2021-2022年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第三章 指数运算与指数函数 单元必刷卷(word含答案解析)

第三章 指数运算与指数函数 单元必刷卷
一、单选题
1．已知正整数指数函数，则（ ）
A．2 B．3 C．9 D．16
2．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若有意义，则的取值范围是（ ）
A．， B．，，
C．，， D．，，
4．设f(x)＝ex，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f()，r＝，则下列关系式中正确的是（ ）
A．q＝r＜p B．p＝r＜q
C．q＝r＞p D．p＝r＞q
5．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．函数是R上的单调减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
8．函数在上值域为（ 　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知实数a,b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．a>b>0 B．a10．已知实数a，b满足等式3a＝6b，给出下列四个关系式：①a＝b；②0＜b＜a；③a＜b＜0；④b＜0＜．其中可能成立的是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
11．设函数，且，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值0，无最大值
B．函数与直线的图像有两个不同的公共点
C．若，则
D．若，则的取值范围是
12．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A．2 B． C．3 D．
三、填空题
13．已知集合，，则=______．
14．若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
15．函数f(x)＝－1，x∈[－1,2]的值域为________.
16．已知函数，，则函数的值域为________.
四、解答题
17．已知,.
（1）求的值域；
（2）若存在,对任意都成立,求的取值范围.
18．已知二次函数满足且，
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数的单调增区间和值域．
19．已知函数．
（1）写出的定义域；
（2）判断的奇偶性；
（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围．
21．已知函数是定义域为R的奇函数.
（1）求t的值，并写出的解析式；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若函数在上的最小值为，求k的值.
22．已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之和为，记．
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）求的值．
参考答案
1．C
【分析】
由函数是指数函数可求出，即可求出.
【解析】因为函数是指数函数，所以，则，所以，，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数概念的理解，属于基础题.
2．C
【分析】
根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.
【解析】原式，
，，，
原式．
故选：C
【点睛】
本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.
3．B
【分析】
根据被开方数是非负数，以及中对的限制，列出不等式，求解即可.
【解析】由题意可知，
且．
故选：B
【点睛】
本题考查根式有意义和指数有意义求参数范围，属简单题.
4．C
【分析】
根据0＜a＜b，结合基本不等式，利用f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调性可得q与p的大小关系，再通过指数运算化简r比较即可..
【解析】∵0＜a＜b，
∴＞，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，
∴f()＞f()，即q＞p.
又r＝＝＝＝q，
故q＝r＞p.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查指数运算、指数函数的单调性的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.
5．B
【分析】
画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．
【解析】画出函数的图象如图所示．
不妨令，则，则．
结合图象可得，故．
∴．
故选：B．
【点睛】
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
6．B
【分析】
利用指数函数的单调性，只需，解不等式即可求解.
【解析】函数是R上的单调减函数，
所以，解得，
故选：B
7．D
【分析】
化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.
【解析】根据
，
是减函数，是增函数.
在上单调递减，在上单调递增
故选：D.
8．B
【解析】，
令,因为则，所以，
而的对称轴，在上单调递增，
所以当时，有最小值；当时，有最大值；
所以的值域为，
故选：B.
9．ABD
【解析】函数和的图象如图所示：
若a,b均为正数，则a>b>0；
若a,b为负数，则a若a=b=0，则.
故选：ABD
10．ABC
【解析】在同一个坐标系中画出函数y＝3x，y＝6x的图象如图所示．
由图象，可知当a＝b＝0时，3a＝6b，故①可能成立；作出直线y＝k，如图所示，当k＞1时，若3a＝6b，则0＜b＜a，故②可能成立；当0＜k＜1时，若3a＝6b，则a＜b＜0，故③可能成立．
故选:ABC．
11．AC
【解析】解：由题意画出图像.
A项，当时，，无最大值，所以A正确；
B项，与只有一个公共点，所以B错误；
C项， ，且可知，在图像中如图，，
且，，且，则，则，
所以，所以，所以C正确；
对于D，由图可知，，且，，
则可写为，
，
，
所以，
所以，
因为，所以，
所以
所以D正确，
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：此题考查指数函数的图像和性质的应用，解题的关键是准确的画出函数的图像，利用数形结合的思想解题，考查了分析能力.
12．AB
【分析】
分别讨论单调递增和单调递减两种不同的情况即可求解.
【解析】设，
当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值.所以，求得或者（舍）；
当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，最小值，所以，求得（舍）或者.
综上所述：或者.
故选：AB
【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．
【分析】
根据指数函数的单调性解不等式，可求出集合与，再根据集合的交集运算即可求出结果.
【解析】，，则．
故答案为：.
14．
【分析】
分离参数，只需可得恒成立，即，再由指数型复合函数的值域即可求解.
【解析】要使原不等式恒成立，即恒成立．
因为，其中，
所以．因此．
故答案为：
15．
【分析】
根据函数的单调性求出函数值域即可.
【解析】因为－1≤x≤2，
所以，
所以，
所以f(x)的值域为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用函数的单调性求函数的值域.
16．
【分析】
令，将函数转化为，利用单调性求其值域.
【解析】解：由已知，
有，解得
令，则，其在上单调递增，
所以，，
故函数的值域为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的值域问题，一定要注意函数的定义域，是中档题.
17．（1）（2）
【分析】
(1)根据可将写成关于的二次复合函数,再根据指数函数与二次函数的值域求解即可.
(2)由(1)可知,故存在,对任意都成立即对任意都成立,再看成关于的一次函数有,再求解二次不等式即可.
【解析】（1）,
因为,故.
故当时,取最小值4；当时,取最大值5.
故的值域为.
（2）由存在,对任意都成立
故,即对任意都成立,
即恒成立,即
所以的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了二次复合函数求值域的方法,同时也考查了能成立与恒成立的问题,需要注意参数与变量的区别.属于中档题.
18．（1）；（2）单调递增区间是，的值域为.
【分析】
（1）依题意设，代入已知等式，建立方程关系，求解即可；
（2）令根据（1）求出单调区间，再由在上单调递减，结合复合函数的单调性，得出的单调区间，即可求出的值域.
【解析】（1）由，设
∵
∴
∴
（2）由（1）知，
令，则；
∵在递减，在递增；
在上是减函数，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是.
∴，由
所以，即的值域为
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、指数型函数的单调性和值域，掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.
19．（1）（2）为奇函数．（3）
【分析】
（1）根据函数成立的条件即可求出的定义域；
（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断的奇偶性；
（3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可．
【解析】解：（1）∵，恒成立，
∴，
即的定义域为．
（2）∵由（1）得的定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数．
（3）∵对任意的，不等式恒成立，
∴，
又∵是奇函数，
∴
又∵在定义域内为单调减函数．
∴，
即对任意恒成立，
∴得即为所求．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，综合考查了函数的性质．
20．（1），；（2）4；（3）或
【分析】
（1）用替换再利用奇偶性得到，与已知条件联立即可得到函数，的解析式；
（2）将代入，换元思想，分离参数，构造函数，求函数最小值，即可得实数的最大值；
（3）根据题意，换元后转化为方程有且只有一个正根，再对讨论即可得出的取值范围．
【解析】解：（1），用代替得，
则，
解方程得：，.
（2）对任意恒成立，
令，，因为令在单调递增，故
则对恒成立
当时， 故，即
（3）由题：方程有且只有一个根
即有且只有一个根，
令，因为在上单调递增，且
故方程（*式）有且只有一个正根
①当时，方程有唯一根，合题
②当时，方程变形为，解得两根为，
因为（*式）有且只有一个正根，故或，解得或
综上：的取值范围为或
【点睛】
本题主要考查的是函数的奇偶性与单调性的应用，考查不等式恒成立问题，方程在给定范围内由一解的解题方法，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.
21．（1）或，；（2）R上单调递增，证明见解析；（3）
【分析】
（1）是定义域为R的奇函数，利用奇函数的必要条件，求出的值，进而求出，验证是否为奇函数；
（2）可判断在上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；
（3）由，换元令，，由（2）得，，根据条件转化为在最小值为-2，对二次函数配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解
【解析】解：（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以，即，解得或，
可知，此时满足，
所以.
（2）在R上单调递增.
证明如下：设，则
.
因为，所以，
所以，可得.
因为当时，有，
所以在R单调递增.
（3）由（1）可知，
令，则，
因为是增函数，且，所以.
因为在上的最小值为，
所以在上的最小值为.
因为，
所以当时，，
解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知，.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据指数函数的单调性列出方程求出a即可；
（2）化简f（1﹣x）即可得出结论；
（3）利用（2）的结论即可得出答案．
【解析】（1）函数（且）在上的最大值与最小值之和为，
所以，得或（舍去）．
（2）由（1）知，
所以
．
（3）由（2）知，
，
，
，
∴
．