2021-2022年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第四章 对数运算和对数函数 单元必刷卷(word含答案解析)

第四章 对数运算和对数函数 单元必刷卷
一、单选题
1．已知都是正实数，且，下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数与 (且)在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（ ）
A．10% B．30% C．60% D．90%
5．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在上的偶函数在上单调递减，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的图象关于轴对称
C．函数在定义域上有最小值0
D．函数在区间上是减函数
三、填空题
13．函数在区间[1，2]上的最大值为______．
14．设函数的表达式为，则函数的定义域为______．
15．若，，且，则______．
16．已知函数，若（a），则________．
四、解答题
17．已知函数f(x)＝log2.
（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
18．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）有两个不等实根时，求的取值范围.
19．已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：．
20．已知函数，其中.
（1）若，解不等式；
（2）设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求实数的取值范围；
（3）已知函数存在反函数，其反函数记为.若关于的不等式；在上恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数，，且.
（1）若为整数，且，试确定一个满足条件的的值；
（2）设的反函数为，若，试确定的取值范围；
（3）若，此时的反函数为，令，若对一切实数，，，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.
22．已知函数，.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
采用举例方式分析ACD，根据指数幂的运算法则判断B，由此分析出结果.
【解析】A．当时，，故错误；
B．根据指数幂的运算性质可知：同底数幂相乘，底数不变指数相加，故B正确；
C．当，时，，故错误；
D．当时，，故错误，
故选：B.
2．C
【分析】
根据指数和对数函数的性质，利用排除法即可得正确选项.
【解析】对于选项A：由单调递增，可知，此时在单调递减，故选项A不正确；
对于选项B：由单调递减，可知，此时在单调递增，故选项B不正确；
对于选项C：由单调递增，可知，此时在单调递减，故选项C正确；
对于选项D：定义域为，故选项D不正确；
故选：C
3．C
【分析】
根据对数的运算法则，逐个选项验证即可
【解析】对于A，，所以，A错；
对于B，，所以，B错；
对于C，，所以，C对；
对于D，，所以，D错；
故选：C
4．B
【分析】
根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【解析】解：当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选：B
5．C
【分析】
对数的真数大于零，分母不为零，被开方数大于等于零，依据以上三点，列不等式求解.
【解析】欲使函数有意义，则
，即
解得
故选：C.
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，涉及对数函数，被开方数非负，以及分母不为零.
6．A
【分析】
根据自变量的范围代入对应区间的解析式求解即可.
【解析】.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了分段函数以及指对数的运算，属于基础题.
7．B
【分析】
根据，利用对数函数的增减性，判定与0,1的大小关系即可求解.
【解析】,
,,
,,
综上，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属基础题.
8．A
【分析】
结合基本不等式和指数函数的增减性即可求解
【解析】由可得，
当且仅当时等号成立，
又为减函数，，
所以，即，，
故选：A
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，由对数函数增减性判断函数值大小，属于基础题
9．AD
【分析】
利用指数式与对数式的互化以及对数的运算性质即可求解.
【解析】由于a，b，c都是正数，故可设（，且），
∴，，，
则，，．
∵，∴，
即，去分母整理得，．
故选：AD．
10．ACD
【分析】
先利用函数的奇偶性的定义求出值，再逐一验证具体函数的奇偶性和单调性.
【解析】因为是上的偶函数，
所以，解得，
即在上是偶函数，且在上单调递减.
对于A：因为为偶函数，
且在上单调递减，即选项A正确；
对于B：因为为偶函数，
且在上单调递增，即选项B错误；
对于C：因为为偶函数，
且在上单调递减，即选项C正确；
对于D：因为为偶函数，
且在上单调递减，即选项D正确.
故选：ACD.
11．AD
【分析】
由于，然后分情况利用对数函数的单调性比较大小即可.
【解析】解：∵，
∴若，则，即．
∴，故A正确．
，故D正确．
若，则，
∴，，故BC错误，
故选：AD
【点睛】
此题考查了对数函数的性质，属于基础题.
12．AB
【分析】
求出函数和的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．
【解析】解：∵，，
∴，
由且得，故A对；
由得函数是偶函数，其图象关于轴对称，B对；
∵，∴，
∵在上单调递减，由复合函数的单调性可知，当时，函数在上单调递增，有最小值；当时，函数在上单调递减，无最小值；故 C错；
∵，
当时，在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增；故D错；
故选：AB．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13．##
【分析】
首先判断函数的单调性，即可求出函数的最大值；
【解析】解：因为、、在上都为增函数，所以在上单调递增，所以当时取得最大值，即
故答案为：
14．
【分析】
先求出的定义域，再分别求出和的定义域，即可得到答案.
【解析】由，可得的定义域为．所以中x需满足，得；中x需满足，得或.
因此，的定义域为．
故答案为：.
15．0
【分析】
根据对数的运算法则计算．
【解析】由已知，所以，
所以．
故答案为：0
16．或
【分析】
分段求解对数方程和指数方程，则问题得解.
【解析】当时，，，
当时，，．
或．
故答案为：或
【点睛】
本题考查由分段函数的函数值求自变量的取值，涉及对数方程和指数方程的求解，属综合基础题.
17．（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－【分析】
（1）由解得，然后检验函数是奇函数即可；
（2）由真数恒大于0即恒成立可得；
（3）由函数单调性得，解之可得．
【解析】（1）若函数f(x)是R上的奇函数，
则f(0)＝0，解得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数，
所以a＝0为所求．
（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0即可．
（3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，
最小值是f（1）＝log2.
由题设，得log2(1＋a)－log2≥2 ，解得－【点睛】
本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键．
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】
(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值；
(2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集；
(3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围
【解析】解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)
又因为A点在上，则：
（2）由题意知：
而在定义域上单调递增，知
，即
∴不等式的解集为
（3）由知：，方程有两个不等实根
若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示
由图像可知：，故b的取值范围为
【点睛】
本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数图象求参数范围
19．见解析
【分析】
利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.
【解析】证明：在中，因为，所以，
因为
，
所以.
【点睛】
本题考查了等式的证明，考查了对数的运算性质、对数的运算法则，属于基础题.
20．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）时，代入函数分段解不等式即可得到解集；
（2）由题意，可得单调递减，可得函数在区间最大值及最小值，，再根据函数单调性与最值可求得实数的取值范围；
（3）根据反函数性质可得时，为增函数，存在反函数，由此可得的值域为，令，，将原不等式转化为，由是增函数，可得列出不等式求解即可.
【解析】（1）时，
当时，，或，∴；
当时，，，∴.
综上，.
（2）∵，，∴单调递减，
，
，在上恒成立，
令，，
当时，，
当时，，
∵在上递减，
∴，，
综上，.
（3）若，则；
若，则；
若，则，
∴时，没有反函数.
当时，为增函数，存在反函数，
且的值域为.
令，，
则，
，，所以，
因为是增函数，所以也是增函数.
可得
∴解得或
且
又，
综上，.
【点睛】
本题属于分段函数综合题，考查分段函数性质、反函数性质，考查综合分析能力和转化能力，属于较难题.
21．（1）2 （2） （3）
【分析】
（1）将代入方程,结合指数式与对数式的转化,即可的关于的方程,化简后即可求得一个的值.
（2）根据所给,可求得反函数解析式.根据不等式,先求得右端的最小值及相应的,将代入左段并解不等式即可求得的取值范围
（3）代入可得反函数解析式.将反函数解析代入,即可求得的解析式.利用换元法,将化为的表达式.结合反比例函数单调性及不等式,即可求得的取值范围.
【解析】（1）为整数, 且.且
代入可得
即
化简可得
则
所以
故满足条件的的值可以是
（2）的反函数为
则
令,代入可得
则,
所以平方化简可得
所以
则
成立,则即可
令,令,
即,由打勾函数图像与性质可知当时为单调递增函数
所以当时
则不等式化为
即,且且.
化简可得
即,解得
综上可知,的取值范围为
（3）由（2）可知
当时,
代入
可得
令
则
当,即时,函数在上单调递增
所以此时的值域为
若满足对一切实数,,,不等式恒成立
则只需即可,解得
当,即时, ,不等式恒成立
当时,即.函数在上单调递减
此时函数的值域为
若满足对一切实数,,,不等式恒成立
则只需,解不等式可得
综上所述, 的取值范围为
【点睛】
本题考查了对数方程的化简求解,指数方程的解法,反函数的求法及性质应用,不等式恒成立问题的解法,换元法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意可知，关于的方程的两根分别为和，由韦达定理可求出的值；
（2）由题意可知，求出函数的最大值，然后分、、三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数的最小值，解出不等式即可.
【解析】（1）根据题意可知，关于的方程的两根分别为和，
由韦达定理可得，因此，；
（2）对任意的，，不等式恒成立，
则，
对于函数，，
由于内层函数在区间上单调递增，
外层函数在定义域上为减函数，
所以，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值，即.
由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
此时，，由题意可得，解得，
此时，；
②当时，即当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，由题意得，解得，
此时，；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，
此时，，由题意可得，解得，
此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，涉及二次函数的最值问题，一般将问题转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.