人教版八年级上册 14.3因式分解（十字相乘法）教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册 14.3因式分解（十字相乘法）教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 37.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-03 12:40:25 | ||
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文档简介
“十字相乘法”教学设计
学情分析——补充教学的必要性
旧人教版书本介绍的十字相乘法这种因式分解的方法，在现行的版本上对这一教学内容作了删除处理，只是在后面的阅读与思考中稍稍提到。但我觉得很有必要向学生介绍这方面的知识。首先这种因式分解的方法学生是完全可以接受的，因为十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行因式分解等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行因式分解之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的因式分解，是从特殊到一般的认知规律的典型范例。其次这种因式分解的方法在数额上的数学学习中仍具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的因式分解方法，能直接运用于某些形如x2+px+q这类二次三项式的因式分解，再是还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上。为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位。因此我们很有必要在学生学有余力的情况下加以补充教学。
教学目标
1. 知识与技能
⑴了解十字相乘法的特征。
⑵理解十字相乘法这一因式分解的方法及其适用环境。
2. 过程与方法
⑴会用十字相乘法，进一步因式分解的意义；
⑵通过问题的解决使学生掌握运用十字相乘法对某些形如x2+px+q的二次三项式进行分解因式的方法。
3.情感、态度与价值观
⑴进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性，
⑵体会从特殊到一般、从具体到抽象等数学思想和方法。
教学重点、难点：
重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式x2+px+q的因式分解。
难点：在x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使ab=q，a+b=p
教学过程
一、创设情境 导入新课
情景一 ⑴ 你还记得什么是因式分解吗？
⑵ 你还记得二次三项式x2-4x+4是如何进行因式分解的吗？
⑶ 你会对二次三项式x2+5x+6进行因式分解吗？
二、合作学习 探究新知
(一) 自主学习
1. 计算两个一次二项式的积 (x+a) (x+b) = x2+(a+b)x+ab
2. 观察上述乘积是个怎样的整式，乘积中常数项和一次项的系数与相乘的那两个一次二项式中的常数项和一次项系数存在怎样的关系？
3. 计算①(x+2) (x+3) , ②(x-3) (x+4) ；再次验证乘积中上述关系。
(二) 探究新知
1. 因式分解与整式乘法存在怎样的关系？
2. 根据因式分解与整式乘法的关系，二次三项式x2+(a+b)x+ab可以因式分解吗？
3. 二次三项式x2+5x+6能因式分解吗？ x2+x-12呢？
4. 你能说说二次三项式x2+(a+b)x+ab ；x2+5x+6 ；x2+x-12的共同特点吗？
师生共议特点：1）二次项系数是1；
2）常数项是两个因数之积；
3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
(三) 建构模型
1. 我们知道(x+2) (x+3) = x2+5x+6，反过来，就得到二次三项式x2+5x+6的因式分解形式，即x2+5x+6 = (x+2) (x+3)，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，(x+a) (x+b) = x2+(a+b)x+ab，反过来，就得到
2．在二次三项式x2+px+q能否分解中起决定作用的是什么？
这就是说，对于二次三项式x2+px+q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2+px+q = x2+(a+b)x+ab = (x+a) (x+b)。可以用交叉线来表示：
3. 师生归纳十字相乘法的定义
利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
4. 思考：有了这个方法是否可以分解任何一个二次三项式了？(如x2-3x+4)
三、例题解析 点拨升华
1. 例析. 把下列各式分解因式
⑴ x2-7x+10 ⑵ x2+3x-10 ⑶ x2-11x+24 ⑷ x2+4x-21
2. 学法点拨
⑴ 通过例题教学可以看出，怎样对x2+px+q分解因式？
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。
⑵ 十字相乘法因式分解的步骤：
①列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；
③将原多项式分解成两个因式的乘积的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数
四、新知运用 适度提高
1. 若多项式 x2-8x+m可分解为(x-2) (x-6), 则m的值为 。
2. 若多项式 x2-kx-18可分解为(x+1) (x-18), 则k的值为 。
3. 把下列各式分解因式 ⑴x2+3x-4 ⑵ x2-x-6 ⑶ x2-3x-4 ⑷ x2-10x+9
4. 若多项式 x2-2x+m可分解为(x+3) (x-n), 则m的值为 ；n的值为 。
5. 解方程 ⑴ x2+5x-14 = 0 ⑵ x2-8x+12 = 0
五、自主小结，达成共识
1、这堂课中你学到什么？你有什么感受？
六、作业布置
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学情分析——补充教学的必要性
旧人教版书本介绍的十字相乘法这种因式分解的方法，在现行的版本上对这一教学内容作了删除处理，只是在后面的阅读与思考中稍稍提到。但我觉得很有必要向学生介绍这方面的知识。首先这种因式分解的方法学生是完全可以接受的，因为十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行因式分解等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行因式分解之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的因式分解，是从特殊到一般的认知规律的典型范例。其次这种因式分解的方法在数额上的数学学习中仍具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的因式分解方法，能直接运用于某些形如x2+px+q这类二次三项式的因式分解，再是还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上。为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位。因此我们很有必要在学生学有余力的情况下加以补充教学。
教学目标
1. 知识与技能
⑴了解十字相乘法的特征。
⑵理解十字相乘法这一因式分解的方法及其适用环境。
2. 过程与方法
⑴会用十字相乘法，进一步因式分解的意义；
⑵通过问题的解决使学生掌握运用十字相乘法对某些形如x2+px+q的二次三项式进行分解因式的方法。
3.情感、态度与价值观
⑴进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性，
⑵体会从特殊到一般、从具体到抽象等数学思想和方法。
教学重点、难点：
重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式x2+px+q的因式分解。
难点：在x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使ab=q，a+b=p
教学过程
一、创设情境 导入新课
情景一 ⑴ 你还记得什么是因式分解吗？
⑵ 你还记得二次三项式x2-4x+4是如何进行因式分解的吗？
⑶ 你会对二次三项式x2+5x+6进行因式分解吗？
二、合作学习 探究新知
(一) 自主学习
1. 计算两个一次二项式的积 (x+a) (x+b) = x2+(a+b)x+ab
2. 观察上述乘积是个怎样的整式，乘积中常数项和一次项的系数与相乘的那两个一次二项式中的常数项和一次项系数存在怎样的关系？
3. 计算①(x+2) (x+3) , ②(x-3) (x+4) ；再次验证乘积中上述关系。
(二) 探究新知
1. 因式分解与整式乘法存在怎样的关系？
2. 根据因式分解与整式乘法的关系，二次三项式x2+(a+b)x+ab可以因式分解吗？
3. 二次三项式x2+5x+6能因式分解吗？ x2+x-12呢？
4. 你能说说二次三项式x2+(a+b)x+ab ；x2+5x+6 ；x2+x-12的共同特点吗？
师生共议特点：1）二次项系数是1；
2）常数项是两个因数之积；
3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
(三) 建构模型
1. 我们知道(x+2) (x+3) = x2+5x+6，反过来，就得到二次三项式x2+5x+6的因式分解形式，即x2+5x+6 = (x+2) (x+3)，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，(x+a) (x+b) = x2+(a+b)x+ab，反过来，就得到
2．在二次三项式x2+px+q能否分解中起决定作用的是什么？
这就是说，对于二次三项式x2+px+q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2+px+q = x2+(a+b)x+ab = (x+a) (x+b)。可以用交叉线来表示：
3. 师生归纳十字相乘法的定义
利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
4. 思考：有了这个方法是否可以分解任何一个二次三项式了？(如x2-3x+4)
三、例题解析 点拨升华
1. 例析. 把下列各式分解因式
⑴ x2-7x+10 ⑵ x2+3x-10 ⑶ x2-11x+24 ⑷ x2+4x-21
2. 学法点拨
⑴ 通过例题教学可以看出，怎样对x2+px+q分解因式？
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。
⑵ 十字相乘法因式分解的步骤：
①列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；
③将原多项式分解成两个因式的乘积的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数
四、新知运用 适度提高
1. 若多项式 x2-8x+m可分解为(x-2) (x-6), 则m的值为 。
2. 若多项式 x2-kx-18可分解为(x+1) (x-18), 则k的值为 。
3. 把下列各式分解因式 ⑴x2+3x-4 ⑵ x2-x-6 ⑶ x2-3x-4 ⑷ x2-10x+9
4. 若多项式 x2-2x+m可分解为(x+3) (x-n), 则m的值为 ；n的值为 。
5. 解方程 ⑴ x2+5x-14 = 0 ⑵ x2-8x+12 = 0
五、自主小结，达成共识
1、这堂课中你学到什么？你有什么感受？
六、作业布置
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