14.2 乘法公式
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.（3分）下列运算正确的是
A. B.
C. D.
2.（3分）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？
A.
B.
C.
D.
3.（3分）下列各式，能用平方差公式计算的是
A. B.
C. D.
4.（3分）已知，则代数式的值为
A. B. C. D.
5.（3分）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是
A. B.
C. D.
6.（3分）若，则、、的值为
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7.（3分）如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的一个角上切去一个边长为的正方形，剩下图形的面积是，过点作，垂足为将长方形切下，与长方形重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为，则正方形的面积是
A. B. C. D.
8.（3分）已知：，则的值为
A. B. C. D.
9.（3分）将图中四个阴影小正方形拼成边长为的正方形，如图所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式
A.
B.
C.
D.
10.（3分）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是
A. B. C. D.
11.（3分）如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.（3分）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是
A. B.
C. D.
13.（3分）如图，将一边长为的正方形最中间的小正方形与四块边长为的正方形其中拼接在一起，则四边形的面积为
A. B.
C. D.
14.（3分）关于进行的变形或运算：①；②；③；④其中不正确的是
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
15.（3分）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
16.（3分）已知，，则______.
17.（3分）如图，正方形、正方形的一边重合，它们边长分别为，，则的面积是 ______.
18.（3分）如图，已知正方形的边长为，点是延长线一点，以为边作正方形，连接、、，那么的面积为 ______.
19.（3分）符号：“”称为二阶行列式，规定它的运算法则是，例如，那么______.
20.（3分）设，，若，，则______.
三 、解答题（本大题共4小题，共32分）
21.（8分）先化简，再求值：，其中
22.（8分）有三个不等式，，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
小红在计算时，解答过程如下：
……第一步
……第二步
……第三步
小红的解答从第 ______ 步开始出错，请写出正确的解答过程.
23.（8分）已知
求的值
求的值.
24.（8分）【阅读理解】
我们知道：①，②，①②得：，
所以
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：
【发现运用】根据阅读解答问题
填空：____________；
请运用你发现的规律计算：
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：由合并同类项的法则，得，故不符合题意．
B.由积的乘方以及幂的乘方，得，故不符合题意．
C.由同底数幂的除法，得，故不符合题意．
D.由完全平方公式，得，故符合题意．
故选：
根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
此题主要考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，熟练掌握合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式是解决本题的关键．
2.【答案】C;
【解析】解：选项：不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为，所以不符合题意；
选项：不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意；
选项：，所以符合题意；
选项：不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意．
故选：
根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．
此题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：是解答问题的关键．
3.【答案】B;
【解析】解：不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B.，符合平方差公式，故本选项符合题意；
C.不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D.不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：
根据平方差公式逐个判断即可．
此题主要考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：
4.【答案】C;
【解析】解：，
故选：
根据平方差公式解答即可．
此题主要考查了平方差公式．解答该题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即
5.【答案】C;
【解析】解：、不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
、，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
、，故选项符合题意；
、不符合平方差公式，故选项不符合题意，
故选：
根据各个选项中的式子可以变形，然后看哪个式子符合平方差公式，即可解答本题．
此题主要考查平方差公式，解答该题的关键是能运用平方差公式，需满足一组相同项和一组相反项．
6.【答案】D;
【解析】解：，
，
，，，
解得：，，
故选：
利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可．
此题主要考查了积的乘方的计算法则以及整式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7.【答案】C;
【解析】解：由题意可知，由于，
拼成的长方形的较长的边为，较短的边为，
因此有，，
解得，，
因此正方形的面积为，
故选：
根据拼图前后各部分之间的关系可求出、的值，再计算面积即可．
此题主要考查平方差公式的几何背景，分别表示出拼图后长方形的长与宽以及列方程求解是正确解答的关键．
8.【答案】C;
【解析】解：设，，
，
，
原式
，
故选：
根据完全平方公式，即可求出答案．
此题主要考查完全平方公式，解答该题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
9.【答案】A;
【解析】解：图中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为的正方形，如图，因此面积为，
图中，四个阴影小正方形的面积和，可以看作从边长为的大正方形中减去空白部分的面积，即，
因此有，
故选：
从整体和部分两个方面，分别表示阴影部分的面积即可．
此题主要考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．
10.【答案】D;
【解析】解：根据平方差公式得：
所以两个连续奇数构造的“好数”是的倍数
，，都不能被整除，只有能够被整除．
故选：
利用平方差公式计算，得到两个连续奇数构造的“好数”是的倍数，据此解答即可．
此题主要考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：是解题关键．
11.【答案】A;
【解析】解：图①中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图②中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图③中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图④中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
故选：
根据每个图所反映的拼接方法，用不同的方法表示阴影部分的面积后再进行判断即可．
此题主要考查平方差公式的几何背景，用代数式拼接前后的阴影部分面积是得出结论的关键．
12.【答案】B;
【解析】解：能用平方差公式计算的是，其它的不能用平方差公式计算．
故选：
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13.【答案】D;
【解析】解：，，
故选：
先求出和的长，再根据面积和求解即可．
此题主要考查的是完全平方公式的几何背景，正确识图是关键，掌握完全平方公式：
14.【答案】B;
【解析】解：①，正确；
②，正确；
③，故原说法错误；
④，故原说法错误．
其中不正确的有③④，
故选：
利用完全平方公式，绝对值的定义，去括号和添括号法则逐一判断即可．
此题主要考查了完全平方公式，绝对值的定义，去括号和添括号法则，利用相应的法则判断是解答该题的关键．
15.【答案】A;
【解析】解：根据题意得：
故选：
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题主要考查了整式的混合运算，弄清题中的计算程序是解本题的关键．
16.【答案】7;
【解析】解：，
，
故答案为：
由，得由，得，那么，从而解决此题．
此题主要考查完全平方公式以及整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的加减运算法则是解决本题的关键．
17.【答案】;
【解析】解：
，
正方形的边长保持不变，
的面积不会发生改变，总是等于
故答案为：
根据三角形面积公式，利用面积的和差计算出，从而可判断的面积不会发生改变．
此题主要考查整式的混合运算，解答该题的关键是根据图形列出面积的代数式及整式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】;
【解析】解：设的长为，则的长为，
由图可得，，
，
即，
故答案为：
先设出小正方形的边长，然后根据图形可以发现，然后代入数据计算即可．
此题主要考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】-3;
【解析】解：
，
故答案为：
先列出算式，再根据单项式乘单项式法则算乘法，最后合并同类项即可．
此题主要考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，能熟记单项式乘单项式法则是解此题的关键．
20.【答案】-3;
【解析】解：因为，，若，，
所以，，
两式相减得，
解得，
所以
故答案为：
根据完全平方公式得到，，两式相减即可求解．
此题主要考查了完全平方公式．解答该题的关键是掌握完全平方公式，完全平方公式：
21.【答案】解：原式=+2x+1--x
=x+1，
当x=2021时，
原式=2021+1
=2022．;
【解析】
根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
此题主要考查整式的运算，解答该题的关键是运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
22.【答案】一;
【解析】解：第一种组合：，
解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是；
第二种组合：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组无解；
第三种组合：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组无解；
任选其中一种组合即可；
一，
解：
故答案为一．
根据题意，挑选两个不等式，组成不等式组．然后解之即可．
应用完全平方公式错误．
此题主要考查了解一元一次不等式组，解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了；也考查了整式的运算．
23.【答案】解：，，
原式
；
，，
原式
;
【解析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
原式利用多项式乘以多项式法则计算，把已知等式代入计算即可求出值；
原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值.
24.【答案】（） （）;
【解析】解：；
故答案为：，；
根据规律解答即可；
根据规律计算即可．
此题主要考查了平方差公式的运用，熟记平方差公式是解答该题的关键．14.2 乘法公式
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.下列运算正确的是
A. B.
C. D.
2.
A. B. C. D.
3.下列算式能用平方差公式计算的是
A. B.
C. D.
4.图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线对称轴剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是
A. B.
C. D.
5.将个数，，，排成行，列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则的值为
A. B. C. D.
6.下列各式可运用平方差公式计算的是
A. B.
C. D.
7.利用乘法公式判断，下列等式何者成立？
A.
B.
C.
D.
8.已知，为任意实数，则、的大小关系为
A. B. C. D. 不能确定
9.如图，从边长为的正方形纸片中减去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图所示的长方形不重叠，无缝隙，则拼成的长方形的另一边的长为
A. B. C. D.
10.根据图中的图形面积关系可以说明的公式是
A. B.
C. D.
11.有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形按原纸张进行无空隙、无重叠拼接，则拼成的正方形的边长最长可以为
A. B. C. D.
12.若，，则的值是
A. B. C. D.
13.下面有道题，小明在横线上面写出了答案：①，②，③，④若，则他写对答案的题是
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
14.若，则，的值分别为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
15.下面是一位同学做的四道题：①；②；③；④其中做对的一道题的序号是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
16.已知，则代数式的值为______.
17.一个正方形的边长减少，它的面积就减少，则原正方形的边长是 ______
18.已知，满足方程组，则的值为 ______.
19.计算…………______.
20.计算的结果是______.
三 、解答题（本大题共4小题，共32分）
21.（8分）先化简，再求值：，其中
22.（8分）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形阴影部分观察图形，解答下列问题：
根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法：______，方法：______；
从中你发现什么结论呢？______；
运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
23.（8分）请阅读以下材料：
材料若，，试比较，的大小．
解：设，那么，
因为，
所以
我们把这种方法叫做换元法．
请仿照例题比较下列两数大小：，
24.（8分）如图①所示，是一个长为，宽为的长方形，沿途中虚线剪成四个全等的小长方形，然后按图②所示的形状拼成一个较大的正方形．
请用种方法表示图②中阴影部分的面积只需表示，不必化简；
比较的两种结果，你能得到怎样的等量关系．
请你用中得到的等量关系解决下面问题，如果，，求的值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：，故选项不符合题意；
B.，故选项不符合题意；
C.，故选项符合题意；
D.，故选项不符合题意；
故选：
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．
此题主要考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解答该题的关键．
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了平方差公式，正确运用公式是解题关键．
直接利用平方差公式计算得出答案．
解：．
故选C．
3.【答案】D;
【解析】解：该式子中两项均为相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．
B.该式子中只有相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．
C.该式子中既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．
D.，既有相同项，也有相反项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意．
故选：
根据平方差公式进行的特点对每一选项进行分析即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
此题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
4.【答案】D;
【解析】解：由题意得所剪得的每个小长方形的长为，宽为，
中间空余的部分的是一个边长为的正方形，
中间空余的部分的面积是
故选：
由题意得所剪得的每个小长方形的长为，宽为，则可根据面积公式求得正确选项．
此题主要考查了利用数形结合思想理解并解决整式计算的能力，关键是利用图形面积列出整式算式．
5.【答案】A;
【解析】解：由题意得：，
整理得，
解得：
故选：
根据上述规律先列出式子，，再利用完全平方公式和去括号合并同类项去解题，即可得到结论．
此题主要考查定义新运算．解题关键是由上述规律先列出式子，然后进行运算．
6.【答案】C;
【解析】解：平方差公式：，
符合公式的只有，此时，，
故选：
根据平方差的特征即可得出答案．
此题主要考查平方差公式，记清平方差公式特征是解答该题的关键．
7.【答案】C;
【解析】解：选项：不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为，所以不符合题意；
选项：不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意；
选项：，所以符合题意；
选项：不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意．
故选：
根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．
此题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：是解答问题的关键．
8.【答案】A;
【解析】解析：此题主要考查了代数式比较大小的方法，借助于完全平方式进行比较是解决问题的关键。
解：将两式作差后再配方可得：
，
，
，
故选
9.【答案】C;
【解析】解：拼成的长方形的面积，
拼成的长方形的一边长为，
另一边长为，
故选：
表示出拼成的长方形的面积，化简后即可得到另一边的长．
此题主要考查了图形的变换及变换后的组成，抓住变换前后面积相等是解决本题的关键．
10.【答案】C;
【解析】解：如图，由于，
因此有，
而，
，
，
所以有，
故选：
根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案．
此题主要考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．
11.【答案】D;
【解析】解：张边长为的正方形纸片的面积是，
张边长分别为、的矩形纸片的面积是，
张边长为的正方形纸片的面积是，
，
拼成的正方形的边长最长可以为，
故选：
根据张边长为的正方形纸片的面积是，张边长分别为、的矩形纸片的面积是，张边长为的正方形纸片的面积是，得出，再根据正方形的面积公式即可得出答案．
此题主要考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出，用到的知识点是完全平方公式．
12.【答案】B;
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：
先将变形成，再整体代入即可得到答案．
此题主要考查代数式求值，解答该题的关键是掌握平方差公式和整体思想的应用．
13.【答案】C;
【解析】解：①；
②；
③；
④当时，即，
①②④正确．
故选：
按整式乘除法法则计算①②④，按同底数幂的乘法法则和积的乘方法则计算③．
此题主要考查了整式的运算法则，熟练掌握整式的乘法法则是解决本题的关键．
14.【答案】A;
【解析】解：因为，
所以，，，
解得，
故选：
现根据完全平方公式得，再由等式的性质得，，，求解即可得出答案．
此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式进行计算是解决本题的关键．
15.【答案】A;
【解析】解：①，所以①正确；
②，所以②错误；
③，所以③错误；
④，所以④错误．
故选：
根据积的乘方①进行判断；根据完全平方公式对②进行判断；根据同底数幂的除法对③进行判断；根据同底数幂的乘法对④进行判断．
此题主要考查了完全平方公式，整式幂的运算．解答该题的关键是熟练掌握整式幂的运算法则，完全平方公式：
16.【答案】16;
【解析】解：
故答案为：
通过完全平方公式计算即可．
此题主要考查求代数式的值，根据完全平方公式整体代换是求解本题的关键．
17.【答案】7;
【解析】解：设原正方形的边长是，根据题意列方程，
得，
由乘法公式得，，
，
解得，
故答案为：
设原正方形的边长是，根据题意列方程，再利用乘法公式即可解得此题结果．
此题主要考查了对乘法公式几何意义的应用，关键是根据图形列出算式，再利用乘法公式解决问题．
18.【答案】15;
【解析】解：因为，
所以
故答案为：
由平方差公式：解答即可．
此题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
19.【答案】;
【解析】解：设…，…，
则原式
……
，
故答案为：
设…，…，则原式，去括号后即可求出答案．
此题主要考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
20.【答案】x+7;
【解析】解：
故答案为：
直接利用多项式乘以多项式以及平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了多项式乘以多项式以及平方差公式，正确应用运算法则是解题关键．
21.【答案】解：原式=-x+2+2x+x+1-6+15x
=-3+17x+1，
当x=-1时，原式=-3×（-1）2+17×（-1）+1=-3-17+1=-19．;
【解析】
先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
此题主要考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】+ （a+b）2-2ab +=（a+b）2-2ab;
【解析】解：方法，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，
故答案为：，；
在两种方法表示面积相等可得，
，
故答案为：；
①，
，
又，
；
②设，，则，，
，
答：的值为
方法可采用两个正方形的面积和，方法可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
由中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
①由的结论，代入计算即可；
②设，，则，，求即可．
此题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．
23.【答案】解：令a=997653，b=997655，
则x=（a+4）b=ab+4b，y=a（b+4）=ab+4a，
∵x-y=（ab+4b）-（ab+4a）=4（b-a）=4×2=8＞0，
∴x＞y．;
【解析】
令，，分别根据、的式子列出关于、的整式，根据整式的减法即可得解．
此题主要考查了单项式乘单项式，熟记单项式乘单项式是解答该题的关键．
24.【答案】（1）从图形整体来看，可图②中阴影部分的面积为（a+b）2-4ab，从图形部分来看，可图②中阴影部分的面积为和（a-b）2；
（2）由（1）可得等式：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）由（2）可得等式，
可得，（a+b）2=（a-b）2+4ab，
又∵a，b均为正数，
∴a+b=，
∴当a-b=6，ab=16时，
a+b===10．;
【解析】
从整体和部分两个角度，可分别表示图②中阴影部分的面积为和；
由的两种结果，可得到；
由所得结果，可得，从而可计算出此题结果．
此题主要考查了数形结合解决数学问题的能力，关键是根据图形面积对完全平方公式进行变式应用．
