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2021—2022学年海南州中学，海南州贵德中学
第一学期高二期中考试
数 学（理）
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共60分）
选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线 的倾斜角是 （ ）
A． B． C． D．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A．1 B． C． D．
3．已知直线与平行，则 （ ）
A．或2 B．1或 C． D．1
4．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过直线（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
5．设 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则，其中正确的序号是 （ ）
A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④
6．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方体中，，，，是的中点，则三棱锥
的体积为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知两平行直线与的距离，则实数的值是 （ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，点 分别为棱、、的中点，给出下列四个结论：①；②平面；③异面直线，所成角的大小为；④平面．其中所有正确结论的序号为 （ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
11．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
填空题（本小题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13．已知是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①；②；③.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
14．直线到直线的距离和原点到直线的距离相等，则直线的方程是_________.
15．如图，在三棱锥中，底面，，则与底面所成角的正切值__________．
（15题） （16题）
16．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑圆，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义；鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以交蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．早在2006年5月，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．现已知某蹴鞠的表面上有四个点、、、，满足是正三棱锥，是的中点，，侧棱长为2，则该蹴鞠的体积为______（2分）；蹴鞠球心到平面的距离为______．（3分）
三．解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，四边形是矩形，平面，平面.
（1）证明：平面平面.
（2）若平面与平面的交线为，求证：
18．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为.求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程.
19．已知四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，平面
平面，E为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
（3）求异面直线与所成角的余弦值；
20．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且.
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.
21．已知直线过点，并且点和点到直线的距离相等，求直线的方程．
22.如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把折起，使
移到点，点在上，且平面
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角所成角的余弦值．
12021—2022 学年海南州中学，海南州贵德中学
第一学期高二期中考试
数 学（理）（答案）
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C B A D B C A D B A
二．填空题
13. ②③ ① 或 ①③ ②； 14. x 2y + 2 = 0
2 3
15. ； 16. 4 3 ,
2 3
三．解答题
17.（1）因为 ED ⊥平面 ABCD，FB ⊥平面 ABCD，所以BF DE ，--------------------+1 分
又因为DE 平面 ADE ，BF 平面 ADE ，所以BF∥平面 ADE .--------------------------+2 分
在矩形 ABCD中，BC∥AD， AD 平面 ADE ， BC 平面 ADE ，
所以BC∥平面 ADE ..-----------------------------------------------------------------------------------+4 分
又 BC BF = B，所以平面 AED∥平面BCF .---------------------------------------------------+6 分
AB / /CD
（2） AB 平面CDE ,
CD 平面CDE
AB / /平面CDE -----------------------------------------------------------------------------8 分
AB / /平面CDE
又 AB 平面ABE ---------------------------------------------------------------+11 分
平面ABE 平面CDE = l
AB / /l -------------------------------------------------------------------------------------------+12 分
1 n 1
18.（1）设C(m,n) ， AC ⊥ BH ， kAC kBH = 1， = 1，
2 m 5
即：2m + n 11= 0 ①----------------------------------------------------------------------------+2 分
又 C(m,n)在直线2x y 5 = 0上， 2m n 5 = 0 ②-------------------------------+4 分
m = 4
① ②联立方程组解得： ------------------------------------------------------------------+5 分
n = 3
C(4,3) ------------------------------------------------------------------------------------------+6 分
5+ a 1+b 5+ a 1+b
（2）设 B(a,b) ，则M ( , )， M ( , ) 在直线2x y 5 = 0上
2 2 2 2
5+ a 1+b
2 5 = 0，即2a b 1= 0 ③------------------------------------+8 分
2 2
又 B(a,b)在直线 x 2y 5 = 0上， a 2b 5 = 0 ④------------------------+9 分
a = 1
③ ④联立方程组解得： -----------------------------------------------------------+10 分
b = 3
B( 1, 3)
y +3 x +1
直线BC 的方程为 = ，即6x 5y 9 = 0 -------------------------------+12 分
3+3 4+1
1
19. （1）取PD中点 F，连接 EF，CF，则EF / / AD且EF = AD ，--------------------+1 分
2
1
由题可得BC / / AD 且BC = AD，所以BC / /EF 且 BC = EF ，
2
所以四边形BCFE 是平行四边形， BE / /CF ，----------------------------------------------+2 分
BE 平面PDC ，CF 平面PDC ， BE / /平面PDC ；-------------------------------+3 分
（2）由题意 AD = 2BC = 2 2 ，PA = 3PD = 3，满足 AD2 + PD2 = AP2，
PD ⊥ AD ---------------------------------------------------------------------------------------------+4 分
又平面PAD ⊥平面 ABCD，且平面PAD 平面 ABCD=AD ，PD 平面PAD
PD ⊥平面 ABCD， PD ⊥ AB ---------------------------------------------------------------+6 分
又BD ⊥ AB ，PD BD = D， AB ⊥平面 PBD ；-------------------------------------------+8 分
（3） AD / /BC , 异面直线 AD与PB所成的角为异面直线BC 与 PB所成的角
即： PBC ， ABD 为等腰直角三角形, 由斜边 AD = 2 2 得， AB = BD = 2
由（2）知PD ⊥ BD， PB = PD2 + BD2 = 1+ 22 = 5 --------------------------+9 分
在 Rt BCD 中，CD = 2 ， PC = PD2 +CD2 = 1+ ( 2)2 = 3 ------------+10 分
BP2 + BC2 PC2 ( 5)2 + ( 2)2 ( 3)2 10
cos PBC = = = -----------------+11 分
2 BP BC 2 5 2 5
10
异面直线 AD与 PB所成角的余弦值为 ----------------------------------------------+12 分
5
20. （1）由直线 l1的方程为 x + 2y 4 = 0且 l1 ⊥ l2
可得直线 l2的斜率为 2------------------------------------------------------------------------------+1 分
x 1
1
又 l2在 轴上的截距为 ，即过点 ,0 ------------------------------------------------------+2 分 2 2
1
所以直线 l 方程： y = 2 x 2
2
即 2x y 1= 0，------------------------------------------------------------------------------------+4 分
联立 l1方程，得：
6
x =
2x y 1= 0 5
，
x + 2y 4 = 0 7y =
5
6 7
故交点为 , ------------------------------------------------------------------------------------+6 分
5 5
（2）依据题意可知：
7
当直线 l3在两坐标轴上的截距都为0 时，即 l3 过原点，此时 l3 方程为： y = x 6
即：7x 6y = 0 -----------------------------------------------------------------------------------+8 分
x y
当直线 l3在两坐标轴上的截距都不为0 时不过原点时，设 l3 方程为 + =1------+9 分
a a
6 7
6 7 13
l3 过点 , ， 5 5 ，解得：a = -----------------------------------------+10 分
5 5 + =1 5
a a
5x 5y
故 l3方程为： + =1，即5x +5y 13 = 0 -------------------------------------------+11 分
13 13
综上所述： l3的方程为7x 6y = 0或5x +5y 13 = 0 ----------------------------------+12 分
21. 方法一：当点 A和点 B在直线 l的同侧时，易得 AB//l ．--------------------------+2 分
5 3
∵ k = =1，∴ kl =1AB ．--------------------------------------------------------------------+4 分
3 1
又知直线 l过点P (0,4)，
∴直线 l的方程为 y 4 =1 (x 0)，即 x y + 4 = 0．------------------------------------+6 分
当点 A和点 B在直线 l的异侧，这时直线 l过 AB 的中点 (2,4)．---------------------+8 分
又因为直线 l过点P (0,4)，则直线 l的斜率为 0，直线 l的方程为 y = 4 ------------+10 分
综上所述，直线 l的方程为 x y + 4 = 0或 y = 4．----------------------------------------+12 分
2 2
方法二：设直线 l的方程为 ax + by + c = 0(a + b 0)．
由题设知，直线 l过点P (0,4)，并且点 A(1,3)和点B (3,5)到直线 l的距离相等，则
4b + c = 0
a + 3b + c 3a + 5b + c ，----------------------------------------------------------------------+4 分
=
a2 + b2 2 a +b
2
于是可得 a b = 3a +b ．-----------------------------------------------------------------------+6 分
从而可得a b = 3a + b 或 a b = 3a b，解得a = b或a = 0．------------------------+9 分
当 a = b时，c = 4b ，a 0且b 0 ，此时直线方程为 x y + 4 = 0 ----------------+10 分
当 a = 0时，b 0 ，此时直线方程为 y = 4 --------------------------------------------------+11 分
综上所述，直线 l的方程为 x y + 4 = 0或 y = 4．----------------------------------------+12 分
22. （1） 四边形 ABCD是矩形， BC ⊥ CD ，------------------------------------------+1 分
A1O ⊥平面BCD，且BC 平面BCD， BC ⊥ A1O，---------------------------------+2 分
CD A1O =O， BC ⊥平面 A1CD ，-------------------------------------------------------+3 分
A1D 平面 A1CD ， BC ⊥ A1D ；----------------------------------------------------------+4 分
（2）翻折前，由于四边形 ABCD为矩形，则 AB ⊥ AD ，
翻折后，对应地，有 A1D ⊥ A1B ----------------------------------------------------------------+5 分
由（1）知， BC ⊥平面 A1CD ， A1D 平面 A1CD ， A1D ⊥ BC --------------------+6 分
A1B BC = B ， A D ⊥平面 A1BC1 ，------------------------------------------------------+7 分
A1D 平面 A BD ， 平面 A1BC ⊥1 平面 A1BD ；-----------------------------------------+8 分
（3）过点O在平面 ABCD内作OE ⊥ BD ，垂足为点E ，连接 A1E ，
因为 A1O ⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD，则 A1O ⊥ BD ，
OE ⊥ BD ， A1O OE =O， BD ⊥平面 A1OE ，
A E 平面 A1OE ，故BD ⊥ A1E，所以，二面角 A1 BD C 所成角的平面角为 A1EO1 --+9 分
由（2）知， A1D ⊥平面 A1BC， A1C 平面 A1BC ， A1D ⊥ A1C ，
A1D = AD = BC = 6，CD = AB =10， A
2 2 ，
1C = CD A1D = 8
A1C A1D 24 A1O = = ，---------------------------------------------------------------------------------+10 分
CD 5
在Rt A1BD中， A1D = 6， A1B =10 ，BD = A
2
1D + A B
2
1 = 2 34 ，
A1O ⊥平面 ABCD，OE 平面 ABCD， A1O ⊥OE，
A1B A1D 10 6 30 54
所以， A1E = = = ，EO = A E
2
1 A1O
2 = ，-----------------------+11 分
BD 2 34 34 5 34
EO 54 34 9
所以，cos A1EO = = = ，
A1E 5 34 30 25
9
因此，二面角 A1 BD C 的余弦值为 .-----------------------------------------------------------+12 分
25
