2021-2022年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第七章 概率 单元必刷卷（Word含解析）

第七章 概率 单元必刷卷
一、单选题
1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是（ ）
A．①②④ B．②④
C．③④ D．①②
2．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值欣赏荷花好时节，家住重庆主城的甲、乙、丙、丁四户家庭都准备从“铜梁爱莲湖、永川十里荷香、大足雅美佳湿地”三个荷花景区选择一个欣赏荷花，则在三个荷花区都有家庭选择的条件下，家庭甲选择“永川十里荷香”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（ ）
A． B． C． D．
4．2020年是脱贫攻坚战决胜之年.凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会.为了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的5个单位对本县的3个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
6．袋内分别有红 白 黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红 黑球各一个
7．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为
A． B． C． D．
8．某同学参加数学知识竞赛，需回答3个问题，假设这名同学答对第一个问题的概率为0.8，答对第二个问题的概率为0.7，答对第三个问题的概率为0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学至少答对一道题的概率为（ ）
A．0.976 B．0.664 C．0.024 D．0.336
二、多选题
9．盒中有只螺丝钉，其中有只是坏的，现从盒中随机地抽取个，那么概率不是的事件为（ ）．
A．恰有只是坏的
B．只全是好的
C．恰有只是好的
D．至多只是坏的
10．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A．目标恰好被命中一次的概率为
B．目标恰好被命中两次的概率为
C．目标被命中的概率为
D．目标被命中的概率为
11．（多选）设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝；事件｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝；事件｛两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数｝，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B．甲的不同的选法种数为15
C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是
D．乙、丙两名同学都选物理的概率是
三、填空题
13．有两张卡片，一张的正、反面分别写着数字0，1，另一张的正反面分别写着数字2，3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数是奇数的概率为______．
14．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为___________.
15．给出下列4个说法：
①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；
②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；
③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．
其中正确的说法是________．(填序号)
16．现有8名翻译人员，其中A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人组成一个翻译小组，则B1和C1不全被选中的概率为________．
四、解答题
17．有，两个盒子，其中盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，．
（1）若从盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；
（2）若从，两盒中各取一张卡片，盒中的卡片上的函数恰好具备盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“巧合”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“巧合”的概率．
18．某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下:顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券．设事件A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”．
①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；
②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级依次对应的事件，并求相应概率．
19．甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是p1，乙射击一次中靶的概率是p2，且，是方程x2﹣5x+6＝0的两个实根，已知甲射击5次，中靶次数的方差是.
（1）求p1，p2的值；
（2）若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的概率是多少？
（3）若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目的，则完成目的概率是多少？
20．某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望；
（2）证明：；
（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.
21．为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查．现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示．
（1）求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字）；
（2）为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人全部来自高中年级的概率是多少？
22．某中学高中毕业班的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次.若考核为合格，则给予分的降分资格；若考核为优秀，则给予分的降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立.
（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量，请写出所有可能的取值，并求的值.
参考答案
1．B
【分析】
利用互斥事件与对立事件的关系即可求解.
【解析】对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，
则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；
对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；
对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；
对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．
故选：B.
【点睛】
本题考查了事件之间的关系，掌握互斥事件与对立事件的关系是解题的关键，属于基础题.
2．B
【分析】
分别算出基本事件数，进而计算相应概率即可.
【解析】解：在三个荷花区都有家庭选择的条件下，基本事件总数为，
家庭甲选择“永川十里荷香”包含的基本事件个数为.
所以家庭甲选择“永川十里荷香”的概率.
故选：B.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，分析问题能力，属于基础题.
3．C
【分析】
根据事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解.
【解析】因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，
所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，
所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=
故选：C
【点睛】
本题主要考查独立事件的概率以及并集事件的概率，属于基础题.
4．C
【分析】
先根据分类计数原理计算出基本事件的个数和甲、乙两个单位被安排在同一贫困村所包含的事件个数，再根据古典概型的概率公式求得结果即可.
【解析】5个单位对本县的3个不同的贫困村进行帮扶，分两大类：
①其中一个贫困村有3个单位，另外两个分别有1个，共有种情况.
②其中一个贫困村有1个单位，另外两个分别有2个，共有种情况.
故共有种情况.
其中甲，乙两个单位安排在同一贫村可能的情况同上分析，有种情况.
故甲、乙两个单位安排在同一贫困村的概率为.
故选：C
【点睛】
本题考查了分类计数原理，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
5．C
【分析】
先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，
设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，
则，解得人.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.
6．D
【分析】
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解
【解析】解：对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红 黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，
故选：D
【点睛】
此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题.
7．D
【分析】
利用互斥事件概率加法公式直接求解．
【解析】解：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，
则甲、乙下成平局的概率为：．
故选：D．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，属于基础题．
8．A
【分析】
记这名同学答对第一个问题为事件，答对第二个问题为事件，答对第三个问题为事件，则这名同学至少答对一道题为事件，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得结果.
【解析】记这名同学答对第一个问题为事件，答对第二个问题为事件，答对第三个问题为事件，则这名同学至少答对一道题为事件，且事件、、相互独立，
则，，，
所以
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式，属于基础题.
9．ABD
【分析】
设表示取出的螺丝钉恰有只为好的，则，、、、，由此逐一判断可得选项.
【解析】设表示取出的螺丝钉恰有只为好的，则，、、、，
对于A：恰有只是坏的概率为，
对于B：只全是好的概率为，
对于C：恰有只是好的的概率为，
对于D：至多只是坏的等价于有2只好的或3只好的，或4只好的，所以其概率为：，
故选：ABD．
10．BD
【分析】
利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正误.
【解析】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，
在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误；
在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；
在CD中，目标被命中的概率为，故C错误，D正确．
故选：BD．
11．ABD
【分析】
根据古典概型计算概率可判断A，根据独立事件的概率计算可判断B，由A、B、C三事件不能同时发生可判断C，由A中计算可知D正确.
【解析】由题意知，，
所以，故A正确；
又事件两两独立，所以,，所以，故B正确；
事件不可能同时发生，故，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD
12．BD
【分析】
根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.
【解析】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；
由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；
由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；
乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；
故选BD.
【点睛】
本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
13．
【分析】
根据题意，通过列举法列出组成的两位数的所有情况，进而得出所组成的两位数是奇数的情况，通过古典概率的概率求法即可求得结果.
【解析】解：能组成的两位数有12，13，20，30，21，31，共6个，其中奇数有13，21，31，共3个，
因此所组成的两位数为奇数的概率是．
故答案为：.
14．
【分析】
由题意根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，解方程组即可求解
【解析】由题意可知，，,
设，，则，即
所以或
解得或（舍去），
所以，
故答案为：
15．③
【分析】
对于①，由次品率为0.05，可知出现次品的概率是0.05，从而可对①进行判断；对于②，由题意可知出现正面向上的频率是；对于③，由频率的定义判断即可；对于④，由概率与频率的关系判断即可
【解析】次品率为0.05，即出现次品的概率(可能性)是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①错；
在100次具体的试验中，正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故②错；
③由频率的定义可知出现1点的频率是，所以③正确；
由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故④错．
故答案为：③
16．
【分析】
求得基本事件的总数，利用列举法求得事件所包含的基本事件的个数，求得，结合对立事件，即可求得.
【解析】由题意，选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人，共有中不同的选法，
若表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个样本点组成，
所以，所以.
故答案为：.
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）运用列举法列出从盒中任取两张卡片，所有的取法，再由函数，，的定义域均为，函数的定义域为，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概率公式可求得所求的概率．
（2）列举出从，两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，，是增函数，得出恰为“巧合”的取法，根据古典概率公式可求得所求的概率.
（1）
解：盒中的4个函数，，，分别记为1，2，3，4，
从盒中任取两张卡片，所有的取法为，，，，，，共6种，
又函数，，的定义域均为，函数的定义域为，所取函数的定义域不同的取法有，，，共3种，
所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为．
（2）
解：把盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减，
则从，两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4），（偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3），（增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4），共16种取法．
又是偶函数，是奇函数，是减函数，，是增函数，恰为“巧合”的有（偶，1），（奇，4），（减，2），（增，3），（增，4），共5种，所以“巧合”的概率为．
18．答案见解析
【分析】
投掷各面数字为到的均匀正方体两次，方法数有种，将所有情况列举出来，然后看符合题意要求的有多少种，分别求出它们的概率.
【解析】由题意知，基本事件总数为36，枚举如下：1-1，1-2，1-3，1-4，1-5，1-6，2-1，2-2，2-3，2-4，2-5，2-6，3-1，3-2，3-3，3-4，3-5，3-6，4-1，4-2，4-3，4-4，4-5，4-6，5-1，5-2，5-3，5-4，5-5，5-6，6-1，6-2，6-3，6-4，6-5，6-6．
事件共包含10个基本事件，枚举如下：1-2，2-1，2-3，3-2，3-4，4-3，4-5，5-4，5-6，6-5．
∴；
事件共包含6个基本事件，枚举如下：1-1，2-2，3-3，4-4，5-5，6-6，
∴；
事件共包含12个基本事件，枚举如下：1-3，1-5，2-4，2-6，3-1，3-3，3-5，4-2，4-6，5-1，5-3，6-2，6-4，
∴；
∴，
∴事件：“两个同点”对应一等奖，概率为；
事件：“两连号”对应二等奖，概率为；
事件：“同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为；
其余事件对应感谢奖，概率为．
19．（1）p1＝，p2＝；（2）；（3）.
【分析】
（1）甲射击5次，中靶次数k服从二项分布，根据二项分布的方差计算公式Dξ甲＝5p1（1﹣p1），即可求得p1，根据韦达定理得＝6，可求得p2的值；
（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，分两种情况讨论，共击中3次的概率，根据n次独立重复实验事件A恰好发生k的概率公式，代入即可求得结果；同理可求出击中4次的概率，这两种情况互斥，根据概率的加法公式即可求得结果；
（3）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，该事件的对立事件为“两人各射击一次，没有中靶”，利用对立事件的概率公式即可求得结果.
【解析】解：（1）由题意可知 ξ甲～B（5，p1），
∴Dξ甲＝5p1（1﹣p1）＝，
∴p12﹣p1+＝0，
解得p1＝；
又，是方程x2﹣5x+6＝0的两个实根，
∴＝6，
解得p2＝.
（2）两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的两类情况：
①共击中3次概率C22（）2×C21（）1（1﹣）1+C21（）1（）1×C22（）2＝；
②共击中4次概率C22（）2×C22（）2＝.
∴所求概率为＝.
（3）设事件A，B分别表示甲、乙能击中.
∵A，B互相独立，
∴P（ ）＝P（）P（）＝（1﹣P（A））（1﹣P（B））＝（1﹣p1）（1﹣p2）＝，
∴“两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的”的概率为：1﹣P（ ）＝.
20．（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析
【分析】
（1）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.
（2）根据题意得到，化简得到.
（3）计算得到，，得到答案.
【解析】（1）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
.
（2）由题意知，当时，棋子要到第站，有两种情况：
①由第n站跳1站得到，其概率为；
②由第站跳2站得到，其概率为
，，
，
（3）由（2）知，当棋子落到第99站游戏结束的概率为，
当棋子落到第100站游戏结束的概率为，
，最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，
游戏不公平.
【点睛】
本题考查了分布列和数学期望，数列的递推公式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．（1）；（2）
【分析】
（1）根据近视率计算近视人数，再除以总人数，即可得答案；
（2）根据分层抽样可得高中抽取2名，初中抽取3名，写出试验的所有等可能结果，再利用古典概型的概率公式计算.
【解析】（1）近视率；
（2）根据分层抽样的特点，高中取2名，初中取3名，
记高中两名为，初中3名为，
则所有等可能结果为
共10个，
记事件为“此2人全部来自高中年级”有，共1个，
.
【点睛】
本题考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，求解时注意列出所有等可能结果，再求概率.
22．（1）；（2）所有可能的取值为、、、，.
【分析】
（1）计算出三名同学考核均为合格的概率，利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）根据题意得出所有可能的取值为、、、，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出．
【解析】（1）由题意知，三名同学考核均为合格的概率为，
因此，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率为；
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有、、、，
则，，
.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．