江苏省南京市2021—2020学年第一学期12月高三数学六校联合调研试题（图片版含答案解析）

江苏省南京市2021—2020学年第一学期12月六校联合调研试题（图片版含答案解析）
高三数学
(注其他方法正确,酌情给分)
20.(本题满分12分)
解:(1)证明:∵四边形ABCD是直角梯形,AD=CD=2,BC=4,
AC=2 2, AB=V(BC-AD)2+CD2=22,
△ABC是等腰直角三角形,即AB⊥AC,
…2分
∵PA⊥平面ABCD,ABc平面ABCD,∴PA⊥AB,
又PA∩AC=A,∴AB⊥平面PAC,
4分
又PCC平面PAC,∴AB⊥PC
……………………………6分
(2)过点M作MN⊥AD于N,则MN∥PA,
MN⊥平面ABCD,∴MN⊥AC.
过点M作MG⊥AC于G,连接NG,则AC⊥MG
∠MGN是二面角M-AC-D的平面角
若c
cos∠MGN
3,则2NG=MN,又AN=2NG=MN,
设MN=x,则AN=x,MD=2-x,
∵△MND是等腰直角三角形,解得x=2-x,
∴MN=1
10分
在三棱锥M-ABC中,VM1.ABC=1sABC·MN=1×1×4×2×1=
…………12分
(2)另解:过点A作AE⊥BC于E,以A点为原点,AE,AD,AP所在直线分别为x轴,y
轴,z轴建立平面直角坐标系
取平面DAC的法向量AP=(0,0,2).
……8分
设M(0,a,2-a)(0设平面CAM的法向量为n=(x,y,2)
x+2y=0
由AC,n=0,AM·n=0得{y+(02=0·可取n=(a-2.2-a,-a,
所以cos=3.得a=1
10分
故M.ABC=1S△ABC·a=1×1×4×2×1
32
3
21.(本小题满分12分)
解:(1)直线l:y=2x-4
2x-4,x=4
由
得
2分
y4=4x
=4y=-2
所以A(4,4),B(1,-2),故AB=35.
(2)存在x轴上的点N-a,0)满足题意,证明如下:
5分
设直线l:x=my+a
得
4x
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y+y2=4m,yy=-4a.…………………………7分
+y2=当(x2+a)+y2(x+a)
x,+a x+a
a)(x2+
=(my2+2a)+y2(m+2a)2myy2+2a(+y2)
(x1+a)(x2+a)
(x1+a)(x2+a)
2m·(-4a)+2a.4m
……………………10分
=0
(x1+a)(x2+a)
所以kN+kN=0,可知AN,BN的倾斜角互补,所以∠ANM=∠AMN.
所以NM为△ABN的角平分线,
由正弦定理
BM
BN
AM
AN
sin∠ BMM sin∠ BMN sin∠ AMM sin∠AMN
两式相除NAM
BN BM
综上,存在x轴上的点N(-a,0)满足题意
12分
22.(本小题满分12分)
解:(1)已知函数fx)=ea+ blinx-1的图象在原点处的切线方程为y=2x
则f(0)=2,f(0)=0
2分
解得a=0.b=1,则f(x)=e+sinx-1
分
(2)证/x)2x,即证e+sinx-2x-120,令g(x)=e+sinx-2x-1,则g(0)=0,…5分
g(x)=c+cosx-2.则g(O)=0,令hx)=c+cosx-2,则h(0)=0,h(x)=e-sinx
当x>0时,h(x)=e-sinx>0,则h(x)在(0,+∞)上是增函数,h(x)>h(0)=0,即g(x)>0.
则g(x)在(0,+∞)上是增函数,则g(x)>g(O)=0
7分
一兀0,-sinx>0,所以h(x)>0,h(x)在(-兀,O)上的增函数,h(x)=0.即g(x)<0,函数g(x)在区间(-π,0)单调递减,在区间(-π,0)上,g(x)>
g(0)=0
10分
又当x≤一π时,g(x)=e+sinx-2x-1>2x-2>0.
综上所述g(x)0,即fx)≥2x
12分