河南省南阳市唐河县友兰实高2022届高三上学期11月月考数学（理）试卷（Word版含答案）

友兰实验高中2022届高三上学期11月月考
理科数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则
A． B． C． D．
2．已知，则
A． B． C． D．
3．命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是
A． B． C． D．
4．已知是公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若，则
A． B． C．10 D．12
5．已知平面向量，在方向上的投影为，则=
A． B． C． D．
6．若，则
A． B． C． D．
7．已知函数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
8．已知实数满足约束条件，则的取值范围是
A． 　 B．　 C． D．
9．函数的图象大致为
10．如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆上一点，若，则直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
11．已知函数,若,有下列四个结论：①；②；③的图象关于直线对称；④在上是减函数，则上述结论中，错误的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
12．若 函数有2个零点,则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在三角形中，边的中点分别为，若，则__________．
14．给出下列4个命题：
①若则；②若，则；
③；④的最小值为6.
其中不正确的是__________．（写出所有符合题意的序号，多填或少填都不得分）
15．若为数列的前n项和，且， ，则数列的通项公式为__________．
16．已知矩形中，，点是平面外一点，且点在平面上的射影恰好为边的中点，，若点都在球O的表面上，则球O的表面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足N，求数列的前项和.
18．（12分）
在①；②；③
这三个条件中任意选择一个，填入下面横线处，并解决问题．
在中，内角所对的边分别为，已知__________．
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（12分）
已知向量，，，设函数，且函数在上的最大值为，最小值为．
（1）求的值；
（2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．
20．（12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
21．（12分）
如图，在直四棱柱中，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设平面与平面所成的锐二面角为，求.
22．（12分）
已知是函数的极值点.
（1）求实数；
（2）设函数（其中为自然对数的底数），求证：当时，函数在上有且只有一个零点.
理科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C A B D A D D A D B D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．②③④ 15． 16．
说明：13题正确答案是或，其他形式不给分
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
【解析】（1）由题意，得数列是以为首项，为公差的等差数列，（2分）
所以其通项公式为.（4分）
（2）由题意，得（5分）
，（6分）
所以，（8分）
则（9分）
.（10分）
说明：
（1）第一问中没有指出“以为首项，为公差” ，不扣分；
（2）第一问中没有“由题意，得数列是等差数列”扣2分.
18．（12分）
【解析】（1）若选①：
由可得，
由正弦定理，得，（1分）
可得．（2分）
所以，（3分）
整理得，（4分）
又因为，所以，
所以．（5分）
因为，所以．（6分）
若选②：
由及正弦定理，得，（2分）
由余弦定理，得．（4分）
因为，所以．（6分）
若选③：
由，得，
即，（1分）
由正弦定理，得，（2分）
所以，（3分）
即，（4分）
又因为，所以，所以，（5分）
因为，所以．（6分）
（2）由余弦定理，知（7分）
，（8分）
当且仅当时，取等号．（9分）
因为，所以，（10分）
所以，（11分）
所以的面积的最大值为．（12分）
说明：
（1）第一问中没有写“又因为，所以”，不扣分；
（2）第一问中求sinB时没有写“因为”，不扣分；
（3）第二问中没有写“当且仅当时，取等号”，扣1分；
（4）最后结果写成，不扣分.
19．（12分）
【解析】（1）由题可得（1分）
，（2分）
当时，，（3分）
又函数在上的最大值为，最小值为，且，
所以只需，（4分）
所以，（5分）
又，所以．（6分）
说明：只要正确写出，给2分.
（2）由（1）可知，（7分）
所以由，得，（8分）
令，则，（9分）
设，（10分）
则，（11分）
因为关于的方程在R上有实数解，所以，
故实数的取值范围为．（12分）
说明：最后一步实数的取值范围不写成区间形式不扣分.
20．（12分）
【解析】（1）的定义域为.（1分）
，（2分）
当时，恒成立，所以在上单调递增；（3分）
当时，由，得，所以在上单调递增，（4分）
由，得，所以在上单调递减.（5分）
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（6分）
（2）在上恒成立，即在上恒成立，（7分）
令，则，（8分）
设，则，（9分）
因为在上恒成立，
所以在上为减函数，即在上为减函数，（10分）
所以，即，所以在上为减函数，（11分）
所以，
从而，即实数的取值范围是.（12分）
说明：第一问：（1）不写函数的定义域，但后面讨论显示定义域是，这1分不扣；
（2）分类讨论后没有综合写出a的不同范围下单调区间的情况，扣1分；
第二问最后一步实数的取值范围不写成区间形式不扣分.
21．（12分）
【解析】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，（1分）
因为，所以，所以，
由可得.（3分）
因为，所以平面.（4分）
因为平面，所以平面平面.（5分）
（2）在中，，
由余弦定理可得，所以，
因为，所以，（6分）
因为四棱柱为直四棱柱，所以两两垂直，
以A为坐标原点，直线所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（7分）
则，（8分）
所以，
设平面的法向量为，则，得，
令，可得，所以平面的一个法向量，（9分）
设平面的法向量为，则，得，
令，可得，所以平面的一个法向量，（10分）
所以.（12分）
说明：（1）第二问没有证明，扣1分；
（2）第二问中如果学生直接写“如图所示的空间直角坐标系”，不扣分；
（3）8分段中，学生只写出或图中标出至少2个点坐标，不扣分；
（4）9分段，10分段中，只看结果，结果对，有分，结果错，无分；
（5）最后一步，若结果错误，有公式，给1分；若结果对，无公式，不扣分.
22．【解析】（1）求导可得，.（1分）
由题意，可知，得，则，（3分）
当时，，，
当时，；
当时，，
所以是函数的极大值点，满足题意，所以.（4分）
（2）由（1）得，则，（5分）
令，则，
因为，所以当时，，
所以在上单调递增，
因为，，
所以在上有唯一的零点，（6分）
满足=0，即，（7分）
且函数在上单调递减，在上单调递增，（8分）
所以当时，函数的最小值为，
因为，所以当时，，所以函数在上不存在零点. （9分）
取，则，（10分）
所以存在，使得，所以函数在上有唯一零点.（11分）
综上所述，函数在上有且只有一个零点.（12分）
说明：第一问，没有验证是极值点，扣2分.