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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因为 ( http: / / www.21cnjy.com )在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练3：正反比例函数
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一站式知识梳理
【知识点1】函数的概念
1、函数的定义域和函数值
（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
例1 （试卷选择题第1题）在下列函数中，与函数表示同一函数的是（ ）
【标准答案】
【解析】函数解析式不同；定义域不同；定义域不同；，故正确；
例2 求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【标准答案】（1）且；（2）；（3）且；（4）且．
【解析】函数定义域要注意分母不为0；被开方数非负；中底数不为0等情况．
【试一试】（试卷填空题第3题）函数的自变量的取值范围是 .
【标准答案】 且
【解析】解得：且
【知识点2】正比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是，或表示为，k是不等于零的常数．21cnjy.com
2、解析式形如（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．【来源：21·世纪·教育·网】
3、一般地，正比例函数（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线．【版权所有：21教育】
4、正比例函数图像的性质：
（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增大．
（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y值反而逐渐减小．
例3（试卷填空题第11题） 已知正 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数的自变量减少4时，相对应的函数值增加3，则此正比例函数的解析式为 .21教育名师原创作品
【标准答案】
【解析】设此函数解析式为(是常数， )，，可得：；
例4 m取何值时，y关于x的函数是正比例函数．
【标准答案】或0．
【解析】①当，即时，函数解析式为：，是正比例函数；
②当，即时，函数解析式为：，是正比例函数，
综上，当的值为或0时，函数是正比例函数．
例5 已知函数的值随x的增大而减小，且函数的值随着x的增大而增大，求m的取值范围．
【标准答案】．
【解析】由正比例函数的性质可得：，解得：．
例6 已知一正比例函数图像上的一点的纵坐标是3，作轴，垂足为点，三角形的面积是12，求此正比例函数的解析式．
【标准答案】．
【解析】因为轴，垂足为点，所以 长度就是点的横坐标的绝对值，
由三角形面积可得：=，所以．
所以此正比例函数的解析式为：．
例7 如图，在直角坐标系中，，，直线与线段相交于点，
（1） 若直线将的面积等分，求直线的解析式；
（2）若点是直线与线段的交点，是否存在点，使与中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）；（2）或者．
【解析】（1）三角形的面积为：=24，设点坐标为（x， y），
，可得=3，y=4．
因为点在第二象限，所以坐标为（-3，4），
所以．
（2）第一种情况：当的面积是面积的三倍时，
，，可得点的坐标为（，6），
，所以；
第二种情况，当的面积是的面积的三倍时，
，，可得点的坐标为（，2），
所以，所以．
【知识点3】反比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是，或表示为，其中k是不等于零的常数．21·cn·jy·com
2、解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例
系数．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．
3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．2·1·c·n·j·y
4、反比例函数图像的性质：
（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；【出处：21教育名师】
（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；
（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．
例8 （试卷选择题第1题）当 时，函数是反比例函数
【标准答案】
【解析】解得：
【试一试】（1）如果是反比例函数，则的值是_________；
（2）已知函数是反比例函数，则_________.
【标准答案】（1）0；（2）．
【解析】（1）由题意可得，解得：；
（2）由题意可得，解得：．
例9 当_______时函数是反比例函数，且当时，y值随x的值增大而减小．
【标准答案】3．
【解析】函数是反比例函数，可得，解得：，；因为当时，
y值随x值增大而减小，可知，即得：．
【试一试】已知反比例函数的图像上两点、，且当时，，则的取值范围是 .
【标准答案】
【解析】由，可得：解得：
例10 下列函数的图像上有三点、B 、C ，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【解析】由恒成立，可知在每个象限内y随着x的增大而增大，由，
可知，由，得：，则有，故选D．
例11 如图，x轴上一点C的坐标是．点P从原点出发，沿y轴向上运动，过点P作x轴的平行线，分别与反比例函数的图像交于点A、B，在点P从下向上移动过程中，三角形ABC的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．保持不变 D．先增大，到一定程度后减小
【标准答案】C
【解析】联结，由轴，可知，
则有，
即可计算得其面积为，面积保持不变，故选C．
例12 如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形ABCD的面积．
【标准答案】2．
【解析】设，则，由此可得：， ，则有．
例13 过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD，如图所示．
（1） 已知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；
（2）若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式 如果能，请予求出；如果不能，说明理由．
【标准答案】（1）；（2）无法确定．
【解析】（1）设，因为过原点直线与反比例函数两交点
关于原点中心对称，可得：，
由此可得，得：，
即双曲线解析式为；
（2）同（1）可得，，由于一个方程含有两个未知数，因此的值无法确定，故反比例函数解析式也无法确定．www.21-cn-jy.com
例14 （试卷解答题第1题）已知函数与成正比例，与成反比例，当时，，当时，，求与的函数关系。
【标准答案】
【解析】与成正比例，设，与成反比例，，由题意得：解得：故与的函数关系式为：
【试一试】已知，其中与成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当时，y的值．
【标准答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，，则有，
根据题意则有，解得：，则；
（2）令，则有．
例15 在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数和正反比例函数的图像相交于、两点，点在x轴的负半轴上，且与原点的距离是4，
（1）求、两点的坐标；
（2）求△APQ的面积．
【标准答案】（1），或，；（2）．
【解析】（1）令，即，解得：，，对应值分别为和
，即得P、Q两点坐标分别为和或和；
（2）点A在x轴负半轴，且与原点距离为4，可得，则有，直线过 原
点，即可得：．
例16 如图，正比例函数（k>0）与反比例函数的图像交于、两点，过点作轴的垂线交轴于，连接．若的面积是，试指出是否为定值 若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．21·世纪*教育网
【标准答案】1．
【解析】设点，则有，
正比例函数和反比例函数两交点关于原点中心对
称，由此可得，故．
例 17 已知：在矩形中，，，分别以，所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点．www-2-1-cnjy-com
（1）求出满足题意的的取值范围；
（2）记，求关于的函数解析式；
（3）是否存在这样的实数，使和面积相等？
若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【标准答案】（1）；（2）；（3）不存在．
【解析】（1）因为反比例函数上一点是上一动点，又，可得：，
即得；
（2）由点E、F在反比例函数图像上，得：，
又，，则，，
由此可得：，
由此可得：
；
（3）若，则有，解得：，，
不在题目相应取值范围之内，即不存在这样的实数．
一站式专练
一、单选题
1．小苏和小林在如图所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次
D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程
【标准答案】D
【思路点拨】
通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．
【精准解析】
解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；
小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误；
根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确；
故选：D．
【名师指导】
本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
2．如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路点拨】
首先根据题意设出B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），然后求出y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，分别表示出S1，S2，S3，Sn的面积，最后求和即可．
【精准解析】
解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（ ﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故选：C．
【名师指导】
此题考查了反比例函数和几何综合题的规律问题，解题的关键是根据题意求出y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝．
3．函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）
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A．x1≠0，x2≠0 B．y1，y2
C．若y1＝y2，则|x1|＝|x2| D．若y1＜y2，则x1＜x2
【标准答案】D
【思路点拨】
根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．
【精准解析】
解：由图象可知，x≠0，
∴，，故选项A正确；
∵x≠0，
∴x2＞0，
∴＞0，
∴，
，，故选项B正确；
函数的图象关于轴对称，
∴若，则，故选项C正确；
根据函数的增减性可得：当时，若，则；当时，若，则，故选项D错误，
故选：D．
【名师指导】
本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
4．关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．它的图象分布在第一、四象限 B．它的图象过点(3，-2)
C．当＜0时，的值随的增大而增大 D．它的图像是轴对称图形，有一条对称轴
【标准答案】C
【思路点拨】
反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；根据这个性质选择则可．
【精准解析】
解：反比例函数中，
该函数图象位于二、四象限，故选项不符合题意；
当时，，即它的图象过点，故选项不符合题意；
当时，的值随的增大而增大，故选项符合题意；
它的图象是中心对称图形，关于原点对称，故选项不符合题意；
故选：C．
【名师指导】
本题考查了反比例函数图象的性质：解题的关键是掌握：①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
5．如图，过轴正半轴上的任意一点P，作轴的平行线，分别与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
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A． B． C．6 D．9
【标准答案】B
【思路点拨】
由直线AB与y轴平行，可得△ABC的面积等于△AOB的面积等于△OBP和△OAP的面积之和，再根据过反比例函数上任一点向坐标轴作垂线，该点、坐标轴的交点与原点之间形成的三角形面积等于即可得解．
【精准解析】
解：如下图，连接OB，OA，
由题意可知直线AB与y轴平行，
∴,
又∵B、A分别为反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象上两点，
∴，
∴，
故选：B．
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【名师指导】
本题考查反比例函数与图形面积．理解过反比例函数上任一点向坐标轴作垂线，该点、坐标轴的交点与原点之间形成的三角形面积等于是解题关键．2-1-c-n-j-y
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数（，）的图象过点，且交线段上点，连接，．若，则的值为______．21*cnjy*com
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【标准答案】
【思路点拨】
过点C作CE⊥x轴于E，设A（m，0），B（m，m），且m>0，得到，推出，再由，求出，=6，利用梯形面积公式求出，由此得到答案．
【精准解析】
解：过点C作CE⊥x轴于E，
∵，，的边在轴正半轴上，
∴设A（m，0），B（m，m），且m>0，
∴=m，
∵点为斜边的中点，
∴，
∴OE=CE=，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∴，
∵，点D在线段AB上，
∴点D的横坐标为m，
∵反比例函数的图象过点D，
∴当x=m时，，
∴，
∴AD=，AE=AO-OE=m-=，
∴，，
∴，
又∵=6，
∴=6，
∴，
∴，
解得，
∴=8，
故答案为：8．
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【名师指导】
此题考查待定系数法求反比例函数的解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键．
7．在函数中，自变量x的取值范围是______．
【标准答案】
【思路点拨】
根据分母不为零和二次根式的非负性计算即可；
【精准解析】
根据题意可得：且，
∴；
故答案是：．
【名师指导】
本题主要考查了函数自变量取值范围，准确计算是解题的关键．
8．小亮从学校步行回家，图中 ( http: / / www.21cnjy.com )的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ___．
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【标准答案】①④
【思路点拨】
由图象可以直接得出前12 ( http: / / www.21cnjy.com )分钟小亮的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小亮又返回学校，可以判断②错误；分别求出小亮第15分和第24分离家距离可以判断③错误；求出小亮33分离家距离，可以判断④正确．
【精准解析】
解：由图象知，前12分中的平均速度为：（1800 960）÷12＝70（米/分），
故①正确；
由图象知，小亮第19分中又返回学校，
故②错误；
小亮在返回学校时的速度为：（1800 960）÷（19 12）＝840÷7＝120（米/分），
∴第15分离家距离：960＋（15 12）×120＝1320，
从21分到41分小亮的速度为：1800÷（41 21）＝1800÷20＝90（米/分），
∴第24分离家距离：1800 （24 21）×90＝1800 270＝1530（米），
∵1320≠1530，
故③错误；
小亮在33分离家距离：1800 （33 21）×90＝1800 1080＝720（米），
故④正确，
故答案为：①④．
【名师指导】
本题考查函数图像，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．
9．如图，RtΔOAB的直角顶点B在x轴上，双曲线（k<0）经过OA的中点D，且与边AB相交于点C．若点A的坐标为（－6，4），则点C的坐标是_______．
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【标准答案】（ -6，1）
【思路点拨】
直接根据点D是OA的中点即可求出D点坐标,即可求出反比例函数的解析式，继而得到点C的坐标;
【精准解析】
解：（1）∵D是OA的中点，点A的坐标为（-6，4），
∴D的坐标为（，）=（-3，2），
∵D（-3，2）在反比例函数的图象上，
∴k=（-3）×2=-6，
故反比例函数解析式为：，
依题意设点C的坐标为（-6，y），代入反比例函数解析式得：y=1，
点C的坐标为（ -6，1）
故答案为：（ -6，1）
【名师指导】
本题考查的是反比例函数综合题，熟知中点坐标公式求出点D的坐标是解答此题的关键．
10．函数和在第一象限内的图像如图，点P是的图像上一动点，轴于点C，交的图像于点A，轴于点D，交的图像于点B．给出如下结论：①与的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是______．21*cnjy*com
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【标准答案】①③④
【思路点拨】
由于A、B是反比函数y上的点，可得出S△OBD＝S△OAC故①正确；只有当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【精准解析】
解：∵A、B是反比函数y上的点，
∴S△OBD＝S△OAC，故①正确；
设点P 则点A，点B
∴PA= ，PB= ；
∴只有当P的横纵坐标相等且为2时PA＝PB，故②错误；
∵P是反比例函数y上的点，
∴S矩形PDOC＝4，
∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC＝43，故③正确；
连接OP，
∵4，
∴ACPC，PAPC，
∴3，
∴，故④正确．
故答案为：①③④
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【名师指导】
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
三、解答题
11．阅读材料，用配方法求最值．
已知a，b为非负实数，∵0，
∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求的最小值；
解：，当，即x＝2时，y的最小值为5．
（1）若m＞0，的最小值为 ；
（2）探究：当x＞0时，求的最小值；
（3）如图，已知P为双曲线（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标．
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【标准答案】（1）；（2）5；（3）最小值为21，A(0，2)，B(－3，0)
【思路点拨】
（1）由阅读材料即可求得最小值；
（2）变形得：，则由阅读材料可求得最小值；
（3）设，其中x<0，则可把四边形ABCD的面积用x的代数式表示出来，然后可用阅读材料中的求最小值的方法求得最小值，同时求得两点的坐标．
【精准解析】
（1）
当，即时，有最小值；
故答案为：；
（2）∵
∴当，即x=1时，的最小值为5；
（3）设，其中x<0
∵PB⊥x轴，PA⊥y轴
∴OB=-x，
∵C（0，﹣4），D（6，0）
∴，OC=4
∴
当，即时，有最小值21
此时点P的坐标为(－3，2)
所以点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(-3，0)
【名师指导】
本题是一则材料题，根据提供的材料来解答，考查了配方法的应用，反比例函数的图象与性质，求图形的面积，关键是读懂题目提供的材料，并能灵活运用．21世纪教育网版权所有
12．如图①，在矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→ A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒lcm，点Q的速度为每秒2cm， a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒lcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm）与x（秒）的函数关系图象．21教育网
（1）根据图象得a= ；b= ；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还 ( http: / / www.21cnjy.com )剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式，井写出自变量取值范围．
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【标准答案】（1）a=6；b=2；（2）y1=2x-6（6≤x≤17），y2=22-x（6≤x≤22）
【思路点拨】
（1）先判断出P改变速度时是 ( http: / / www.21cnjy.com )在AB上运动，由此即可求出改变速度的时间和位置，从而求出a，再根据在第8秒P的面积判断出此时P运动到B点，即可求出b；
（2）根据P和Q的总路程都是CD+BC+AB=28cm，然后根据题意进行求解即可．
【精准解析】
解：（1）∵当P在线段AB上运动时，，
∴当P在线段AB上运动时，△APD的面积一直增大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，
∴当P在线段AB上运动时，△APD的面积的最大值即为P运动到B点时，此时，
由函数图像可知，当P改变速度时，此时P还在AB上运动，
∴，即，
解得，
∴，
∴
又由函数图像可知当P改变速度之后，在第8秒面积达到40cm2，即此时P到底B点
∴，
∴，
故答案为：6，2；
（2）由（1）得再第6秒开始改变速度，
∴改变速度时，P行走的路程为6cm，Q行走的路程为12cm，
∵Q和P的总路程都为CD+BC+AB=28cm，
∴，
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【名师指导】
本题主要考查了从函数图像上获取信息，解题的关键在于能够准确根据函数图像判断出P点在改变速度时是在AB上运动．
13．已知点（﹣2，3）在反比例函数y的图象上．
（1）求k的值；
（2）已知a＞0，且a≠1，A（a，y1）与B（a﹣1，y2）两点都在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
【标准答案】（1）-6；（2）当时，；当时，
【思路点拨】
（1）把（﹣2，3）代入函数解析式即可求解；
（2）根据反比例函数图像的性质即可解答．
【精准解析】
解：(1) ∵点(-2，3)在反比例函数的图象上，
∴.
(2) ∵反比例函数为，其图象在二、四象限内，且在每一象限内y随x的增大而增大，
又，
∴①当时，有，
此时点在第四象限的图象上，，
点 在第二象限的图象上，，
则，
②当时，有
∴.
【名师指导】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．解题关键是掌握反比例函数图象的性质．
14．已知：函数且y是x的是正比例函数，5a＋4的立方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b＋c的平方根．
【标准答案】（1）；（2）
【思路点拨】
（1）利用正比例函数的定义可得可求解 由5a＋4的立方根是4，可得 解方程可得 由c是的整数部分，而可求解；
（2）先求解2a﹣b＋c，再利用平方根的含义可得答案.
【精准解析】
解：（1） 函数且y是x的是正比例函数，
由可得
由 可得
所以
5a＋4的立方根是4，
c是的整数部分，而
（2） ，
2a﹣b＋c
而25的平方根是
所以2a﹣b＋c的平方根是
【名师指导】
本题考查的是正比例函数的定义，立方根的含义，平方根的含义，无理数的整数部分，熟悉以上基础知识是解题的关键.
15．在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5．
（1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式；
（2）联结AB、AO、BO，求S△OAB．
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【标准答案】（1），，；（2）
【思路点拨】
（1）将点A（m，6），B（n，1）代入反比例函数，得到的关系，再根据得到，求解即可；
（2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，为正方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．
【精准解析】
解：（1）点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝
∴，，化简得
由题意可得，，则
∴，解得，
，即反比例函数解析式为
故答案为，，
（2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，如下图：
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由题意可得：，
∴
故答案为
【名师指导】
此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
A
B
C
O
P
x
y
A
B
C
D
E
O
x
y
y
A
B
C
D
O
x
A
B
C
D
O
x
y
x
A
B
C
O
y
E
F
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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号，因为在这 ( http: / / www.21cnjy.com )一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练3：正反比例函数
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一站式知识梳理
【知识点1】函数的概念
1、函数的定义域和函数值
（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
例1 （试卷选择题第1题）在下列函数中，与函数表示同一函数的是（ ）
例2 求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【试一试】函数的自变量的取值范围是 .
【知识点2】正比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是，或表示为，k是不等于零的常数．21cnjy.com
2、解析式形如（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．21*cnjy*com
3、一般地，正比例函数（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线．【来源：21cnj*y.co*m】
4、正比例函数图像的性质：
（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增大．
（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y值反而逐渐减小．
例3（试卷填空题第11题） 已知正比 ( http: / / www.21cnjy.com )例函数的自变量减少4时，相对应的函数值增加3，则此正比例函数的解析式为 .【版权所有：21教育】
例4 m取何值时，y关于x的函数是正比例函数．
例5 已知函数的值随x的增大而减小，且函数的值随着x的增大而增大，求m的取值范围．
例6 已知一正比例函数图像上的一点的纵坐标是3，作轴，垂足为点，三角形的面积是12，求此正比例函数的解析式．21*cnjy*com
例7 如图，在直角坐标系中，，，直线与线段相交于点，
（1） 若直线将的面积等分，求直线的解析式；
（2）若点是直线与线段的交点，是否存在点，使与中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【知识点3】反比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是，或表示为，其中k是不等于零的常数．【来源：21·世纪·教育·网】
2、解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例
系数．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．
3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．21·世纪*教育网
4、反比例函数图像的性质：
（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；21教育名师原创作品
（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；
（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．
例8 当 时，函数是反比例函数
【试一试】（1）如果是反比例函数，则的值是_________；
（2）已知函数是反比例函数，则_________.
例9 当_______时函数是反比例函数，且当时，y值随x的值增大而减小．
【试一试】已知反比例函数的图像上两点、，且当时，，则的取值范围是 .
例10 下列函数的图像上有三点、B 、C ，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例11 如图，x轴上一点C的坐标是．点P从原点出发，沿y轴向上运动，过点P作x轴的平行线，分别与反比例函数的图像交于点A、B，在点P从下向上移动过程中，三角形ABC的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．保持不变 D．先增大，到一定程度后减小
例12 如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形ABCD的面积．2-1-c-n-j-y
例13 过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD，如图所示．
（1） 已知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式；
（2）若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式 如果能，请予求出；如果不能，说明理由．
例14 已知函数与成正比例，与成反比例，当时，，当时，，求与的函数关系。
【试一试】已知，其中与成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当时，y的值．
例15 在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数和正反比例函数的图像相交于、两点，点在x轴的负半轴上，且与原点的距离是4，
（1）求、两点的坐标；
（2）求△APQ的面积．
例16 如图，正比例函数（k>0）与反比例函数的图像交于、两点，过点作轴的垂线交轴于，连接．若的面积是，试指出是否为定值 若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．21·cn·jy·com
例 17 已知：在矩形中，，，分别以，所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点．21世纪教育网版权所有
（1）求出满足题意的的取值范围；
（2）记，求关于的函数解析式；
（3）是否存在这样的实数，使和面积相等？
若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
一站式专练
一、单选题
1．小苏和小林在如图所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次
D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程
2．如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
3．函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）
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A．x1≠0，x2≠0 B．y1，y2
C．若y1＝y2，则|x1|＝|x2| D．若y1＜y2，则x1＜x2
4．关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．它的图象分布在第一、四象限 B．它的图象过点(3，-2)
C．当＜0时，的值随的增大而增大 D．它的图像是轴对称图形，有一条对称轴
5．如图，过轴正半轴上的任意一点P，作轴的平行线，分别与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
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A． B． C．6 D．9
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数（，）的图象过点，且交线段上点，连接，．若，则的值为______．
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7．在函数中，自变量x的取值范围是______．
8．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了 ( http: / / www.21cnjy.com )小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ___．
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9．如图，RtΔOAB的直角顶点B在x轴上，双曲线（k<0）经过OA的中点D，且与边AB相交于点C．若点A的坐标为（－6，4），则点C的坐标是_______．
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10．函数和在第一象限内的图像如图，点P是的图像上一动点，轴于点C，交的图像于点A，轴于点D，交的图像于点B．给出如下结论：①与的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是______．2·1·c·n·j·y
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三、解答题
11．阅读材料，用配方法求最值．
已知a，b为非负实数，∵0，
∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求的最小值；
解：，当，即x＝2时，y的最小值为5．
（1）若m＞0，的最小值为 ；
（2）探究：当x＞0时，求的最小值；
（3）如图，已知P为双曲线（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标．
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12．如图①，在矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→ A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒lcm，点Q的速度为每秒2cm， a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒lcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm）与x（秒）的函数关系图象．【出处：21教育名师】
（1）根据图象得a= ；b= ；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还 ( http: / / www.21cnjy.com )剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式，井写出自变量取值范围．
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13．已知点（﹣2，3）在反比例函数y的图象上．
（1）求k的值；
（2）已知a＞0，且a≠1，A（a，y1）与B（a﹣1，y2）两点都在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
14．已知：函数且y是x的是正比例函数，5a＋4的立方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b＋c的平方根．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5．21教育网
（1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式；
（2）联结AB、AO、BO，求S△OAB．
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A
B
C
O
P
x
y
A
B
C
D
E
O
x
y
y
A
B
C
D
O
x
A
B
C
D
O
x
y
x
A
B
C
O
y
E
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