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2.4.2二次函数的应用教学设计
课题 2.4.2二次函数的应用 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值． 2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
重点 探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力.
难点 能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 二次函数最值计算模型： 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,若自变量x取任意实数，则： (1)当a>0时，x=-， (2)当a<0时，x=-， 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 数量关系：销售额= 。 （2）利润= 。 （3）单件利润= 。 回顾旧知，回答 通过回顾二次函数的最值问题，为新课讲解提供铺垫.
讲授新课 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查、以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000 件、并表示单价每降价0.1元，愿意多经销 500件. 你能帮助厂家分析，批发单价是多少时可以获利最多吗？ 降价前： 1、每件T恤衫成本 ; 批发价 ；销售量 ; 利润 ； 降价后： 每件T恤衫成本 ; 批发价 ；销售量 ； 利润 ； 解： 典例精析 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160 元时、每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加1元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高 涨价前： 1、每间客房日租金 ; 出租量 ; 总收入 ； 涨价后： 2、每间客房日租金 ; 出租量 ; 总收入 ； 解： 想一想： 自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上升，销量下降，因此只要考虑销量就可以，故120-6x≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. 价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以 总结：求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 议一议 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子、现准备多种一些橙子树以提高果园产量、但是如果多种树，那么树之间的距离和每 棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.若假设果园增种x棵橙子树，橙子总产量为y个. (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上？ 针对上述问题的思考，我们可以发现在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要。所以，大家再利用二次函数的知识解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用。 学生尝试独立解决，交流、汇报. 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法 举手学生回答，口述自己的想法和思考结果，有不同见解的学生发表看法。 听讲、看幻灯片展示、思考，说出从表格和图像中看出的问题结果。 问题情境的创设，意在让学生初步感受二次函数在生活中的应用模型，同时通过设置疑问，激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强应用意识. 在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学的意识，增强学习数学的兴趣和信心，使其解题能力和应用能力得到进一步提升.
课堂练习 1.某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（ ） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 2.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ） A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月 3.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定 为 元. 4.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 . 每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. 5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 6.我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本） 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §2.4.2二次函数的应用例1、议一议 学 生 活 动 区
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
2.4.2二次函数的应用
北师大版 九年级下册
复习旧知
二次函数最值计算模型：
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,若自变量x取任意实数，则：
(1)当a>0时，x=-，
(2)当a<0时，x=-，
复习旧知
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
18000
6000
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
新知讲解
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查、以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000 件、并表示单价每降价0.1元，愿意多经销 500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多
降价前：
1、每件T恤衫成本 ; 批发价 ；
销售量 ; 利润 ；
降价后：
2、每件T恤衫成本 ; 批发价 ；
销售量 ；利润 ；
13元
5000件
10元
y元
10元
x
5000+
15000元
新知讲解
解：设厂家批发单价是x元，获得的利润是y元。由题意，
得 y=(x-10)(5000+)
=-5 000x2+120000x-700000.
∵a=-5 000<0,
∴当x=
因此，厂家批发单价是12元时可以获利最多.
典例精析
某旅社有客房120间，每间房的日租金为160 元时、每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加1元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高
典例精析
涨价前：
1、每间客房日租金 ; 出租量 ;
总收入 ；
涨价后：
2、每间客房日租金 ; 出租量 ;
总收入 ；
160元
120间
(160+10x)元
y元
120-6x
19200元
典例精析
解：设每间客房日租金提高到x个10元，则每天客房出租数会减少6x元，日租金的总收入为y元。由题意，得
整理，得y=-60(x-2)2+19440.
∵x≥0，且120-6x≥0
∴0≤x≤20
∴当x=
日租金提高到180元，总收入可以达到最高.
160+2×10=180元
y=（160+10x）（120-6x）
想一想
自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上升，销量下降，因此只要考虑销量就可以，故120-6x≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以.
归纳总结
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
议一议
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子、现准备多种一些橙子树以提高果园产量、但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.若
假设果园增种x棵橙子树，橙子总产量为y个.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上？
解：依题意可得：y= -5x2+100x+60000
议一议
1、列表
2、描点； 3、连线
（3）由表格和图象观察可知：当6≤x≤14 时，可以使橙子总产量超过60400个.
通过绘制图形可以直观看到，果园的树木棵数并不是越多越好，产量的多少取决于科学的计算果树的棵数．
反思
针对上述问题的思考，我们可以发现在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要。所以，大家再利用二次函数的知识解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用。
课堂练习
某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（ ）
A．160元 B．180元 C．140元 D．200元
2.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月
C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
A
D
课堂练习
3.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
4.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 . 每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
课堂练习
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
x
y
5
16
O
7
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大是25元；
(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
课堂练习
6.我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本）
课堂练习
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0），把x=22，y=780和x=25，y=750代入y=kx+b，
解得：
∴函数关系式为y=-10x+1000
课堂练习
（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，则
w=y(x-20)=(-10x+1000)(x-20)=
∵a=-10，∴当x＜60时，y随着x的增大而增大.
又∵20≤x≤30，∴ 当x=30时，W最大，最大为7000元.
特别注意
本题属于有条件的利润最值问题，在确定了对称轴的位置以后，一定要结合自变量的实际范围和函数的增减性来确定最大值.
作业布置
1.课本习题2.9第2、3题
2.某商店购进一批单价为20元的日用商品．如果以单价50元销售，那么半月内可合出400件。根据销售经验.提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
确定自变量的取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
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