2021-2022年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第二章 函数 单元必刷卷（Word含解析）

第二章 函数 单元必刷卷
一、单选题
1．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．存在x∈R，使得f(x)=0
B．若a=c=0，则函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x0)上单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．函数，则（ ）
A． B． C．或2 D．2
4．有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．对于任意的实数x，已知函数，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
6．函数的图象大致形状是（ ）
A．B．C．D．
7．如图是函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．的定义域为
C．的值域为 D．若，则或2
8．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
二、多选题
9．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式正确的是（ ）
A．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
B．f(b)－f(－a)C．f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)
D．f(a)－f(－b)10．某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越快
B．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
C．前三年中，年产量逐年增加
D．第三年后，这种产品停止生产
11．若为上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A．函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3
三、填空题
13．已知函数为奇函数，且当时，，则_________.
14．函数的定义域是________.
15．设，则__________
16．已知偶函数定义在上，且在上是单调增加的.若不等式成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当，时，函数的值域为，求，的值.
18．已知定义在上的函数是奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）解不等式.
19．已知函数f(x)=x+，g(x)=ax+5-2a(a>0).
（1）判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；
（2）若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)=f(m)成立，求实数a的取值范围.
20．已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求时函数的值域.
21．已知函数满足，且.
（1）求a和函数的解析式；
（2）判断在其定义域的单调性.
22．已知函数．
（1）若时，，求的值；
（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．
参考答案
1．C
【分析】
由已知结合函数的值域、奇偶性、极值即可求解．
【解析】解：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，故A项正确；
因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c，则f(-x)+f(x)=2ax2+2c，当a=c=0时，f(-x)+f(x)=0，故B项正确；
若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1则f(x)在(-∞，x1)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的，在(x2，+∞)上是增加的，即x0=x2，故C项错误；
若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0正确，D项正确，
故选：C．
2．A
【分析】
直接由可得定义域.
【解析】要使函数有意义，则：，
解得，所有的定义域为：，
故选：A
3．D
【分析】
根据分段函数的定义求函数值．
【解析】由已知．
故选：D．
4．A
【分析】
分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在上的单调性，结合题意可得出合适的选项.
【解析】对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；
对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，②不满足条件；
对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，
当时，；当时，，则函数的值域为，
函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；
对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件.
故选：A.
5．C
【分析】
根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可判断；
【解析】解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知，当时，函数取得最大值
故选：C
6．D
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值即可判断
【解析】解：函数的定义域为，
因为，
所以为偶函数，所以其图像关于轴对称，所以排除A，B，
因为，所以排除C，
故选：D
7．C
【分析】
结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．
【解析】解：由图象知正确，
函数的定义域为，正确，
函数的最小值为，即函数的值域为，，故错误，
若，则或2，故正确
故选：．
8．C
【分析】
由题可得，再根据奇偶函数的定义依次判断即可.
【解析】是奇函数，是偶函数，，
对于A，，故是奇函数，故A错误；
对于B，，故是偶函数，故B错误；
对于C，，故是奇函数，故C正确；
对于D，，故是偶函数，故D错误.
故选：C.
9．AC
【分析】
根据的单调性和奇偶性，结合题意，即可比较大小，从而判断结果.
【解析】∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴－f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)．
∵a>b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，g(a)>g(b)>0，
且f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，
f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，
∴A正确，B不正确．
又g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)<0，
而f(a)－f(－b)＝f(a)＋f(b)>0，
∴C正确，D不正确．
故选：.
【点睛】
本题考查函数单调性和奇偶性的应用，属综合基础题..
10．BD
【分析】
根据函数的图象依次判断选项即可得到答案.
【解析】由题中函数图象可知，在区间上，图象是凸起上升的，
表明总产量的增长速度越来越慢，因此A错误，B正确；
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减少，因此C错误；
在区间上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查函数图象的实际应用，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
11．AB
【分析】
根据奇函数的性质依次判断选项即可得到答案.
【解析】因为为上的奇函数，所以.
对选项A，，故A正确．
对选项B，，故B正确．
对选项C，当时，，故C不正确．
对选项D，当时，分母为0，无意义，故D不正确．
故选：AB
【点睛】
本题主要考查奇函数的性质，属于简单题.
12．AD
【分析】
根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.
【解析】由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知，
函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；
y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，
但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，
如－2<0，但故B错误；
y＝在上无意义，
从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；
设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，
因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．
故选：.
【点睛】
本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题.
13．
【分析】
根据函数为奇函数，由求解．
【解析】因为函数为奇函数，且当时，，
所以．
故答案为：-2
14．
【分析】
根据解析式，列出不等式组，进而可求出定义域.
【解析】由题意，可得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】
求函数定义域，一般从以下几个方面考虑：
①分式的分母不为0；
②偶次方根，被开方数非负；
③零的零次方没有意义；
④对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
15．
【分析】
根据自变量所在的区间，结合分段函数解析式求函数值即可.
【解析】由函数解析式，知：，
∴，即，
故答案为：
【点睛】
本题考查了分段函数，利用目标函数自变量的所在区间结合解析式求函数值，属于简单题.
16．
【分析】
由在上为单调增，结合函数的奇偶性，可得在上为单调减，将转化为，结合定义域，解不等式可得的取值范围.
【解析】偶函数在上为单调增，
在上为单调减，
等价于，解得：
实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题,考查计算能力，属于中档题.
17．（1）；（2），.
【分析】
（1）由偶函数的性质即可求出；
（2）判断出的单调性，根据定义域和值域列出方程即可求解.
【解析】（1）函数，则，
又由函数为偶函数，则有，即，
解得；
（2）由（1）可得，则，则函数在为增函数，
若当时，函数的值域为，
则有，即，是方程的两个不等实根，
又由且，，则有，
则，.
【点睛】
关键点睛：本题考查已知函数定义域和值域求参数，解题的关键是判断出函数的单调性，根据定义域和值域列出式子求解.
18．（1）；（2）为增函数，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据已知区间对应的解析式，设，得到，代入已知解析式时，利用奇偶性，即可求出对应的解析式；进而可得结果；
（2）任取实数，作差比较与大小，利用函数单调性的定义，即可得出结果；
（3）根据函数奇偶性与单调性，分别讨论和两种情况，结合所给不等式，分别求解，即可得出结果.
【解析】（1）根据题意，为定义在上的奇函数，则，
设，则，则，
又由为上的奇函数，则，则；
（2）函数在上为增函数；
证明；根据题意，任取实数，
则，
由，得，且，；
则，即函数在上为增函数；
（3）由（2）知函数在上为增函数，又为定义在上的奇函数，
则在上也为增函数，
∵，，
∴当时，，，成立；
当时，，则或，解得；
所以，不等式解集为.
【点睛】
方法点睛：
用定义法判断函数在区间上单调性的一般步骤：
（1）取值：任取，且；
（2）作差：计算；
（3）定号：通过化简整理，得到的正负；
（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.
19．（1）函数f(x)在[0，1]上单调递增，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）任取，计算并判断正负即可判断单调性；
（2）可得出f(m)∈，g(m0)∈[5-2a，5-a]，由题得 [5-2a，5-a]，即可建立不等式求出.
【解析】（1）函数f(x)在[0，1]上单调递增，
证明如下：设，
则
，
因为，，，
所以，即，
所以函数f(x)在[0，1]上单调递增；
（2）由（1）知，当m∈[0，1]时，f(m)∈.
因为，在[0，1]上单调递增，
所以m0∈[0，1]时，g(m0)∈[5-2a，5-a].
依题意，只需 [5-2a，5-a]，
所以解得2≤a≤，
即实数a的取值范围为.
【点睛】
关键点睛：本题考查与函数相关的方程的有解性问题，解题的关键是求出和的取值范围，由的范围是范围的子集建立不等式求解.
20．（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数，证明过程见解析；（2）
【分析】
（1）运用单调性的定义进行分类讨论进行判断证明即可；
（2）根据求出的值，结合（1）中的结论进行求解即可.
【解析】解：（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数.
当时，证明如下：
任取，
则.
因为，
所以，得，故函数在上是单调减函数；
同理可证：当时，函数在上是单调增函数.
（2）由.
由（1）得在上是减函数，
从而函数在上也是减函数，
其最小值为，
最大值为.
由此可得，函数在上的值域为.
21．（1）；；（2）在其定义域为单调增函数.
【分析】
（1）由，可得，再由，可求出的值，从而可得函数的解析式；
（2）利用函数的单调性定义进行判断即可
【解析】解：（1）由，
得，
，
得；
所以；
（2）该函数的定义域为，
令，所以，
所以
，
因为，，
所以，
所以在其定义域为单调增函数.
22．（1）2；（2），．
【分析】
（1）根据绝对值定义去掉绝对值，由化简即可得出结果；
（2）根据，，三种情况去掉绝对值，根据函数的单调性，列出方程，计算求解即可得出结果.
【解析】（1）因为，所以
所以，
所以或，
因为，所以．
（2）当时，在上单调递减，
因为函数的定义域与值域均为，
所以，两式相减得不合，舍去．
当时，在上单调递增，
因为函数的定义域与值域均为，
所以，无实数解.
当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
因为函数的定义域与值域均为，
所以，．综合所述，，．
【点睛】
本题考查分段函数的单调性及值域问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.