第二章 函数 单元必刷卷
一、单选题
1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )
A.存在x∈R,使得f(x)=0
B.若a=c=0,则函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.函数,则( )
A. B. C.或2 D.2
4.有四个幂函数:①;②;③;④,某向学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:(1)为偶函数;(2)的值域为;(3)在上是增函数.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是( )
A.① B.② C.③ D.④
5.对于任意的实数x,已知函数,则的最大值是( )
A. B. C.1 D.2
6.函数的图象大致形状是( )
A.B.C.D.
7.如图是函数的图象,则下列说法不正确的是( )
A. B.的定义域为
C.的值域为 D.若,则或2
8.设函数,的定义域为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是奇函数 D.是奇函数
二、多选题
9.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,则下列不等式正确的是( )
A.f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
B.f(b)-f(-a)C.f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)
D.f(a)-f(-b)10.某工厂八年来某种产品总产量(即前年年产量之和)与时间(年)的函数关系如图,下列说法中正确的是( )
A.前三年中,总产量的增长速度越来越快
B.前三年中,总产量的增长速度越来越慢
C.前三年中,年产量逐年增加
D.第三年后,这种产品停止生产
11.若为上的奇函数,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12.有下列几个命题,其中正确的是( )
A.函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上是增函数
B.函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数
C.函数y=的单调区间是[-2,+∞)
D.已知函数g(x)=是奇函数,则f(x)=2x+3
三、填空题
13.已知函数为奇函数,且当时,,则_________.
14.函数的定义域是________.
15.设,则__________
16.已知偶函数定义在上,且在上是单调增加的.若不等式成立,则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
17.已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)当,时,函数的值域为,求,的值.
18.已知定义在上的函数是奇函数,且当时,.
(1)求函数在上的解析式;
(2)判断函数在上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;
(3)解不等式.
19.已知函数f(x)=x+,g(x)=ax+5-2a(a>0).
(1)判断函数f(x)在[0,1]上的单调性,并用定义加以证明;
(2)若对任意m∈[0,1],总存在m0∈[0,1],使得g(m0)=f(m)成立,求实数a的取值范围.
20.已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(2)若,求时函数的值域.
21.已知函数满足,且.
(1)求a和函数的解析式;
(2)判断在其定义域的单调性.
22.已知函数.
(1)若时,,求的值;
(2)若时,函数的定义域与值域均为,求所有值.
参考答案
1.C
【分析】
由已知结合函数的值域、奇偶性、极值即可求解.
【解析】解:由三次函数值域为R知f(x)=0有解,故A项正确;
因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c,则f(-x)+f(x)=2ax2+2c,当a=c=0时,f(-x)+f(x)=0,故B项正确;
若f(x)有极小值点,则f′(x)=0有两个不等实根x1,x2(x1则f(x)在(-∞,x1)上是增加的,在(x1,x2)上是减少的,在(x2,+∞)上是增加的,即x0=x2,故C项错误;
若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0正确,D项正确,
故选:C.
2.A
【分析】
直接由可得定义域.
【解析】要使函数有意义,则:,
解得,所有的定义域为:,
故选:A
3.D
【分析】
根据分段函数的定义求函数值.
【解析】由已知.
故选:D.
4.A
【分析】
分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在上的单调性,结合题意可得出合适的选项.
【解析】对于①,函数为偶函数,且,该函数的值域为,
函数在上为减函数,该函数在上为增函数,①满足条件;
对于②,函数为奇函数,且,该函数的值域为,
函数在上为减函数,②不满足条件;
对于③,函数的定义域为,且,该函数为奇函数,
当时,;当时,,则函数的值域为,
函数在上为增函数,该函数在上也为增函数,③不满足条件;
对于④,函数为奇函数,且函数的值域为,该函数在上为增函数,④不满足条件.
故选:A.
5.C
【分析】
根据函数解析式画出函数图象,数形结合即可判断;
【解析】解:因为,函数图象如下所示:
由函数图象可知,当时,函数取得最大值
故选:C
6.D
【分析】
利用排除法,先判断函数的奇偶性,再取特殊值即可判断
【解析】解:函数的定义域为,
因为,
所以为偶函数,所以其图像关于轴对称,所以排除A,B,
因为,所以排除C,
故选:D
7.C
【分析】
结合函数的图象和定义域,值域等性质进行判断即可.
【解析】解:由图象知正确,
函数的定义域为,正确,
函数的最小值为,即函数的值域为,,故错误,
若,则或2,故正确
故选:.
8.C
【分析】
由题可得,再根据奇偶函数的定义依次判断即可.
【解析】是奇函数,是偶函数,,
对于A,,故是奇函数,故A错误;
对于B,,故是偶函数,故B错误;
对于C,,故是奇函数,故C正确;
对于D,,故是偶函数,故D错误.
故选:C.
9.AC
【分析】
根据的单调性和奇偶性,结合题意,即可比较大小,从而判断结果.
【解析】∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴-f(-a)=f(a),g(-b)=g(b).
∵a>b>0,
∴f(a)>f(b)>f(0)=0,g(a)>g(b)>0,
且f(a)=g(a),f(b)=g(b),
f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(b)+g(a)>g(a)-g(b)=g(a)-g(-b),
∴A正确,B不正确.
又g(b)-g(-a)=g(b)-g(a)<0,
而f(a)-f(-b)=f(a)+f(b)>0,
∴C正确,D不正确.
故选:.
【点睛】
本题考查函数单调性和奇偶性的应用,属综合基础题..
10.BD
【分析】
根据函数的图象依次判断选项即可得到答案.
【解析】由题中函数图象可知,在区间上,图象是凸起上升的,
表明总产量的增长速度越来越慢,因此A错误,B正确;
由总产量增长越来越慢知,年产量逐年减少,因此C错误;
在区间上,图象是水平直线,表明总产量保持不变,即年产量为,因此D正确.
故选:BD.
【点睛】
本题主要考查函数图象的实际应用,考查学生分析问题的能力,属于简单题.
11.AB
【分析】
根据奇函数的性质依次判断选项即可得到答案.
【解析】因为为上的奇函数,所以.
对选项A,,故A正确.
对选项B,,故B正确.
对选项C,当时,,故C不正确.
对选项D,当时,分母为0,无意义,故D不正确.
故选:AB
【点睛】
本题主要考查奇函数的性质,属于简单题.
12.AD
【分析】
根据简单函数的单调性,复合函数的单调性,以及由函数奇偶性求函数解析式,即可容易判断和选择.
【解析】由y=2x2+x+1=2在上递增知,
函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上是增函数,故A正确;
y=在(-∞,-1),(-1,+∞)上均是减函数,
但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不是减函数,
如-2<0,但故B错误;
y=在上无意义,
从而在[-2,+∞)上不是单调函数,故C错误;
设x<0,则-x>0,g(-x)=-2x-3,
因为g(x)为奇函数,所以f(x)=g(x)=-g(-x)=2x+3,故D正确.
故选:.
【点睛】
本题考查函数单调区间的求解,复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式,属中档题.
13.
【分析】
根据函数为奇函数,由求解.
【解析】因为函数为奇函数,且当时,,
所以.
故答案为:-2
14.
【分析】
根据解析式,列出不等式组,进而可求出定义域.
【解析】由题意,可得,解得且,
所以函数的定义域为.
故答案为:.
【点睛】
求函数定义域,一般从以下几个方面考虑:
①分式的分母不为0;
②偶次方根,被开方数非负;
③零的零次方没有意义;
④对数的真数大于零,底数大于零且不为1.
15.
【分析】
根据自变量所在的区间,结合分段函数解析式求函数值即可.
【解析】由函数解析式,知:,
∴,即,
故答案为:
【点睛】
本题考查了分段函数,利用目标函数自变量的所在区间结合解析式求函数值,属于简单题.
16.
【分析】
由在上为单调增,结合函数的奇偶性,可得在上为单调减,将转化为,结合定义域,解不等式可得的取值范围.
【解析】偶函数在上为单调增,
在上为单调减,
等价于,解得:
实数a的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题,考查计算能力,属于中档题.
17.(1);(2),.
【分析】
(1)由偶函数的性质即可求出;
(2)判断出的单调性,根据定义域和值域列出方程即可求解.
【解析】(1)函数,则,
又由函数为偶函数,则有,即,
解得;
(2)由(1)可得,则,则函数在为增函数,
若当时,函数的值域为,
则有,即,是方程的两个不等实根,
又由且,,则有,
则,.
【点睛】
关键点睛:本题考查已知函数定义域和值域求参数,解题的关键是判断出函数的单调性,根据定义域和值域列出式子求解.
18.(1);(2)为增函数,证明见解析;(3).
【分析】
(1)根据已知区间对应的解析式,设,得到,代入已知解析式时,利用奇偶性,即可求出对应的解析式;进而可得结果;
(2)任取实数,作差比较与大小,利用函数单调性的定义,即可得出结果;
(3)根据函数奇偶性与单调性,分别讨论和两种情况,结合所给不等式,分别求解,即可得出结果.
【解析】(1)根据题意,为定义在上的奇函数,则,
设,则,则,
又由为上的奇函数,则,则;
(2)函数在上为增函数;
证明;根据题意,任取实数,
则,
由,得,且,;
则,即函数在上为增函数;
(3)由(2)知函数在上为增函数,又为定义在上的奇函数,
则在上也为增函数,
∵,,
∴当时,,,成立;
当时,,则或,解得;
所以,不等式解集为.
【点睛】
方法点睛:
用定义法判断函数在区间上单调性的一般步骤:
(1)取值:任取,且;
(2)作差:计算;
(3)定号:通过化简整理,得到的正负;
(4)得出结论:根据函数单调性的定义,得出结论.
19.(1)函数f(x)在[0,1]上单调递增,证明见解析;(2).
【分析】
(1)任取,计算并判断正负即可判断单调性;
(2)可得出f(m)∈,g(m0)∈[5-2a,5-a],由题得 [5-2a,5-a],即可建立不等式求出.
【解析】(1)函数f(x)在[0,1]上单调递增,
证明如下:设,
则
,
因为,,,
所以,即,
所以函数f(x)在[0,1]上单调递增;
(2)由(1)知,当m∈[0,1]时,f(m)∈.
因为,在[0,1]上单调递增,
所以m0∈[0,1]时,g(m0)∈[5-2a,5-a].
依题意,只需 [5-2a,5-a],
所以解得2≤a≤,
即实数a的取值范围为.
【点睛】
关键点睛:本题考查与函数相关的方程的有解性问题,解题的关键是求出和的取值范围,由的范围是范围的子集建立不等式求解.
20.(1)当时,函数在区间上是单调减函数;当时,函数在区间上是单调增函数,证明过程见解析;(2)
【分析】
(1)运用单调性的定义进行分类讨论进行判断证明即可;
(2)根据求出的值,结合(1)中的结论进行求解即可.
【解析】解:(1)当时,函数在区间上是单调减函数;当时,函数在区间上是单调增函数.
当时,证明如下:
任取,
则.
因为,
所以,得,故函数在上是单调减函数;
同理可证:当时,函数在上是单调增函数.
(2)由.
由(1)得在上是减函数,
从而函数在上也是减函数,
其最小值为,
最大值为.
由此可得,函数在上的值域为.
21.(1);;(2)在其定义域为单调增函数.
【分析】
(1)由,可得,再由,可求出的值,从而可得函数的解析式;
(2)利用函数的单调性定义进行判断即可
【解析】解:(1)由,
得,
,
得;
所以;
(2)该函数的定义域为,
令,所以,
所以
,
因为,,
所以,
所以在其定义域为单调增函数.
22.(1)2;(2),.
【分析】
(1)根据绝对值定义去掉绝对值,由化简即可得出结果;
(2)根据,,三种情况去掉绝对值,根据函数的单调性,列出方程,计算求解即可得出结果.
【解析】(1)因为,所以
所以,
所以或,
因为,所以.
(2)当时,在上单调递减,
因为函数的定义域与值域均为,
所以,两式相减得不合,舍去.
当时,在上单调递增,
因为函数的定义域与值域均为,
所以,无实数解.
当时,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
因为函数的定义域与值域均为,
所以,.综合所述,,.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性及值域问题,考查分类讨论的思想,属于中档题.