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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称 ( http: / / www.21cnjy.com )号，因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练4：几何证明
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例题精讲知识梳理
【例题1】（1）△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=________；
（2）△ABC中，AB=AC，AB上的高CD=AB，则顶角∠BAC=_______．
【例题2】已知：如图，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB＝45°，点P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP＝2，则△PMN的周长＝___．21教育网
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【例题3】如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．
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【例题4】在中，三边长分别为，，，则最大边上的高长是 ．
【例题5】点到轴的距离与它到点的距离都等于13，求点的坐标．
【例题6】如图，已知：R△ABC中，∠ACB是直角，BC=15，AB比AC大9，CD⊥AB于点D，求CD的长．21·cn·jy·com
【例题7】已知已直角三角形的周长为，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．
【例题8】如图，直线MN是沿南北方向的一条 ( http: / / www.21cnjy.com )公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C，朝正北方向走了400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路，
请你求出这条小路的长（结果保留根号）．
【例题9】如图，公路MN和公里PQ在点P处 ( http: / / www.21cnjy.com )交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响 请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒 【来源：21·世纪·教育·网】
【例题10】已知：如图，在中，，是的中线，在的反向延长线上，且，求证：．
即：．
【例题11】已知：在中，，是的中点，,延长线交于，求证：.
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【例12】如图1，在梯形中，，是中点。
（1）在图1中，当时，求梯形的面积；
（2）在图1中，当时，求边的长；
（3）在图2中，设，的面积是，求关于的函数解析式。
【课堂练习】
1.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC进行翻折，点D落在E处，求出重叠部分△AFC的面积．2·1·c·n·j·y
2.如图，已知点是的边上的一点，过点D作,,为垂足，且，过点D作，交于.
（1）求证：;
（2）求证：垂直平分.
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3.已知：中，将绕点B按顺时针方向旋转
（1）当C转到AB边上点位置时，转到，（如图1所示）直线和相交于点，试判断线段和线段之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将旋转至三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角的度数.
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图1 图2
一站式专练
一、单选题
1．如图有一个圆柱，它的高等于1 ( http: / / www.21cnjy.com )2cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．2cm B．2cm C．10cm D．13cm
2．如图所示，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，S四边形BAHE=27，则四边形的面积为（ ）21cnjy.com
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A．9 B．10 C．11 D．12
3．已知等腰中，于点D，且，则底角的度数为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
4．如图，在△ABC中，PB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③AB＋AQ＝2AR中（ ）www.21-cn-jy.com
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A．全部正确 B．仅①和③正确 C．仅①正确 D．仅①和②正确
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（ ）
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A．等腰三角形 B．任意三角形
C．直角三角形 D．无法确定
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝12 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 ___．
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7．如图，在中，，是的中点，，交的延长线于点．若，，则的长为_________．www-2-1-cnjy-com
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8．如图所示，在等腰直角 ABC中，点D为AC的中点，DF，DE交AB于E，DF交BC于F，若AE=，EF=4，则FC的长是____________．2-1-c-n-j-y
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三、解答题
9．如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．21*cnjy*com
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．【来源：21cnj*y.co*m】
①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．
②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，如果△BMN≌△CMD，此时点N的运动速度为多少．
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10．如图，在△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，D在BC上，且DM丄DN．
（1）若DM丄AB，DN丄AC，D为BC的中点，求证：AD平分∠BAC．
（2）若BD=CD，求证：MN＜BM＋CN．
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11．如图，等边△ABC中，A，B关于y轴对称，AD⊥AC交y轴负半轴于点D，C（0，6）．
（1）如图1，求D点坐标；
（2）如图2，E为x轴负半轴上任一点，以CE为边作等边△CEF，FA的延长线交y轴于点G，求OG的长；【版权所有：21教育】
（3）如图3，在（1）的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )以D为顶点作60°的角，它的两边分别与CA、BC交于点MN，连接MN．探究线段AM、MN、NB之间的关系，并予以证明．
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12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．21教育名师原创作品
（1）证明：BM＝CN．
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 ．
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13．（了解概念）如图1，已知，为直线同侧的两点，点为直线的一点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”．
（理解运用）
（1）如图2，在中，为上一点，且与点关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点，关于直线的“等角点”，并说明理由；
（拓展提升）
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是射线上一点，且点，关于直线的“等角点”为点，请利用尺规在图2中确定点的位置，并求出的度数；21·世纪*教育网
（3）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为，直线垂直平分边，点为点，关于直线的“等角点”，连接，，当时，的值为______．【出处：21教育名师】
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A
B
C
D
A
B
C
MM
N
DM
EM
A
P
Q
M
N
B
A
B
C
D
E
F
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者的话：
在上海，八年级素有“小初三”的称号， ( http: / / www.21cnjy.com )因为在这一年当中所学的知识在整个初中占比很重，知识难度分层及学生拉开差距也在此时体现明显，本工作室特结合上海本地应试学情，结合近三年的期末数学试卷考察方向，制作本专辑，让教师和学生快速上手，直达知识要点，在宝贵的复习阶段提高复习效率。如有不妥之处，望诸君批评指正，谢谢。
知识讲练4：几何证明
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例题精讲知识梳理
【例题1】（1）△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=________；
（2）△ABC中，AB=AC，AB上的高CD=AB，则顶角∠BAC=_______．
【标准答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）在中，，则；
（2）要分两种情况考虑，△可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形；
当△是锐角三角形时，；
当△是钝角三角形时，．
【例题2】已知：如图，∠AOB＝45°，点 ( http: / / www.21cnjy.com )P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP＝2，则△PMN的周长＝___．21教育网
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【标准答案】
【思路点拨】
连结OP1，OP2，点P关于OB，OA的对称点P1，P2，对称OP1=OP2=OP=2，∠P1OB=∠POB，∠P2OA=∠POA，NP1=NP，MP2=MP，由∠BOA=45°，可得∠P1OP2==90°，在Rt△P1OP2中，根据勾股定理P1P2=,可求△PMN的周长=NP+MP+NM=P1N+MN+P2M=P1P2=即可．【出处：21教育名师】
【精准解析】
解：连结OP1，OP2，
∵点P关于OB，OA的对称点P1，P2，
∴OP1=OP2=OP=2，∠P1OB=∠POB，∠P2OA=∠POA，NP1=NP，MP2=MP，
∵∠BOA=45°，
∴∠POB+∠POA=45°，
∴∠P1OP2=∠P1OB+∠POB+∠POA+∠P2OA=2∠POB+2∠POA=2（∠POB+∠POA）=90°，
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在Rt△P1OP2中，根据勾股定理P1P2=,
∴△PMN的周长=NP+MP+NM=P1N+MN+P2M=P1P2=，
故答案为．
【名师指导】
本题考查轴对称性质，勾股定理，三角形周长，掌握轴对称性质，勾股定理，三角形周长是解题关键．
【例题3】如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．
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【标准答案】
【思路点拨】
由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案.
【精准解析】
解：如图，连接EC．
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∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=EC，
∵点D从点A运动到点H，
∴点E的运动路径的长为，
当重合，而（即）为等边三角形，
故答案为：．
【名师指导】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21·cn·jy·com
【例题4】在中，三边长分别为，，，则最大边上的高长是 ．
【标准答案】
【例题5】点到轴的距离与它到点的距离都等于13，求点的坐标．
【标准答案】或
【解析】设坐标为
解得
所以点的坐标为或
【例题6】如图，已知：R△ABC中，∠ACB是直角，BC=15，AB比AC大9，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【标准答案】．
【解析】设，
∵，∴，解得：
∴由等面积法可知：．
【例题7】已知已直角三角形的周长为，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．
【标准答案】．
【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．
∵直角三角形的周长为，∴两直角边之和为．
∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，
∴设两直角边分别为，则有，解得：，
∴直角三角形的面积为．
【例题8】如图，直线MN是沿南 ( http: / / www.21cnjy.com )北方向的一条公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C，朝正北方向走了400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路，
请你求出这条小路的长（结果保留根号）．
答案】．
【解析】根据垂线段最短，过C作垂线的垂线段是最短的．
过C作CD⊥MN，垂足为D，过B作BE⊥AC，垂足为E．
由题意可知：，，∴．
在Rt△ABE中，，，∴．
∴由勾股定理可得：
在Rt△CBE中，，，∴
∴
在Rt△ACD中，，，
∴．
【例题9】如图，公路MN和公里PQ在点P处 ( http: / / www.21cnjy.com )交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响 请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒
答案】24秒．
【解析】过A做AB⊥MN，垂足为B．
在Rt△ABP中，∠QPN=30°，，
∴
∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．
假设在C处开始受到噪音影响，在D处开始不受影响，
∴
由勾股定理可得：
∴受影响的路程为120米=0.12千米
∴学校受影响的时间为．
【例题10】已知：如图，在中，，是的中线，在的反向延长线上，且，求证：．
【标准答案】略．
【解析】证明：延长至点，使得，联结，
，
，
，
，
，
，
，
即：．
【例题11】已知：在中，，是的中点，,延长线交于，求证：.
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【解析】证明：过作 交延长线于点
，
，
是的中点
，
【例12】如图1，在梯形中，，是中点。
（1）在图1中，当时，求梯形的面积；
（2）在图1中，当时，求边的长；
（3）在图2中，设，的面积是，求关于的函数解析式。
【标准答案】（1）；（2）2（3）
解：
（1）过点分别作上的高线，垂足分别是，则
在梯形中，
又
（2）在梯形中，
又
是中点
（3）如图，过点分别作上的高线，垂足分别是，过点分别作，交于点，交于点，则
由（1）知，
则
是中点
即
即
【课堂练习】
1.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC进行翻折，点D落在E处，求出重叠部分△AFC的面积．21·世纪*教育网
【标准答案】10．
【解析】∵，，
∴，∴
设，则
∵，∴，解得：
∴
2.如图，已知点是的边上的一点，过点D作,,为垂足，且，过点D作，交于.
（1）求证：;
（2）求证：垂直平分.
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【标准答案】（1）证明略；（2）证明略
【解析】证明：（1）联结，
，且，
，
又，
，
，
；
（2）由（1）可知，，
在与中，
，，，
，
，，
垂直平分.
3.已知：中，将绕点B按顺时针方向旋转
（1）当C转到AB边上点位置时，转到，（如图1所示）直线和相交于点，试判断线段和线段之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将旋转至三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角的度数.
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图1 图2
【标准答案】（1）；（2）成立；（3）
【解析】（1），
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
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（2）过点作，交的延长线与点，则，
由旋转可得，
，
，
，
，
，
在与中，
，
；
（3）当三点在一条直线上时，如下图所示：
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则有，
在与中，
当三点在一条直线上时，旋转角的度数为
一站式专练
一、单选题
1．如图有一个圆柱，它的高 ( http: / / www.21cnjy.com )等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．2cm B．2cm C．10cm D．13cm
【标准答案】D
【思路点拨】
要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程即可．21*cnjy*com
【精准解析】
解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，
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矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即
矩形的宽是圆柱的高12，即
厘米．
故选D
【名师指导】
本题考查的是勾股定理的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．
2．如图所示，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，S四边形BAHE=27，则四边形的面积为（ ）【版权所有：21教育】
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A．9 B．10 C．11 D．12
【标准答案】A
【思路点拨】
结合题意，根据正方形面积比，计算得，从而得；根据勾股定理性质，计算得；再根据勾股定理计算，得；结合，通过计算得；通过证明，得，结合矩形和四边形、的面积关系计算，即可得到答案．21教育名师原创作品
【精准解析】
解：∵，
∴，
∵四边形与四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形+梯形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵四边形与四边形是正方形，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴矩形四边形四边形四边形，
∴四边形矩形
故选：A．
【名师指导】
本题考查了矩形、正方形、勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．
3．已知等腰中，于点D，且，则底角的度数为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【标准答案】D
【思路点拨】
分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=BC，AB=BC，得出∠ABD=30°，从而得出底角的度数．
【精准解析】
解：如图1，当AB=AC时，
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∵，
∴CD=BD，∠ADB=90°，
∵，
∴AD=CD=BD，
∴∠B=∠BAD=45°，即底角的度数为45°；
如图2，当AB=BC时，
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∵，
∴，
∴∠B=30°，
∴∠C=∠BAC= ，即底角的度数为75°；
如图3，当AB=BC时，
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∵，
∴，
∴∠ABD=30°，
∵∠C+∠BAC=∠ABD，
∴∠C= ，即底角的度数为15°；
综上所述，底角的度数为或或．
故选：D
【名师指导】
此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
4．如图，在△ABC中，PB＝PQ， ( http: / / www.21cnjy.com )PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③AB＋AQ＝2AR中（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．全部正确 B．仅①和③正确 C．仅①正确 D．仅①和②正确
【标准答案】B
【思路点拨】
只要证明 ，推出 ，①正确；同理可证Rt△PRB≌Rt△PSQ得到QS=BR，可得到AB+AQ=AB+AS-QS=AR+RB+AR-RB=2AR，③正确；根据现有条件无法证明QP平行AR，②错误．
【精准解析】
解：在和中，
，
∴
∴ ，①正确，
∵，PR=PS，
∴Rt△PRB≌Rt△PSQ（HL），
∴QS=BR，
∴AB+AQ=AB+AS-QS=AR+RB+AR-RB=2AR，③正确；
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根据现有条件无法证明QP平行AR，②错误；
故选B．
【名师指导】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（ ）
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A．等腰三角形 B．任意三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【标准答案】C
【思路点拨】
结合题意，根据勾股定理的性质计算，分别得、，从而得；再根据勾股定理逆定理的性质分析，即可得到答案．
【精准解析】
∵AD⊥BC
∴
∴，
∵BD=9
∴
∴
∴△ABC是直角三角形
故选：C．
【名师指导】
本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理的性质，从而完成求解．
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝12，A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 ___．
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【标准答案】10
【思路点拨】
设与的交点为点，连接，先根据折叠的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，周长最小，此时，然后根据勾股定理的逆定理得出，最后设，从而可得，在中，利用勾股定理即可得．
【精准解析】
解：如图，设与的交点为点，连接，
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由折叠的性质得：，
，
周长=，
要使周长最小，只需最小，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为，此时，
又，
，
是直角三角形，，
，即，
设，则，
在中，，即，
解得，
即当周长最小时，的长为10，
故答案为：10．
【名师指导】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
7．如图，在中，，是的中点，，交的延长线于点．若，，则的长为_________．2·1·c·n·j·y
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【标准答案】
【思路点拨】
在中，勾股定理求得，根据是的中点，可得在和中，设则，求得，即的长，进而求得的长
【精准解析】
在中，，，
是的中点，
，
在中，
在中，
设
则
即
解得
故答案为：
【名师指导】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图所示，在等腰直角 ABC中，点D为AC的中点，DF，DE交AB于E，DF交BC于F，若AE=，EF=4，则FC的长是____________．
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【标准答案】2
【思路点拨】
连接BD，根据的等腰直角三角形的性质证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△BED≌△CFD得BE=CF，由等腰三角形的性质得BF=AE，再运用勾股定理可得BE的长，从而可得结论．
【精准解析】
解：连接BD
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∵D是AC中点，
∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF；
∵是等腰直角三角形，
∴AB=CB
∵BE=CF
∴
在Rt△BEF中，
∴ (负值舍去)
故答案为：2
【名师指导】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中连接BD是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
9．如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．
②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，如果△BMN≌△CMD，此时点N的运动速度为多少．
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【标准答案】（1）①全等，理由见解析；②t=秒或t=秒；（2）
【思路点拨】
（1）①根据题意得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．又∠B=∠C=60°，根据“SAS”可证明△BMN≌△CDM；
②设运动时间为t秒，分别表示出CM和BN ( http: / / www.21cnjy.com )．△BMN是直角三角形有两种情况：①∠NMB=90°；②∠BNM=90°两种情况，运用直角三角形的性质求解；
（2）由VM≠VN，可得BN≠CM，由∠B=∠C，要使△BMN≌△CMD，只能BM=CM=5，由△BMN≌△CMD，可得BN=CD=4．然后点M的运动速度求出t =(秒)即可．
【精准解析】
解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：
∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，
∴CM=2×3=6（cm），BN=2×3=6（cm），
∴BN=CM， BM=BC﹣CM=10﹣6=4（cm），
∵CD=4（cm），
∴BM=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△BMN和△CDM中，
∴△BMN≌△CDM．（SAS）．
②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当∠NMB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，
∵BN=3t，BM=10-3t，
∴3t=2×（10-3t），
∴t=（秒）；
Ⅱ．当∠BNM=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN = 90°-∠B=90°- 60°=30°．
∴BM=2BN，
∴10﹣3t=2×3t，
∴t=（秒）．
∴当t=秒或t=秒时，△BMN是直角三角形
（2）∵VM≠VN，∴BN≠CM，
又∵∠B=∠C，
要使△BMN≌△CMD，只能BM=CM=5，
∵△BMN≌△CMD，
∴BN=CD=4．
∵CM=3t=5,
∴点M的运动时间t =(秒)，
∵BN=VNt=4
∴VN= (cm/s)．
【名师指导】
此题考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，及列一元一次方程求解动点问题，运用分类讨论的思想，难度中等．21*cnjy*com
10．如图，在△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，D在BC上，且DM丄DN．
（1）若DM丄AB，DN丄AC，D为BC的中点，求证：AD平分∠BAC．
（2）若BD=CD，求证：MN＜BM＋CN．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析
【思路点拨】
（1）先求得进而得到，再证出，可得到，即可求解；
（2）延长到点，使得，连接、，通过全等三角形得到，，再根据三角形三边关系求解即可．
【精准解析】
解：（1）
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∵，，
∴
∴ ,
∴ ，
在△MBD和△NDC中，
，
∴ ，
∴ ，
在Rt△AMD和Rt△AND中，
，
∴ ，
∴ ，
∴平分
（2）延长到点，使得，连接、，如下图：
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在和中
∴
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
在中，
∴
【名师指导】
此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，涉及了三角形三边的关系，解题的关键是作合适的辅助线，构造出全等三角形．21世纪教育网版权所有
11．如图，等边△ABC中，A，B关于y轴对称，AD⊥AC交y轴负半轴于点D，C（0，6）．
（1）如图1，求D点坐标；
（2）如图2，E为x轴负半轴上任一点，以CE为边作等边△CEF，FA的延长线交y轴于点G，求OG的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，以D为 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点作60°的角，它的两边分别与CA、BC交于点MN，连接MN．探究线段AM、MN、NB之间的关系，并予以证明．
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【标准答案】（1）D（0，-2）；（2）OG=6；（3）AM+BN=MN，理由见解析
【思路点拨】
（1）先证∠ACO=30°，在Rt△ACO中由勾股定理求出AC的长，再在Rt△ACD中求出CD的长，即可求出OD的长，进一步写出点D坐标；
（2）证△FCA≌△ECB，求出∠GAO=60°，再证△CAO≌△GAO，即可得到OG=OC=6；
（3）如图3，延长MA至点H，使AH=BN，连接BD，先证△DAH≌△DBN，再证△DMH≌△DMN，即可推出AM+BN=MN．
【精准解析】
解：（1）∵△ABC为等边三角形，A，B关于y轴对称，C（0，6），
∴CO⊥AB，CO=6，
∴AO=BO，∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，
在Rt△ACO中，
设AO=x，则AC=2x，
∵AO2+CO2=AC2，
∴x2+62=（2x）2，
解得，x=2（取正值），
∴AO=2，AC=4，
∵AD⊥AC，
∴在Rt△ADC中，设AD=a，则CD=2a，
∵AD2+AC2=CD2，
∴a2+（4）2=（2a）2，
解得，a=4（取正值），
∴AD=4，CD=8，
∴OD=CD-CO=2，
∴D（0，-2）；
（2）∵△CAB和△CFE是等边三角形，
∴CA=CB，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°，
∴∠ACB+∠ECA=∠FCE+∠ECA，
即∠FCA=∠ECB，
∴△FCA≌△ECB（SAS），
∴∠FAC=∠EBC=60°，
∴∠GAO=180°-∠FAC-∠CAB=60°，
即∠GAO=∠CAO，
又∵AO=AO，∠COA=∠GOA=90°，
∴△CAO≌△GAO（ASA），
∴OG=OC=6；
（3）AM+BN=MN，理由如下：
如图3，延长MA至点H，使AH=BN，连接BD，HD，
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由（1）知，CD垂直平分AB，
∴DA=DB，∠CBD=∠CAD=90°，∠CDB=∠CDA=60°，
∴∠ADB=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠BDN=60°，
在△DAH和△DBN中，
DA=DB，∠DAH=∠DBN=90°，AH=BN，
∴△DAH≌△DBN（SAS），
∴DH=DN，∠BDN=∠ADH，
∴∠ADM+∠ADH=60°，
即∠MDH=∠MDN=60°，
又∵DH=DN，DM=DM，
∴△DMH≌△DMN（SAS），
∴MH=MN，
∴AM+AH=MN，
即AM+BN=MN．
【名师指导】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题关键是证线段的和差关系时会用截长补短的作图方法．www.21-cn-jy.com
12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM＝CN．
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 ．
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【标准答案】（1）见解析；（2）35°（3）
【思路点拨】
（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；2-1-c-n-j-y
（2）根据角平分线的性质得到DM=D ( http: / / www.21cnjy.com )N，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=40°，于是得到结论；
（3）先根据，求得，进而在中根据相等，勾股定理可得的值，进而求得4DN2﹣BC2的值．
【精准解析】
（1）证明：连接BD，DC，如图所示：
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∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴∠ADM=∠ADN，
∵∠BAC=70°，
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN，
∴∠BDC=∠MDN=110°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠EDC=∠BDC=55°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°，
∴∠DCB=35°．
（3） Rt△DMA≌Rt△DNA
设，AB＝8，AC＝4，DE＝3，
解得
即
在中
4DN2﹣BC2
故答案为：
【名师指导】
本题主要考查了全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
13．（了解概念）如图1，已知，为直线同侧的两点，点为直线的一点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”．
（理解运用）
（1）如图2，在中，为上一点，且与点关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点，关于直线的“等角点”，并说明理由；
（拓展提升）
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是射线上一点，且点，关于直线的“等角点”为点，请利用尺规在图2中确定点的位置，并求出的度数；21cnjy.com
（3）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为，直线垂直平分边，点为点，关于直线的“等角点”，连接，，当时，的值为______．
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【标准答案】（1）是，理由见解析；（2）图见解析，；（3）2．
【思路点拨】
（1）先根据对称性、线段垂直平分线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据“等角点”的定义即可得出结论；
（2）先作点关于直线的对称点，再连接，并延长交于点即为所求；先根据等腰三角形的性质可得，再根据“等角点”的定义可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（3）连接，延长交于点，过点作于点，先根据垂直平分线的性质、“等角点”的定义证出点共线，再根据三角形角平分线的性质可得平分，然后利用直角三角形的性质求解即可得．
【精准解析】
解：（1）是，理由如下：
点与点关于直线对称，
垂直平分，
．
，
，
点为点，关于直线的“等角点”；
（2）先作点关于直线的对称点，再连接，并延长交于点即为所求，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
点，关于直线，的“等角点”分别为点和点，
，
，
；
（3）如图，设直线分别交于点，连接，延长交于点，过点作于点，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
的平分线交于点，
平分，
，
，
在中，，
点为点关于直线的“等角点”，
，
，
，
直线垂直平分，
，
，
又点与点都在上，且都在点的右侧，
点与点重合，
点共线，
，
故答案为：2．
【名师指导】
本题考查了线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形角平分线的性质等知识点，较难的是题（3），利用“等角点”的定义证出点共线是解题关键．
A
B
C
D
A
B
C
MM
N
DM
EM
A
P
Q
M
N
B
A
B
C
D
E
F
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