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2.4.1二次函数的应用教学设计
课题 2.4.1二次函数的应用 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1．经历最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值． 2．能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数知识求出最大值，增强解决问题的能力．
重点 经历最大面积的探索过程，掌握解决这类问题的一般步骤.
难点 确定自变量的取值范围.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 想一想：如何求出二次函数 y = ax2+bx+c的最小（大）值？ 由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当x= 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值y= 当自变量的取值范围是全体实数时， (1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值； a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值． 回顾旧知，回答 温故知新，通过回顾知识，得出二次函数最值的求法。
讲授新课 小兰家屋后有一块直角三角形的荒地（如图）.爷爷想要挖一个矩形鱼塘养鱼 .小兰帮助爷爷设计了方案：在直角三角形内部作了一个矩形ABCD，AB、AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB = x m，用含x的代数式表示AD. （2）设矩形面积为y㎡，当AB为多少时，鱼塘面积最大，最大面积是多少？ 例1 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少 (结果精确到0.01m2) 学生尝试独立解决，交流、汇报. 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法. 通过“鱼塘最大面积”，初步体会最大面积问题解决的基本思路.“用含x的代数式表示AD”是建立矩形面积y与x的关键，因此通过问题（1）单独凸出该步的处理.整道题的解决过程通过让学生先独立尝试、再交流汇报，理清问题解决的思路. 教师要关注学生是否积极参与， 是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决问题的意识.
课堂练习 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A．32 m2 B．36 m2 C．48 m2 D．64 m2 2.用长为8 m的铝合金条制成如图所示的“日”字形矩形窗框，使窗户的透光面积最大，最大的透光面积为( ) A．m2 B． m2 C．2 cm2 D．4 cm2 3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大． 4．如图，小滕要用总长为40 m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2 m宽的小门(不用铁栅栏)，则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________ m2． 5．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角线的长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？ 6.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式; （2）有-条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §2.4.1二次函数的应用二次函数求最值的方法例1、 学 生 活 动 区
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2.4.1二次函数的应用
北师大版 九年级下册
复习旧知
想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
当自变量的取值范围是全体实数时，
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
新知讲解
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD、其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）如果设矩形的一边AB= x m，那么AD边的长度如何表示
（2）设矩形的面积为ym 、当x取何值时，y的值最大 最大值是多少
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，.'.AB=CD,AB//CD,
∵AF=40cm,AE=30cm,AB=xcm, .'.CD=xm,
∵CD/ /AB, ∴△EDC∽△EAF,
∴ ∴DE=
∴AD=30-
E
F
复习旧知
(2)由题意可得
∴当x=20时, y有最大值300.
E
F
练一练
(1)设矩形的一边BC=x cm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
M
N
P
40 cm
30 cm
xcm
bcm
H
G
┛
┛
解：(1)由勾股定理得MN=50cm，PH=24cm
设AB=bcm，易得b=
(2)y=xb=x=
或用公式：当x=时，
归纳总结
一、利用二次函数的方法解决面积（或其他）最大值问题的步骤：
1、结合题目所给条件，借助三角形相似的方式，构建二次函数的计算模型；
2、最大值计算模式：(1)∵a=┅<0 (2)当x=-时，S(或y)有最大值
(3)S(或y)最大值为
二、通过对比两个问题的结论，我们可以发现一个猜想：
直角三角形内接矩形（各顶点均在三角形边上）面积最大值=直角三角形面积的一半。
例题解析
例1 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多 (结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少 (结果精确到0.01m2)
x
x
y
典例精析
解:∵7x+4y+πx=15
∵0＜x＜15,且0＜＜15
∴0＜x＜1.479
设窗户的面积是Sm2,则
S=+2x
==
∴当x=≈1.07时,S最大=≈4.02
因此,当x约为1.07m时,窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02m2.
练一练
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a=
∴抛物线的表达式为
练一练
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
练一练
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4
∴ -4= ，解得k= ，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
课堂练习
1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A．32 m2 B．36 m2 C．48 m2 D．64 m2
2.用长为8 m的铝合金条制成如图所示的“日”字形矩形窗框，使窗户的透光面积最大，最大的透光面积为( )
A．m2 B． m2 C．2 cm2 D．4 cm2
D
B
课堂练习
3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
150
4．如图，小滕要用总长为40 m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2 m宽的小门(不用铁栅栏)，则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________ m2．
242
课堂练习
5．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角线的长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式；
(2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？
解：(1)根据题意，得S＝x(60－x)＝－x2＋30x
(2)∵S＝－x2＋30x＝－(x－30)2＋450，0 cm＜x＜60 cm，
∴当x＝30 cm时，菱形风筝的面积S最大，最大值是450 cm2
课堂练习
6.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式;
（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥
课堂练习
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），
由题意： 解得：
∴y=
课堂练习
解：（2）由题意得：船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，
水位上升的高度为：0.25×7=1.75米.
∵1.75＜3
∴船的速度不变，它能安全通过此桥.
作业布置
1.课本习题2.8第1、2题
2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽是2m。可抛物线可以用y=-x2+4表示.
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗
（2）如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货运卡车是可以通过
课堂小结
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
