海南州两校2021-2022学年高一上学期期中考试
数学
考试时间：120分钟；分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
单选题（每小题5分，共12×5=60分）
1．下列所给对象不能构成集合的是（ ）
A．一个平面内的所有点 B．所有小于零的实数
C．某校高一（1）班的高个子学生 D．某一天到商场买过货物的顾客
2．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在R是奇函数，当时，， 则 的值（ ）
A．5 B．-5 C．9 D．-9
7．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知=2x+3，则f（6）的值为（ ）
A．15 B．7 C．31 D．17
9．以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A B C D
11．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式.已知()描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为，经过一年，该果树的高为，则该果树的高度超过，至少需要( )
附：
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共5×4=20分）
13．已知函数，且，则__________．
14．已知函数（）的图象如图所示．根据图象写成的单调递减区间为_____________．
15．含有三个元素的集合既可表示成，又可表示成，则__________．
16．设是定义在上的偶函数，且在上是减函数．若，则实数的取值范围是__________．
三、解答题。（本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。）
17.(本小题满分10分)
已知全集U＝R，集合，．求：
(1)；
(2)CUA
(3)CU(A B)
18.(本小题满分12分)
已知函数，．
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
(本小题满分12分)
计算下列各式的值。
；
化简：；；
20.(本小题满分12分)
已知幂函数的图象经过点.
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明：函数在上是减函数
21(本小题满分12分)
已知是定义在R上的奇函数，当时时，
（1）求解析式
（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）
22.(本小题满分12分)
已知函数是奇函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围
试卷第1页，共2页2021-2022 学年度第一学期期中考试卷（答案）
1．C
【分析】
根据集合的定义一一判断即可．
【详解】
一个平面内的所有点具有确定性，符合集合定义，故 A正确；
所有小于零的实数具有确定性，符合集合定义，故 B正确；
某校高一（1）班的高个子学生目标不确定，不符合集合定义，故 C不正确；
某一天到商场买过货物的顾客具有确定性，符合集合定义，故 D正确．
故选：C
2．C
【分析】
根据并集的概念和运算即可.
【详解】
由 A {0， 1，3，2}，B { 2， 1，1}，
得 A B { 2， 1，0，1，2，3}，共 6个元素.
故选：C
3．D
【分析】
分别看每个选项中两个函数的定义域和解析式是否相同即得.
【详解】
对于 A， f (x)的定义域是 R， g(x)的定义域是 0，+ ，故不满足；
对于 B， f (x)与 g(x)的解析式不同，故不满足；
对于 C， f (x)的定义域是 R， g(x)的定义域是 x x 0 ，故不满足；
对于 D， f (x) g(x)，满足
故选：D
4．A
【分析】
根据元素与集合以及集合与集合之间的关系判断即可得正确选项.
【详解】
因为集合 A x | x 1 ，0 1，所以 0 A，故选项 A正确，选项 B不正确；
选项 C中：0 A元素与集合的关系符号错误，故选项 C不正确；
选项 D中： A集合与集合的关系符号错误，故选项 D不正确；
故选：A.
5．B
【分析】
由偶次根式和零次幂有意义的基本要求可构造不等式求得结果.
【详解】
1
2x 1 0 x 2 1 3 3
要使函数有意义，则 ，解得： ， 函数的定义域为 , , .
4x 3 0
3 x 2 4 4
4
故选：B．
6．B
【分析】
根据函数 y f x 在 R是奇函数，可得 f 2 f 2 ，即可得出答案.
【详解】
解：因为函数 y f x 在 R是奇函数，
f 2 f 2 22所以 1 5 .
故选：B.
7．D
【分析】
根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.
【详解】
1
解：A， y x是过第一、三象限的反比例函数，在 0, 上为减函数，即 A不符合题意；
B， y x 1 2是开口向上的二次函数，对称轴为 x 1，
在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数，即 B不符合题意；
x
C， y 2 x 1 在 R上单调递减，即 C不符合题意；
2
D， y log2 x 1 在 1, 上单调递增，而 1, 0, ，即 D正确.
故选：D.
8．D
【分析】
利用换元法求出 f (x) 2x 5，将 x 6代入计算即可.
【详解】
由题意知，令 t x 1，则 x t 1，
由 f (x 1) 2x 3得 f (t) 2(t 1) 3 2t 5，
所以 f (x) 2x 5，所以 f (6) 2 6 5 17 .
故选：D
9．C
【分析】
依次判断各个选项的奇偶性和单调性，即可得解
【详解】
选项 A，定义域为 R， f ( x) 3x f (x)为奇函数，错误；
x, x 0
选项 B，定义域为 R，f ( x) | x | f (x)
为偶函数，但 f (x) 在 0, x, x 0 上单调递增，
错误；
选项 C，定义域为 R， f ( x) 2x 2 f (x) 为偶函数，为对称轴为 x 0的开口向下的二次函
数，故在 0, 上单调递减，正确；
1
选项 D，定义域为{x | x 0}, f ( x) f (x) 为奇函数，错误.
x
故选：C
10．B
【分析】
由函数 f (x) ax b 的图象可得 a 1，b 1，从而可得 g(x) ax b的大致图象．
【详解】
由 f (x) ax b 的图象可得 f (0) b 1， f (1) a b 0，
所以 a 1，b 1，
故函数 g(x) ax b为增函数，相对 y a x向下平移大于 1个单位
故选：B
11．A
【分析】
根据对数的运算法则及对数函数的性质判断可得；
【详解】
1 3
解：因为b log16 9 log
2
2 3 log4 3 log4 2 3，又 2 log2 4 log2 3 log 22
3
2 ，所以2 2
b 3 ,1 1
3 3 a 1 3 ， a log
9 5 log3 5，又4 1 log33 log35 log33
2 ，所以 , ，
2 2 2 4
c (16
1 1
) 2 ( 9 )2 3 ，
9 16 4
所以b c a，
故选：A
12．B
【分析】
首先根据已知条件求出 f (x)，然后求不等式 f (x) 4.8即可.
【详解】
由题意可知，
f (0)
5
1
1 2b k 2
5 f (1) 2.5 b 2
，
k b 1 2
f (x) 5故 ，
1 2 2x 2
由 f (x)
5
2x 2 4.8
5 1
，解得 x + log2 3 3.3，1 2 2 2
故该果树的高度超过 4.8m，至少需要 4年.
故选：B.
填空题
13．-2
【分析】
由条件可知，当 x 1时， f (x) x 2 4；当 x 1时， f (x) 8x 4，由此求出 x的值即可．
【详解】
2
∵函数 f (x)
x , x 1
，且 f (x) 4，
8x, x 1
∴当 x 1时， f (x) x 2 4，解得 x 2或 x 2（舍），
1
当 x 1时， f (x) 8x 4，解得 x （舍），
2
综上， x的值为-2．
故答案为：-2．
14． 1,2 ．
【分析】
由图象以及单调性的定义即可写出答案.
【详解】
由题图可知 f (x)在 2,6 上的单调递增区间为 2, 1 和 2,6 ，
单调递减区间为 1,2 ．
故答案为： 1,2
15． 1
【分析】
先根据集合中元素的无序性与互异性求参数 a，b，再代入计算即得结果.
【详解】
由题意 a,
b ,1 a2 ,a b,0
a
，
b
显然 a 0，故 0，即b 0，
a
此时 a,0,1 a2 ,a,0 ，
故 a2 1或 a2 a，即 a 0, 1,1
又 a 0
（1）当 a 1时，两个集合分别为 1,0,1 ， 1,1,0 不满足集合中元素的互异性，
（2）当 a 1时，两个集合分别为 1,0,1 ， 1, 1,0 ，成立
故 a 1
所以 a2021 b2021 1 2021 02021 1 .
故答案为： 1
16． 2,2
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【详解】
解：∵ f (x)是定义在 R上的偶函数，且 f (x)在 0, 上是减函数，
∴不等式 f m f 2 ，等价为 f m f 2 ，
即 m 2，
解得 2 m 2，
故答案为： 2,2 ．
解答题
17．(1){x | x 2}
5
；(2){x | x 2或 x 4}；(3){x | x 或 x 4} .
2
【分析】
首先求出集合 B，然后根据集合的交并补运算即可.
【详解】
5 5
(1)因为 2x 5 0，所以 x ，故 B {x | x }，..............................................................1分
2 2
因为 A {x∣2 x 4} ..................................................................................................................2分
从而 A B {x | x 2}；.............................................................................................................3分
(2)因为全集 U＝R，
所以 U A {x | x 2或 x 4}；..................................................................................................5分
(3)因为 A B {x |
5
x 4}，..................................................................................................7分
2
所以 U (A B) {x | x
5
或 x 4} ..........................................................................................10分
2
18．（1）函数 f x 在 x 3,5 3 5上单调递增，证明见解析；（2）最大值为 ，最小值为 .
2 4
【分析】
（1）设任意的 x1, x2满足3 x1 x2 5，对 f x1 , f x2 作差，因式分解判断其正负，进而
结合单调性的概念即可得出结论；
（2）利用函数的单调性即可求出最值.
【详解】
（1）函数 f x 在 x 3,5 上单调递增；
证明如下：设任意的 x1, x2满足3 x1 x2 5，
2x1 1 2x2 1
因为 f x1 f x2 x 1 x 1 ...........................................................................2分1 2
2x1 1 x2 1 2x2 1 x 1 1
x1 1 x2 1
3 x1 x2
x 1 x 1 ，..............................................................................................................3分1 2
因为3 x1 x2 5，所以 x1 1 0, x2 1 0, x1 x2 0 ，.....................................................4分
因此 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，............................................................................5分
所以函数 f x 在 x 3,5 上单调递增.......................................................................................6分
（2）由（1）知函数 f x 在 x 3,5 上单调递增，
所以 f x f 3 2 3 1 5 min ；...........................................................................................8分3 1 4
f x f 5 2 5 1 3 max ，.................................................................................................10分5 1 2
因此函数 f x 在 3,5 3 5上的最大值为 ，最小值为 ............................................................12分
2 4
19．（1）10；（2）1．
【分析】
（1）利用有理数指数幂的运算性质求解；
（2）1）利用对数的运算性质即可求解.
【详解】
解：（1）原式 4 1 5 0 5 5 10；..................................................................6分
100
lg(20 5) lg80 lg
（1）原式 805 1；....................................................................6分lg5 lg 4 lg
4
1
20．（1） f x 2 ；（2）证明见解析.x
【分析】
1 f x xa 1（ ）设幂函数 ，由已知条件可得出 f 2 ，求出 a的值，即可得出幂函数 f x
4
的解析式；
（2）任取 x1、 x2 0, 且 x1 x2，作差 f x1 f x2 ，因式分解后判断 f x1 f x2 的
符号，即可得出结论.
【详解】
（1）设幂函数 f x xa，.....................................................................................2分
则有 f 1 2 2 a ，.............................................................................3分
4
–2 2 2 a即 ， a –2，................................................................4分
所以， f x x 2 1 2 ；..............................................................................6分x
（2）证明：任取 x1、 x2 0, 且 x1 x2，........................................................7分
2 2
1 1 x2 x1 x2 x1 x2 x则 f x1 f x 1
2 x2 x2 2 2 ，..........................................9分1 2 x1x2 x1x2
因为 x2 x1 0，故 x2 x1 0，即 f x1 f x2 0，所以， f x1 f x2 ，...............10分
因此，函数 f x 在 0, 上是减函数...............................................................................12分
x2 2x 1, x 0
21．（1） f (x) 0, x 0 ；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：( 1,0)，
2
x 2x 1, x 0
(0,1)，单调递减区间为： ( ,1)， (1, ) .
【分析】
（1）根据奇函数的性质，当 x 0时， f (0) 0，当 x 0时， f (x) f ( x) x 2 2x 1 ，
即可得解；
（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.
【详解】
（1）当 x 0时， f (0) 0，............................................................................1分
当 x 0时， x 0， f (x) f ( x) x 2 2x 1，.....................................3分
x2 2x 1, x 0
所以 f (x)
0, x 0 ，.....................................................................6分
x
2 2x 1, x 0
（2） f (x)的图像为：
...................................................10分
单调递增区间为： ( 1,0)， (0,1)，......................................................................................11分
单调递减区间为： ( ,1)， (1, ) .......................................................................................12分
1 1
22．（1）
；（2） a | a 3
2
.
2
【分析】
（1）由 g x 是定义在 R的奇函数，得 g(0)=0，解得 n=-1；再根据 f x 是偶函数满足 f(-x)=f(x),
m 1比较系数可得 ，由此可得m n的值；
2
（2）由（1）可得 h x log 4 x4 1 ，易得 h log4 2a 1 log4 2a 2 ，而 g x 2x 2 x
在区间[1, )上是增函数，求出 g x 3 min ，把原不等式转化为2
3
2a 2 42
2a 2 0 ，即可解得.
2a 1 0
【详解】
x 0
（1）由 g x 4 n x 是奇函数，得 g(0)=0,即 g x
4 n
0 0，解得 n=-1；................2分2 2
因为 f x log4 4x 1 mx是偶函数,所以 f(-x)=f(x),即 log 4 x4 1 mx log4 4 x 1 mx
恒成立，所以 mx m 1 x恒成立，故m 1 ，...........................................................4分
2
1 1
综上所述,可得m n 1 . ...........................................................................................6分
2 2
(2)∵h x f x 1 x log4 4x 1 ，∴ h log4 2a 1 log4 2a 2 .......................7分2
g x 2x 2 x又∵ 在区间[1, )上是增函数，
∴当 x≥1时, g x g 1 3 min .......................................................................................8分2
3
2a 2 42
由题意,得 2a 2 0
1
，解得： a 3 ....................................................................11分
2
2a 1 0
1
因此,实数 a的取值范围是 a | a 3 ....................................................................12分
2
【点睛】
（1）应用函数奇偶性求参数的值:
①一般用 f (x) f (x)或 f (x) f ( x) ;②有时为了计算简便,我们可以对 x取特殊值:
f (1) f (1)或 f (1) f ( 1) .
（2）恒（能）成立问题一般利用分离参数法求解.
