2.某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元．如果每月产值的增长率相同，求这个增长率．
解析：月增长率=（本月产值—上月产值）/上月产值×100%．
由此可得：本月产值=上月产值×月增长率+上月产值=上月产值×（1+月增长率）
如果该厂产值的月增长率用x表示，那么八月份的产值为 _____________万元；
九月份的产值为_____________万元；
解：设这个工厂 每月产值得增长率为x．根据题意，得
即
所以或
得 ； (不合题意，舍去)．
答：这个工厂八、九两月的增长率为20%．
归纳总结：
（1）如果某个量原来的值是a，每次增长的 ( http: / / www.21cnjy.com )百分率是x，则增长1次后的值是a(1+x)，增长2次后的值是a(1+x)2，……增长n次后的值是a(1+x)n，这就是重要的增长率公式；
（2）如果原来的量的值是a，每次降低的百分率是x，则n次降低后的值是a(1-x)n，这就是降低率公式
（3）关于增长率的问题，一般有三个常用量，原产量；增长率（降低率）；增长后的产量（降低后的产量）。如果把原产量叫做基数（也做始数）用表示，把增长后的产量叫做末数用表示，增长率（下降率）用表示，时间间隔用增长率问题的数量关系，在初中阶段，通常取．
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可 ( http: / / www.21cnjy.com )售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫应降价元，可使商场每天盈利元．
根据题意，得．
解得：，．
因尽快减少库存，故．
答：每件衬衫应降价元．
4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛 www-2-1-cnjy-com
【标准答案】6
【解析】设参加比赛有个球队，依题意可得方程为，整理得， 解得：，（舍），即参加比赛的共有6个球队．
5.等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，动点P从A点出发，沿AB向B移动，通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于R、Q．当AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16
【标准答案】．
【解析】四边形PQCR为平行四边形，易得、
都为等腰直角三角形，则有，
，由此可得：
，
令，可得：．
一站式专练
一、单选题
1．已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（ ）
A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5
【标准答案】A
【思路点拨】
根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可．
【精准解析】
解：∵方程x26x+q=0配方后是（xp）2=7，
∴x22px+p2=7，
∴6=2p，
解得：p=3，
即（x3）2=7，
∴x26x+97=0，
∴q=2，
即（x+3）2=7，
即（x+p）2=7，
故选：A．
【名师指导】
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
2．若x＝﹣1是一元二次方程x2+（a﹣1）x+2b＝0的根，则代数式3a﹣6b的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
【标准答案】D
【思路点拨】
先将代入方程得到，再将其整体代入3a﹣6b计算即可得解；
【精准解析】
解：将代入方程得：，
即：，
∴；
故选择：D
【名师指导】
本题主要考察一元二次方程的解及代数式求值，利用整体的思想代入计算是解题的关键．
3．已知一个等腰三角形的两边长恰是方程的两根，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．1
【标准答案】B
【思路点拨】
求出方程的解，得出三角形的三边长，即可得出答案．
【精准解析】
解：解得：或2，
当三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长为，
故选：B．
【名师指导】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，解一元二次方程的应用，解题的关键是能求出方程的解．21世纪教育网版权所有
4．要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式，每两队之间都赛两场，计划安排15场比赛． 设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）21cnjy.com
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路点拨】
设邀请x个球队参加比赛，那 ( http: / / www.21cnjy.com )么第一个球队和其他球队打（x 1）场球，第二个球队和其他球队打（x 2）场，以此类推可以知道共打（1＋2＋3＋…＋x 1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．www.21-cn-jy.com
【精准解析】
解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得：x（x 1）＝15．
故选：D．
【名师指导】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．2·1·c·n·j·y
5．如图，在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C． D．
【标准答案】C
【思路点拨】
利用勾股定理求得AB的长，设DE=x，用x表示出CD，在Rt△ACD中，利用勾股定理构造方程，求解即可．21·世纪*教育网
【精准解析】
解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝1，
∴AB=，
过点D作DE⊥AB于点E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAD=45°，∴AE=DE，
设DE=x，则AE=DE=x，AD=，BE=，
在Rt△BDE中，,
∴BD=，
则CD=，
在Rt△ACD中，,
即,
，
，
，
，即，
，
∴x=，
∴x1=(舍去)，x2=，
∴点D到AB的距离是，
故选：C．
【名师指导】
本题考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21*cnjy*com
二、填空题
6．设方程的两个根是，则的取值是________.
【标准答案】-42
【思路点拨】
根据一元二次方程根的定义，以及根与 ( http: / / www.21cnjy.com )系数的关系得到x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1，再化简求得x15=5x1-3，x23=2x2-1，再整体代入即可求解．【出处：21教育名师】
【精准解析】
解：∵方程x2=-x+1的两个根是x1，x2，
∴x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1，
∴x15=(x12)2 x1=(1-x1) 2 x1
=(1-2x1+ x12) x1
=(1-2x1+1-x1) x1
=(2-3x1) x1
=2x1-3x12
=2x1-3(1-x1)
=5x1-3，
x23= x22 x2=(1-x2) x2
=x2- x22
=x2-(1-x2)
=2x2-1，
∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+ x2)-22=20 (-1)-22=-42．
故答案为：-42．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
7．已知方程有一根满足为正整数，则___________．
【标准答案】3
【思路点拨】
先根据已知方程有一根，得到，再由为正整数，可以得到，由此即可得到，则，由此进行求解即可．
【精准解析】
解：∵，
∴，
∵已知方程有一根，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为正整数，
∴即，
∴，
故答案为：3．
【名师指导】
本题主要考查了方程的根和解不等式组，解题的关键在于能够根据题意确定出的取值范围．
8．若关于x的方程的一个根为3，则另一个根为_______．
【标准答案】-4
【思路点拨】
把x=3代入方程求出k=-1，得到关于x的方程为，解方程即可求解．
【精准解析】
解：∵关于的方程的一个根为，
∴9-3k-12=0，
解得k=-1，
∴关于x的方程为，
解得，
∴另一个根为-4．
故答案为：-4
【名师指导】
本题考查了一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程的根的定义求出k是解题关键．
9．已知，是方程的两个实数根，则________
【标准答案】
【思路点拨】
，是方程的两个实数根，可得 再把降次化为，从而可得答案.
【精准解析】
解： ，是方程的两个实数根，
故答案为：
【名师指导】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键.21教育名师原创作品
10．如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ___．
【标准答案】m-2且m≠-1
【思路点拨】
根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【精准解析】
解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x-1=0有两个实数根，
∴，
解得：m-2且m≠-1．
故答案为：m-2且m≠-1．
【名师指导】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
11．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是___．
【标准答案】10%
【思路点拨】
设平均每次降价的百分率是，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【精准解析】
设平均每次降价的百分率是
根据题意，得：
∴
根据题意，得：
∴
∴，即
故答案为：10%．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
12．商场某种商品进价为120 ( http: / / www.21cnjy.com )元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为 __________元时，商场每天盈利达1500元．
【标准答案】150或170或150
【思路点拨】
设涨价x元，根据单件利润=售价－进价、利润=单件利润×销售量列出一元二次方程，然后解方程即可解答．
【精准解析】
解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x1=20，x2=40，
所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元，
故答案为：150或170．
【名师指导】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解答的关键．
三、解答题
13．已知关于x的一元二次方程（x﹣5）2＝m+1有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2﹣x1x2＝3，求m的值．
【标准答案】（1）m≥﹣1；（2）m＝17
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质得到m+1≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2＝10，x1x2＝24﹣m，代入x1+x2﹣x1x2＝3得到一元一次方程，解方程即可．
【精准解析】
解：（1）∵（x﹣5）2≥0，
∴m+1≥0，
∴m的取值范围是m≥﹣1；
（2）根据题意，得x1+x2＝10，x1x2＝24﹣m，
∵x1+x2﹣x1x2＝3，
∴10﹣（24﹣m）＝3，
∴m＝17．
【名师指导】
本题考查了根与系数的关系，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：．
14．已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，21*cnjy*com
（1）求几秒后，的面积等于？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）2或3秒；（2）2秒
【思路点拨】
（1）根据题意表示出BQ=2x，PB=5﹣x，利用三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可解答；
（2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，根据勾股定理得到关于t的一元二次方程，然后解方程即可．
【精准解析】
解：（1）根据题意，得：
，
整理得：，
解得：或，
答：2或3秒后的面积等于6cm2；
（2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，
在中，∵，
∴，
，
，
解得（舍去），，
∴当时，PQ的长度等于5cm．
【名师指导】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法，理解题意，正确列出一元二次方程式解答的关键．
15．解下列一元二次方程：
（1）
（2）．
【标准答案】（1），；（2），
【思路点拨】
（1）根据因式分解法即可求解；
（2）根据公式法即可求解．
【精准解析】
（1）解：
或
，
（2）解：
，，
，
，．
【名师指导】
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
16．如图，某小区居委会打算把一块长2 ( http: / / www.21cnjy.com )0m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】花砖路面的宽度为1米
【思路点拨】
设花砖路的宽度为x m，根据面积关系即可列一元二次方程，解一元二次方程即可．
【精准解析】
设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
即花砖路面的宽度为1米．
【名师指导】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意，找到等量关系并正确列出方程．
17．（1）计算：； （2）解方程：
【标准答案】（1）2；（2）
【思路点拨】
（1）运用二次根式的化简法则计算即可；
（2）采用直接开平方法求解即可．
【精准解析】
（1）
；
（2） ∵
∴，
．
【名师指导】
本题考查了二次根式的化简，一元二次方程的解法，熟练二次根式化简的基本要领，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．
18．（1）解方程：
（2）已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
【标准答案】（1） ，；（2）的值是，方程的另一个根为
【思路点拨】
（1）用公式法解即可；
（2）设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系可得到关于与m的二元一次方程组，解方程组即可．
【精准解析】
(1)∵
∴
∴
∴ ，
(2) 设方程的另一个根为
∴
解得：
∴，
∴m的值是－2，方程的另一个根为
【名师指导】
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关键等知识，熟练掌握一元二次方程的解法及根与系数的关系是关键．21教育网
19．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，那么这个月这户居民只交10元用电费；如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．下表是这户居民5月、6月的用电情况，请根据其中的数据，回答电厂规定的x度是多少
月份 用电量（度） 用电量（度）
5月 80 25
6月 45 10
【标准答案】50度．
【思路点拨】
先求出5月份超出部分的电费，根据等量关系超出部分费用+规定部分电费=25，列方程求解即可．
【精准解析】
解：电厂规定个月的用电量为x度，5月份超超过用电量部分为80-x，超过部分电费为，
依题意得：，
整理得x2－80x＋1500＝0，
解这个方程得x1＝50，x2＝30，
∵x≥45度，
∴x=50度，x=30度舍去，
答：电厂规定的x度为50度．
【名师指导】
本题考查列一元二次方程解应用题，掌握列一元二次方程解应用题的方法与步骤，抓住超出部分费用+规定部分电费=25列方程是解题关键．
20．解方程：
（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【标准答案】（1）；（2）
【思路点拨】
（1）利用因式分解法求解；
（2）利用配方法解答．
【精准解析】
解：（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0
（x-3）（x+1）=0
∴；
（2）x2﹣4x﹣1＝0
∴．
【名师指导】
此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
21．如图，一张正方形纸片的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形，四边形EFGH的面积可能为1cm2吗？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】不能，见解析
【思路点拨】
根据全等三角形的性质得到HE＝H ( http: / / www.21cnjy.com )G＝EF＝FG，∠AEH＝∠DHE，推出四边形EFGH是正方形，设AH＝DG＝CF＝BE＝xcm，根据勾股定理即可得到结论．
【精准解析】
解：四边形EFGH的面积不可能为1cm2，
理由：∵△AEH≌△DHG，
∴HE＝HG，∠AEH＝∠DHG，
同理可得HE＝HG＝EF＝FG
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
设AH＝DG＝CF＝BE＝xcm，
则AE＝BF＝CG＝DH＝（2﹣x）cm，
∴HE2＝AH2+AE2，
∴x2+（2﹣x）2＝1，
整理得，2x2﹣4x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，
∴方程无实数根，
∴四边形EFGH的面积不可能为1cm2．
【名师指导】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练正确正方形的性质是解题的关键．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
P
Q
A
B
C
Q
P
R
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
