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第2节 单 摆
学习目标：
1.理解什么是单摆及在什么情况下单摆的振动是简谐运动．
2．知道单摆的周期跟哪些因素有关，了解单摆周期公式，并能进行有关计算．
重点难点：
1.单摆的回复力及单摆简谐运动的推导．
2．单摆做简谐运动的周期及与摆长的关系．
课标定位
第
2
节
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
课标定位
课前自主学案
一、单摆的简谐运动
1．单摆模型
细线的上端固定，下端系一小球，若忽略悬挂小球的细线长度的__________和_____，且线长比球的直径________，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的_____可以忽略，这样的装置就叫做单摆．
2．单摆的回复力
单摆的回复力是摆球的重力沿_________方向的分力,在摆角很小的情况下，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成_____，方向总指向_________，因此单摆在摆角很小时做__________．
微小变化
质量
大得多
阻力
圆弧切线
正比
平衡位置
简谐运动
二、单摆做简谐运动的周期
1．影响单摆周期的因素：实验表明，单摆振动的周期与摆球______无关，在振幅较小时与_____无关，但与摆长有关，摆长______，周期越长．
2．单摆的周期公式：周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，周期公式为T＝__________ .
质量
振幅
越长
核心要点突破
一、对单摆模型的理解
1．运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都有向心力．
(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回复力．
2.摆球的回复力
(1)任意位置：如图1－2－1所示，G2＝Gcosθ，T－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsinθ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力．
图1－2－1
即时应用?(即时突破，小试牛刀)
1.关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
解析：选A.单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，A对、B错；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)，C错；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，D错．
二、影响单摆周期的因素
1．摆长(L)
(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即L＝l＋ ，l为细线长，d为摆球直径．
(2)等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球球心的距离，例如图1－2－2甲、乙均做垂直纸面的小角度摆动．
图1－2－2
(2)等效重力加速度：g值还由单摆系统的运动状态决定．如单摆处在向上加速的升降机中，加速度为a，则等效重力加速度g′＝g＋a；若升降机以同样的加速度加速下降，则g′＝(g－a)．一般情况下，g′的值等于摆球相对于加速系统静止时在平衡位置，摆所受的张力与摆球质量的比值．
课堂互动讲练
单摆的动力学分析
例1
下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
【精讲精析】 简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零．摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力在摆线方向的分力和悬线拉力的合力提供向心力．摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零．摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零．
【答案】 C
【方法总结】 对单摆的摆动过程的动力学分析，首先要搞清单摆的运动既有往复性摆动又有绕悬点的圆周运动，搞清单摆回复力和向心力的来源．
单摆周期公式的应用
例2
有一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
【答案】 (1)9.79 m/s2
(2)其摆长要缩短0.027 m
等效摆问题
例3
图1－2－3
如图1－2－3所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R .甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点静止释放，问两球第1次到达C点的时间之比．
知能优化训练
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第5节 学生实验：用单摆测定重力加速度
课标定位
学习目标：
1.明确实验目的，理解实验原理；通过实验，探究单摆的周期与摆长及重力加速度的关系．
2．学会使用秒表，掌握实验步骤，并能正确进行实验操作．
重点难点：
1.实验原理的理解．
2．实验数据的处理．
第
5
节
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
课标定位
课前自主学案
三、实验器材
长约1 m的细线、稍重的带孔小铁球1个、带有铁夹的铁架台1个、米尺1把、秒表1块、游标卡尺．
四、实验步骤
图1－5－1
1．让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个线结，做成单摆，如图1－5－1所示．
2．把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记．
核心要点突破
图1－5－2
二、误差分析及注意事项
1．误差分析
(1)系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．
(2)偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．摆球通过平衡位置开始计时，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量取平均值．
(3)本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可(即使用卡尺测摆球直径也只需保留到毫米位)．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．
2．注意事项
(1)构成单摆的条件：摆线应选择细且不易伸长的线，摆球应选择体积小、密度大的小球，且摆角不能超过10°.
(2)固定悬点：单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑，摆长改变的现象．
课堂互动讲练
实验注意事项的考查
例1
(2011年高考福建卷)某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
图1－5－3
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
【精讲精析】 (1)由标尺的“0”刻线在主尺上的位置读出摆球直径的整厘米数为0.9 cm，标尺中第7条线与主尺刻度对齐，所以应为0.07 cm，所以摆球直径为0.9 cm＋0.07 cm＝0.97 cm.
【答案】 (1)0.97(0.96、0.98均可) (2)C
实验数据的获取及处理
例2
图1－5－4
(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是________
(填写代号)．
A．测摆长时，忘记了摆球的半径
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，秒表过早按下
D．实验中误将39次全振动次数记为40次
l/m 0.4 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2
T/s 1.26 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20
T2/s2 1.59 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
(3)某同学在实验中，测量6种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：
以l为横坐标、T2为纵坐标，作出T2－l图线，并利用此图线求重力加速度g.
图1－5－5
【答案】 (1)0.8740 75.2 1.88 (2)ABC
(3)图见精讲精析 9.86 m/s2
知能优化训练
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本章优化总结
专题归纳整合
章末综合检测
本章优化总结
知识网络构建
知识体系构建
专题归纳整合
简谐运动的对称性和周期性
做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以简谐运动具有周期性，因此在处理实际问题时，要注意多解的可能性．简谐运动过程具有对称性，关于平衡位置对称的两位置上速度、加速度(回复力)、位移、动能、势能的大小均相等，且由某点到平衡位置和由平衡位置到该点或对称点的时间相等，由某点到最大位移处和由最大位移处回到该点的时间相等．在实际问题中利用简谐运动的周期性和对称性解题很方便．
例1
一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动；当质点从O点向某一侧运动时，经3 s第一次过P点，再向前运动，又经2 s第二次过P点，则该质点再经________的时间第三次经过P点．
【精讲精析】 若质点沿图1－1中①的方向第一次过P点，历时3 s；由P到B，再由B到P共历时2 s，则由其对称性知P、B间往返等时，各为1 s，从而可知T/4＝4 s，周期T＝16 s．第三次再过P点，设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期T减去P、B间往返的2 s，则需时t＝16 s－2 s＝14 s.
图1－1
有关振动图像的问题
1．简谐运动的图像不是振动质点的轨迹．做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段(如弹簧振子)或那一段圆弧(如单摆)．这种往复运动的位移图像，就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移，以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x－t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图像．
2．下面我们从这三个方面举例分析简谐运动的图像问题．
(1)“识图”．就是给出简谐运动的图像，能明白此图的物理意义，明白它反映出一些什么规律，图像给我们提供了哪些信息等等．
(2)“画图”．就是在所给条件下画出简谐运动的图像．然后根据图像解决相关问题．
(3)“用图”．就是运用简谐运动的图像处理有关简谐运动的问题．它体现出将抽象的、模糊的题设情景，变化为形象的、直观的图像的能力，实现了抽象思维与形象思维的结合．
例2
一个质点做简谐运动的图像如图1－2所示，下述说法正确的是( )
图1－2
A．质点振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，速度为零，加速度最大，回复力的功率为零
D．在t＝0 s到t＝1 s内，加速度与速度反向，回复力做负功
在5 s末，质点位移最大为2 cm，此时回复力最大，所以加速度最大，但速度为零，由P＝Fv可知回复力的功率也为零，故选项C是正确的．
在0 s到1 s时间内，质点由平衡位置向正向最大位移处移动，所以速度与加速度反向，回复力做负功，故本题的正确答案为B、C、D.
【答案】 BCD
简谐运动与力学知识的综合问题
振动图像反映了振动质点位移随时间的变化规律，横坐标表示时间．在画图像时，据匀速运动的位移跟时间成正比，通过木板的匀速运动，可以记录振动位移随时间变化的规律，它是规则的正弦或余弦曲线．若木板做变速运动，画出的图像虽不是正弦曲线，但这时可以利用简谐运动的周期性的特点结合具体问题选择相关的力学知识进行求解．
例3
一块涂有炭黑的玻璃板质量为2 kg，在拉力F作用下，由静止开始竖直向上做匀变速运动．一个装有水平振针的振动频率为5 Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了如图1－3所示曲线，量得OA＝1 cm，OB＝4 cm，OC＝9 cm.求外力F的大小．(g取10 m/s2)
图1－3
【答案】 24 N
章末综合检测
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第4节 阻尼振动 受迫振动
课标定位
学习目标：
1.知道阻尼振动、知道自由振动和阻尼振动的区别．
2．掌握受迫振动的概念，理解受迫振动的振幅与驱动力的频率之间的关系．
3．理解共振的原因，掌握产生共振的条件．
重点难点：
1.决定受迫振动频率的因素及发生共振的条件．
2．阻尼振动中振幅变化的关系及共振中振幅随驱动力频率变化的关系．
第
4
节
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
课标定位
课前自主学案
一、阻尼振动
1．固有频率：如果振动系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动，称为__________，其振动频率称为__________，固有频率由___________的特征决定．
2．阻尼振动
(1)阻力作用下的振动变化：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了______．系统克服_____的作用要做功，消耗________，因而_____减小，最后停下来．
(2)阻尼振动：指_____逐渐减小的振动．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越___．
自由振动
固有频率
系统本身
阻力
阻力
机械能
振幅
振幅
快
二、受迫振动
阻尼振动最终要停下来，要维持系统的持续振动，简单的办法是使________的外力作用于振动系统，外力对系统做正功，补偿系统的能量损耗．
这种_______的外力叫做驱动力．系统在_______作用下的振动叫做受迫振动．
做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于_______的频率，与系统的固有频率无关．
周期性
周期性
驱动力
驱动力
三、共振、共振的应用和防止
1．共振：驱动力的频率_____振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．
2．共振的应用与防止
(1)应用： _______、共振筛等．
(2)防止：①军队过桥时要走____步．
②轮船航行时要适时改变轮船的_____与_____ ．
③发射载人宇宙飞船时要考虑共振可能给宇航员造成的伤害．
④机器运转和厂房建筑物的固有频率都不能处在驱动力的频率范围之内．
等于
转速计
便
航向
速度
思考感悟
明代抗倭名将戚继光曾在城墙根下每
隔一定距离挖一深坑，坑里埋置一只
容量有七八十升的陶瓮，瓮口蒙上皮
革，让听觉聪敏的人伏在这个共鸣器
上听动静，遇有敌人挖地道攻城的响
声，不仅可以发觉，而且根据各瓮瓮
声的响度差异可以识别来敌的方向和
远近．你知道其中的道理吗？
图1－4－1
提示：戚继光是利用了共振的原理来感知敌人的军情的．
核心要点突破
一、简谐运动、阻尼振动与受迫振动的区别
简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑；阻尼振动却考虑阻力的影响，是更实际的一种运动；而受迫振动则是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动．三者对比列表如下：
特别提醒：(1)阻尼振动中振幅虽逐渐减小，但振动的频率不会变化，此频率称为固有频率，由振动系统决定．
(2)受迫振动中，若驱动力给系统补充的能量与系统因振动阻尼消耗的能量相等，物体做等幅振动，但此振动不是简谐运动．
即时应用?(即时突破，小试牛刀)
1.下列说法中正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
解析：选ACD.实际的自由振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，故A、C正确．只有在周期性外力(驱动力)的作用下，物体所做的振动才是受迫振动，故B错．受迫振动稳定后的频率由驱动力频率决定，与自身物理条件无关，故D对．
二、共振及其条件的理解
1．共振的定义：物体做受迫振动时，当驱动力的频率等于系统的固有频率时，振动的振幅最大，这种现象叫共振．
2．发生共振的条件
f驱＝f固，即驱动力的频率等于振动系统的固有频率．
3.
图1－4－2
共振曲线：如图1－4－2所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动物体的振幅．
共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响．由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
4．从功能关系来看，当驱动力的频率等于固有频率时，驱动力整个周期都与物体运动方向一致，从而任何时间都做正功，振动能量不断增加，直到增加的能量等于克服阻力消耗的能量时，振幅达到最大值．
5．共振的防止和应用：根据发生共振的条件可知，要防止共振现象的危害，应使驱动力的频率尽量远离物体的固有频率；应用共振现象，应使驱动力的频率等于物体的固有频率．
特别提醒：(1)共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象．
(2)f驱与f固相差越大，振幅越小；相差越小，振幅越大；f驱＝f固，振幅最大．
即时应用?(即时突破，小试牛刀)
2.如图1－4－3所示是物体做受迫振动时的共振曲线，其纵坐标表示物体的( )
图1－4－3
A．在不同时刻的位移
B．在不同时刻的振幅
C．在不同频率的驱动力作用下的振幅
D．在相同频率的驱动力作用下不同物体的振幅
解析：选C.受迫振动的共振曲线横坐标表示驱动力的频率f，纵坐标表示同一振动物体在不同频率的驱动力作用下的振幅变化，故C项正确．
课堂互动讲练
对阻尼振动的认识
例1
一个单摆在做实际的阻尼振动时( )
A．周期越来越小 B．位移越来越大
C．振幅越来越小 D．机械能越来越小
【精讲精析】 在阻尼振动中，机械能不断减小，振幅也不断减小，而周期与振动有无阻尼无关，因而不会变化，而位移本身时刻在变化，并不是越来越大，故选C、D.
【答案】 CD
【方法总结】 物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而明显变化．阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理．
受迫振动与共振的理解
例2
如图1－4－4所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．问：
图1－4－4
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？为什么？
(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关．即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s.
(3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使驱动力的频率f驱等于振子的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s.
【答案】 见自主解答
【方法总结】 解决这类问题关键是区分物体的固有频率、驱动力的频率和振动物体的频率，因此在题目中要找准驱动力．当物体做受迫振动时，其振动频率就等于驱动力的频率．当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，此振动物体的振幅最大．
知能优化训练
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第3节 简谐运动的图像和公式
课标定位
学习目标：
1.掌握简谐运动的位移－时间图像．
2．知道简谐运动的表达式，明确各量表示的物理意义．
3．了解相位、初相和相位差的概念．
重点难点：
1.理解简谐运动的位移－时间图像，区分振幅和位移．
2．根据简谐运动的表达式指出振幅、频率及相位．
第
3
节
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
课标定位
课前自主学案
一、简谐运动的图像
1．坐标系的建立：以横轴表示做简谐运动的物体运动的______，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对________的位移x.
图1－3－1
2．图像的特点：一条_____(或余弦)曲线如图1－3－1所示．
3．图像意义：表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的_____．
时间t
平衡位置
正弦
位移
平衡位置
振幅
初相位
初相
核心要点突破
一、对简谐运动图像的理解
1．图像含义：表示某一质点不同时刻的位移；只表示竖直轴上的直线往复运动．简谐运动图像不是做简谐运动的物体的运动轨迹．
2．图像斜率：该时刻速度的大小和方向，如图1－3－2.
图1－3－2
3．从图像上可以比较质点在各个时刻速度的大小及符号(表示方向)：
如图1－3－2中，t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小，t1时刻速度为负，t2时刻速度也为负．
4．从图像上可以比较质点在各个时刻的位移的大小及符号(表示方向)：
如图1－3－2中，t1时刻质点的位移比t2时刻质点的位移大，t1时刻位移为正，t2时刻位移为负．
5．从图像上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符号(表示方向)：
如图1－3－2中，质点在t1时刻的加速度比在t2时刻的加速度大，t1时刻质点加速度符号为负，沿x轴负向，t2时刻质点加速度符号为正，沿x轴正向．
6．从图像上可以比较任意时刻质点的速度、加速度、位移的大小及变化情况，具体做法是：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图1－3－2中t1时刻，从正位移向着平衡位置运动，位移变小，速度为负且增大，加速度正在减小，t2时刻从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大．
即时应用?(即时突破，小试牛刀)
1．一质点做简谐运动的图像如图1－3－3所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度为零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
图1－3－3
二、简谐运动表达式的理解
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：
x＝Asin(ωt＋φ)
1．式中x表示振动质点相对平衡位置的位移．
2．式中A表示振幅，描述的是振动的强弱．
3．式中ω叫做圆频率，它与周期、频率的关系为ω
＝ ＝2πf.可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
4．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
5．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
6．相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差
Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
特别提醒：相位差的取值范围一般为－π≤Δφ≤π，当Δφ＝0时两运动步调完全相同，称为同相，当Δφ＝π(或－π)时，两运动步调相反，称为反相．
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简谐运动图像的应用
例1
悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图1－3－4所示，关于这个图像，下列哪些说法正确( )
图1－3－4
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
【精讲精析】 由振动图像可以获取相关信息：某时刻振子的位移、加速度方向、速度等．例如t＝1.25 s时，位移为正，则加速度为负，且振子向平衡位置移动，速度为负，故A错，同理B、D错，C正确．
【答案】 C
【方法总结】 (1)简谐运动的图像表示做简谐运动的质点位移随时间变化的规律．
(2)图像的特点：一条正弦(或余弦)曲线．
(3)从图像中可以直接得到的信息：①任意时刻质点离开平衡位置的位移；②振动的周期；③振动的振幅．
(4)从图像中还可以判断各物理量(如速度、加速度、动能等)的变化情况．
简谐运动的公式描述
例2
一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程．
知能优化训练
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第1节 简谐运动
学习目标：
1.知道什么是简谐运动及回复力的特点．
2．掌握描述简谐运动的物理量．
3．会分析弹簧振子运动过程中能量的转化．
重点难点：
1.简谐运动的特点及与一般振动的区别．
2．描述简谐运动的物理量的理解．
课标定位
第
1
节
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
课标定位
课前自主学案
一、机械振动
1．机械振动：物体(或物体的某一部分)在_____________两侧所做的往复运动．
2．平衡位置：做往复性运动的物体能够_______的位置．
某一中心位置
静止
思考感悟
跳橡皮筋是一种很好的健身游戏．两个学生拉住长橡皮筋，一个小孩在中间跳来跳去．橡皮筋的中间常常要扎一块手帕．小孩在跳的时候总要不时地用小腿钩一下橡皮筋，有时还要用脚踩一下橡皮筋，再迅速地跳开，这是为什么？手帕的运动是什么运动？
提示：起振．手帕构成了一个橡皮筋振子，手帕的运动是振动．
二、简谐运动
1．回复力：物体在振动过程中，受到的一个总指向_________的力．
2．简谐运动：物体所受的力与它偏离平衡位置的__________成正比，并且总指向__________的运动．
平衡位置
位移大小
平衡位置
三、振幅、周期和频率
1．振幅：振动物体在振动过程中离开平衡位置的__________叫做振动的振幅．振幅是______，为正值，用A表示，单位是米(m)．振幅是表示振动______的物理量，振幅越大表示振动_______．
2．周期和频率：做简谐运动的物体完成___________所需要的时间叫做振动的周期．单位时间内完成_____________叫做振动的频率．周期和频率都是表示物体_____快慢的物理量．它们的关系是_______.在国际单位制中，周期的单位是___．频率的单位是______，1 Hz＝1 s－1.
最大距离
标量
强弱
越强
一次全振动
全振动的次数
T＝1/f
秒
赫兹
振动
四、简谐运动的能量
1．振子在平衡位置时，振子的速度最大，动能______，弹性势能为_____．
2．理想弹簧振子运动过程中，任一时刻(或任一位置)系统总机械能都_____．
最大
零
相等
核心要点突破
一、对简谐运动的理解
1．弹簧振子——理想化模型
(1)弹簧振子：一种理想化模型，表现在
①构造上是一根不计质量的弹簧一端固定，另一端连接一个质点．
②运动时质点不受任何摩擦和介质阻力．
判定一个实际系统能否看成弹簧振子，就从这两个方面去衡量．
(2)弹簧振子的位移
简谐运动中的位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段，在振动中，不管振动质点初始时刻的位置在哪儿，振动中的位移都是从平衡位置开始指向振子所在位置．这与一般运动中的位移有很大区别，一般运动中的位移都是由初位置指向末位置．
简谐运动中的位移也是矢量，若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时就为负．
(3)弹簧振子的运动规律
弹簧振子原来静止的位置是平衡位置．振子振动过程中经过平衡位置时位移是零，而速度最大．离开平衡位置时，位移变大，但速度变小．速度为零是最大位移处，振动的位移是相对平衡位置而言的．
2．用F＝－kx判定振动是否是简谐运动的步骤
(1)对振动物体进行受力分析；
(2)沿振动方向对力进行合成与分解；
(3)找出回复力，判断是否符合F＝－kx.
即时应用?(即时突破，小试牛刀)
1.弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是( )
A．振子在A、B两点时的速度和位移均为零
B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变
C．振子所受弹力的方向总跟速度方向相反
D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动
解析：选D.振子在A、B两点时速度为零，位移最大，平衡位置速度最大，故A错，D对．振子通过O点运动方向不变，故B错．振子所受弹力方向总指向平衡位置，速度方向有时指向平衡位置，有时背离平衡位置，故C错．
二、对描述简谐运动物理量的理解
1．对回复力的理解
(1)回复力始终指向平衡位置；
(2)回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上所受的合外力；
(3)回复力可以由某个力提供，也可以是几个力的合力，还可能是某个力的分力．
2．对振幅、周期、频率的理解
(1)振幅：振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒．
(2)周期和频率
当振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程就是一次全振动，一次全振动是简谐运动的最小运动单元，振子的运动过程就是这一单元运动的不断重复．振幅是描述振动强弱的物理量；周期和频率都是用来表示振动快慢的物理量．
三、理解振动的振幅、位移和路程的关系
1．振幅与位移的关系
(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是物体相对于平衡位置的位置变化．
(2)振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，但位移却时刻变化．
(3)振幅是标量；位移是矢量，方向为由平衡位置指向振子所在位置．
(4)振幅在数值上等于位移的最大值．
特别提醒：
(1)振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大．
(2)求路程时，首先应明确振动过程经过了几个整数周期，再具体分析最后不到一周期时间内的路程，两部分相加即为路程．
课堂互动讲练
简谐运动的证明
例1
两根质量均可不计的弹簧，劲度系数均为k0.它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1－1－1所示．试证明弹簧振子做的运动是简谐运动．
图1－1－1
【精讲精析】 以平衡位置O为原点建立坐标系，当振子离开平衡位置时，两根弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力．设振子沿x正方向发生位移x，则物体受到的合力为
F＝F1＋F2＝－k0x－k0x＝－2k0x＝－kx，所以振子做的运动是简谐运动．
【答案】 见精讲精析
【方法总结】 做简谐运动的物体，其回复力特点为：F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据．但k不一定等于弹簧的劲度系数．
简谐运动过程的分析
例2
一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
【思路点拨】 研究简谐运动的过程，首先要画出振动草图，再去分析各位置的情况．
【自主解答】 如图1－1－2所示，设弹簧振子在A、B之间振动，O是它的平衡位置，并设向右为正方向．在振子由O向A运动过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故A错．振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故B错．当振子每次通过同一位置时，速度大小一样，方向可能向左也可能向右，但加速度相同，故C错，D正确．
图1－1－2
【答案】 D
【方法总结】 (1)分析简谐运动中各物理量的变化时，一定以位移为桥梁，理清各物理量间的关系：回复力、加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，速度大小随位移的增大而减小，方向有时和位移相同，有时相反．
(2)要充分利用简谐运动的对称性．相对称两点位移、回复力、加速度等大反向，速度等大，方向可能相同，也可能相反．
简谐运动中的计算
例3
如图1－1－3所示，弹簧振子在BC间做简谐运动，O点为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，求：
图1－1－3
(1)振子的振幅、周期；
(2)经过两次全振动，振子通过的路程是多少？
(3)从B开始经过3 s，振子通过的路程是多少？
【精讲精析】 (1)振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm.
(2)振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm.
(3)3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm.
【答案】 (1)5 cm 2 s
(2)40 cm
(3)30 cm
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