15.2 分式的运算
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.下列运算正确的是
A. B.
C. D.
2.下列各式的值最小的是
A. B. C. D.
3.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
4.细菌的个体十分微小，大约亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大某种细菌的直径是米，用科学记数法表示这种细菌的直径是
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
5.是指大气中直径小于或等于的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．用科学记数法可表示为
A. B.
C. D.
6.下列运算正确的是
A. B.
C. D.
7.下列计算结果正确的是
A. B.
C. D.
8.已知，则分式与的大小关系是
A. B.
C. D. 不能确定
9.计算的结果是
A. B.
C. D.
10.定义一种新的运算：如果则有，那么的值是
A. B. C. D.
11.如果，那么代数式的值为
A. B. C. D.
12.化简的结果是
A. B. C. D.
13.在平面直角坐标系中，函数()与的图象交于点，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
14.计算的结果是
A. B. C. D.
15.已知，均为正数，设，，下列结论：①当时，；②当时，；③当时，，正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
16.若式子的值为零，则______ .
17.随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占将用科学记数法表示为 ______ .
18.若，则______ .
19.分式的值为 ______.
20.化简：______．
三 、解答题（本大题共4小题，共32分）
21.（8分）已知
化简；
若，求的值.
22.（8分）先化简，然后从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值.
23.（8分）先化简，再求值：，其中
24.（8分）先化简，再求值：
，其中
小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
原式……①
……②
……③
当时，原式
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意．
故选：
利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
此题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．
2.【答案】C;
【解析】解：，，，，
，
最小的是
故选：
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
3.【答案】D;
【解析】解：，
故选：
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】D;
【解析】解：米米．
故选：
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
5.【答案】C;
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
该题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
6.【答案】D;
【解析】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，逐个计算得结论．
此题主要考查了整式的运算，掌握整式的乘法公式、幂的运算法则是解决本题的关键．
7.【答案】C;
【解析】解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，正确，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：
根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．
此题主要考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．
8.【答案】A;
【解析】解：
，
，
，，，
，
，
，
故选：
利用作差法，与比较大小，从而得到与的大小．
此题主要考查了分式的加减，利用作差法比较大小是解答该题的关键．
9.【答案】A;
【解析】解：原式
，
故选：
根据分式的混合运算法则进行计算，先算乘除，后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．
此题主要考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
10.【答案】B;
【解析】解：根据题中的新定义得：
故选：
利用题中的新定义计算即可得到结果．
此题主要考查了负整数指数幂以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】A;
【解析】解：原式
，
当时，
原式，
故选：．
先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．
这道题主要考查分式的化简求值，解答该题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
12.【答案】A;
【解析】解：原式
，
故选：
根据分式异分母加减法法则计算可求解．
此题主要考查分式的加减，掌握通分的技巧和平方差公式的结构是解题关键．
13.【答案】B;
【解析】
14.【答案】B;
【解析】解：原式
，
故选：
根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
此题主要考查分式的乘除运算，解答该题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】D;
【解析】解：，，
，
A.当时，则，故，那么①正确．
B.当，则，即，故，那么②正确．
C.当，则，即，故，那么③正确．
综上：正确的有①②③，共个．
故选：
根据分式的加法法则，先对、变形，再解决此题．
此题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式加法法则是解决本题的关键．
16.【答案】0;
【解析】解：由题意得：
根据题意，得再根据等式的基本性质，化简为，故求出
本题属于基础简单题，主要考查等式的基本性质以及分式的运算．
17.【答案】7×10-7;
【解析】解：
故答案为：
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
18.【答案】;
【解析】解：，
，
，
故答案为：
利用分式化简，得出，代入即可求解．
此题主要考查了分式的化简求值，关键是根据已知条件表示出与的关系．
19.【答案】0;
【解析】解：
故答案为：
先去括号，然后再利用分式的加减的法则进行运算即可．
此题主要考查分式的加减法，解答的关键是熟练掌握分式的加减法的法则．
20.【答案】;
【解析】解：
，
故答案为：．
根据分式的加法和除法可以解答本题．
该题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
21.【答案】解：（1）A=（-）
=
=
=（m+n）；
（2）∵m+n-2=0，
∴m+n=2，
当m+n=2时，A=×2=6．;
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简；
根据，可以得到，然后代入中化简后的，即可求得的值．
此题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解答该题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
22.【答案】解：原式=[-（a+1）]÷
=
=
=
=2（a-3）
=2a-6，
∵a=-1或a=3时，原式无意义，
∴a只能取1或0，
当a=1时，原式=2-6=-4．（当a=0时，原式=-6．）;
【解析】
小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到的取值，代入求值即可．
此题主要考查了分式的化简求值，把整式看成分母是的分数，进行通分是解答该题的关键．
23.【答案】解：
=
=×
=．
当a=+2时，原式===1+．;
【解析】
根据分式的混合运算的运算法则对化简为，再将代入求值．
此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解决本题的关键．
24.【答案】解：小明的解答中步骤①开始出现错误，
正确解答过程如下：
原式=+
=
=，
当a=+2时，
原式=
=
=．;
【解析】
根据分式的加减运算顺序和法则即可判断错误位置，先将两分式通分，再计算加法，继而约分即可化简，最后将的值代入计算即可．
此题主要考查分式的化简求值，解答该题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．15.2 分式的运算
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.（3分）下列运算正确的是
A. B.
C. D.
2.（3分）已知一个水分子的直径约为米，某花粉的直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的
A. 倍 B. 倍
C. 倍 D. 倍
3.（3分）计算的结果是
A. B. C. D.
4.（3分）年月日合肥第五届海棠花海赏花节正式拉开序幕．海棠花花粉的直径约为数据“”可用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
5.（3分）据经济日报年月日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到，主流生产线的技术水平为，中国大陆集成电路生产技术水平最高为将用科学记数法可表示为
A. B.
C. D.
6.（3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约毫米，用科学记数法表示为
A. 毫米 B. 毫米
C. 厘米 D. 厘米
7.（3分）下列运算结果中，绝对值最大的是
A. B. C. D.
8.（3分）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
9.（3分）化简的结果是
A. B. C. D.
10.（3分）如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是
A. ①：同分母分式的加减法法则 B. ②：合并同类项法则
C. ③：提公因式法 D. ④：等式的基本性质
11.（3分）研究发现，银原子的半径约是微米，把这个数字用科学记数法表示应是
A. B.
C. D.
12.（3分）年月日，世界卫生组织正式将新型冠状病毒命名为该病毒的直径约米米，将用科学记数法表示为的形式，则为
A. B. C. D.
13.（3分）已知，，则的值为
A. B. C. D.
14.（3分）在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图．你对两位同学解答过程的评价为
甲同学：
乙同学：
A. 甲对乙错 B. 乙对甲错 C. 两人都对 D. 两人都错
15.（3分）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如下：，则被遮住的部分是
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
16.（3分）计算：______.
17.（3分）若，则_________.
18.（3分）已知实数，满足，，则的值为______.
19.（3分）若、、满足和，则分式的值为______.
20.（3分）已知，则的值为______.
三 、解答题（本大题共4小题，共32分）
21.（8分）先化简再求值：，其中
22.（8分）阅读下列材料，然后回答问题．
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：，
解决下列问题：
将分式化为整式与真分式的和的形式；
如果分式的值为整数，求的整数值．
23.（8分）先化简，再求值：，其中
24.（8分）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得粒大米重约克．现在请你来计算：
一粒大米重约 ______克？
按我国现有人口亿，每年天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？结果用科学记数法表示
若贫因地区每名儿童每天需千克大米，则节约下来的大米供多少名贫困地区儿童生活一年？结果用科学记数法表示
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：、，错误；
、，错误；
、，正确；
、，错误；
故选：
直接利用二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算化简求出即可．
此题主要考查了二次根式以及单项式乘以单项式运算法则和实数的计算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
2.【答案】C;
【解析】解：根据题意得，
，
故选：
根据题意列出算式进行计算，一定注意
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，准确确定与值是关键．
3.【答案】A;
【解析】解：
，
故选：
根据同分母的分式相减的法则进行计算即可．
此题主要考查了分式的加减，能熟记分式的加减法则是解此题的关键．
4.【答案】D;
【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
5.【答案】B;
【解析】【试题解析】
该题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：
故选：．
6.【答案】A;
【解析】解：毫米，用科学记数法表示为毫米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
该题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
7.【答案】A;
【解析】解：因为，，，，
且，
所以绝对值最大的是选项
故选：
先计算各个选项，再求计算结果绝对值，最后比较大小得出答案．
此题主要考查了有理数的运算、负整数指数幂的运算和绝对值的化简．解答该题的关键是掌握有理数的运算法则、负整数指数幂的运算法则和绝对值的化简方法．
8.【答案】C;
【解析】解：选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，
，
，
，，
，
，
，故该选项符合题意；
选项，当时，的正负无法确定，
与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：
将和分别代入中计算求值即可判断出，的对错；当和时计算的正负，即可判断出，的对错．
此题主要考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解答该题的关键．
9.【答案】B;
【解析】解：原式
，
故选：
分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的．
此题主要考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
10.【答案】D;
【解析】解：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确，
④：分式的基本性质，故错误；
故选D．
根据分式的加减法法则计算即可．
此题主要考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
11.【答案】A;
【解析】
此题主要考查用科学计数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．绝对值小于的正数也可以利用科学计数法表示，一般形式为，与较大数的科学计数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：，
故选
12.【答案】B;
【解析】解：，
故选：
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
13.【答案】C;
【解析】解：
，
当，时，原式，
故选：
根据异分母分式先通分和完全平方公式可以将所求式子化简，然后将，代入化简后的式子即可解答本题．
此题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确异分母分式化简的方法．
14.【答案】D;
【解析】解：甲同学的计算错误，
错误原因：第二步计算中，同分母分式的减法，分母不变，分子相减，其中分子部分应该是，
乙同学的计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式的减法，分母应该保持不变，并且分子相减，其中分子部分应该是，
正确的解答如下：
原式
，
甲乙都不对，
故选：
根据异分母分式的加减法运算法则进行计算，从左作出判断．
此题主要考查异分母分式的加减法运算，掌握通分和约分的技巧是解题关键．
15.【答案】D;
【解析】解：被遮住的部分是
，
故选：
根据题意列出算式，再根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
此题主要考查分式的混合运算，解答该题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16.【答案】6;
【解析】解：
故答案为：
首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答该题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查分式的加减掌握法则是解答该题的关键根据分式加减法的法则计算等号右边的式子，然后与等号左边的式子比较即可得的值.
解：
，
，
故答案为
18.【答案】7;
【解析】解：，
，
把方程看作关于的一元二次方程，
或舍去，
，
，
把方程看作关于的一元二次方程，
或舍去，
故答案为
把方程看作关于的一元二次方程，解得，把方程看作关于的一元二次方程，解得，然后计算的值．
此题主要考查了分式的化简求值：利用整体的方法分别求出与的值是解决问题的关键．
19.【答案】-3999;
【解析】解：由、、满足和，
得出：，解得：，
，
故答案为：
分式，视与为两个整体，对方程组进行整体改造后即可得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值与三元一次方程组的应用，难度较大，关键是视与为两个整体，对方程组进行整体改造．
20.【答案】1;
【解析】解：，
，
，
故答案为：
将等式的右边通分，化简，与等式的左边对照，得到关于，的方程组，求出，，再求即可．
此题主要考查了分式的加减法，考核学生的计算能力，通分是解答该题的关键．
21.【答案】解：原式=
=
=，
当x=-1时，原式==1．;
【解析】
根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
此题主要考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答该题的关键．
22.【答案】解：（1）原式==1-；
（2）原式=
=x-
=x-
=x-1+，
∵原式的值为整数，且x为整数，
∴为整数，即x+3=±1或x+3=±3，
则x=-2或-4或0或-6．;
【解析】
原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和即可；
原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和，根据原式的值为整数，得到真分式为整数，即可确定出的整数值．
此题主要考查了分式的加减法，整式的加减，分式的定义以及分式的值，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
23.【答案】解：÷（1-）
=÷
=÷
=
=，
当m=4时，原式==．;
【解析】
先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则进行变形，再根据分式的乘法法则算乘法，最后代入求出答案即可．
此题主要考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
24.【答案】0.02;
【解析】解：克
一粒大米重约克．
故答案为：；
千克
答：一年大约能节约大米千克．
名
答：可供名贫困地区儿童生活一年．
根据题意列式计算即可；
结合的结论列式计算即可，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数；
结合的结论计算即可；
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
