单元形成性评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．(2021·玉林高二检测)下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【解析】选C.所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，故①对②错；所谓演绎推理是由一般到特殊的推理，故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，故④错⑤对．
2．诗歌是一种抒情言志的文学体裁，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，使抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街上灯笼最少几盏( )
A．70 B．128 C．140 D．150
【解析】选B.由七七数时余两个，可知灯笼数除以7余2，则A，C，D错．
3．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥BC
【解析】选A.这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.
4．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，
＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A．＋＝2 B．＋＝2
C．＋＝2 D．＋＝2
【解析】选A.观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
5．观察下列各式：3＝22×3，3＝32×3，3＝42×3，…，若3＝92×3，则m＝( )
A．80 B．81 C．728 D．729
【解析】选C.3＝22×3＝22×3，3＝32×3＝32×3，3＝42×3＝42×3，…，
所以3＝n2×3，
所以3＝92×3＝92×3，
所以m＝93－1＝729－1＝728.
6．(2021·银川高二检测)以下说法中正确个数是( )
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
②欲证不等式－<－成立，只需证2<2；
③用数学归纳法证明1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋，在验证n＝1成立时，左边所得项为1＋a＋a2；
④“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数．”以上三段论推理完全正确．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”，①错；
欲证不等式－<－成立，因为－<－<0，故只需证2>2，②错；
1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋，当n＝1时，左边所得项为1＋a＋a2，③正确；命题中，大前提为：凡是自然数都是整数，小前提为：0是自然数，结论为：0是整数，其中大前提、小前提都正确，则④正确．
7．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A．＋＋＝1 B．＋＋＝1
C．＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
【解析】选A.因为在平面直角坐标系中，方程＋＝1，表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”类比到空间坐标系中，在x，y，z轴的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.
8．设x，y，z均为正实数，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至多有一个小于2 D．至少有一个不小于2
【解析】选D.假设＋，＋，＋三个数都小于2，则＋＋＋＋＋<6，由＋＋＋＋＋＝＋＋≥6，与＋＋＋＋＋<6矛盾，所以假设错误．
9．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如表所示：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6
按如此规律下去，则a2 018＝( )
A．504 B．505 C．1 008 D．1 009
【解析】选D.由a2，a4，a6，a8，…组成的数列恰好对应数列{yn}，即yn＝a2n＝n.所以a2 018＝y1 009＝1 009.
10．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
【解析】选A.不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，所以2
－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，f(x1)＋f(x2)<0.
11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
【解析】选A.(1)若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即①甲的成绩比乙高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙低．
由①②③可得甲、乙、丙成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙．
(2)若乙预测正确，则甲、丙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩最高；③丙的成绩比乙低．
由上可知②③相矛盾，故此情况不成立．
(3)若丙预测正确，则甲、乙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙高．
由①③得成绩由高到低的顺序为丙、乙、甲，与②相矛盾，此情况不成立．
12．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过( )次检测．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选B.第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．
【解析】因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，所以由底数规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：212
14．(2021·北海高二检测)一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是________．
【解析】23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19；
因为3＝2×1＋1，7＝3×2＋1，13＝4×3＋1，所以m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m－1)＋1，
所以1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99＋1＝9 901.
答案：9 901
15．已知等差数列{an}的前n项和是Sn＝，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝________(用n，b1，bn表示).
【解析】由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝．
答案：
16．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个实数m，n(m【解析】因为函数的定义域为x≥－2，又f(x)＝k＋在定义域内为单调增函数，则x∈[m，n]时，有f(m)≤f(x)≤f(n)，则可转化为方程k＋＝x在x∈[－2，＋∞)上有两个相异实根，即k＝x－，令t＝，则x＝t2－2，得k＝t2－t－2(t≥0)，由图(图略)可知，当－答案：
三、解答题(共70分)
17．(10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.
【证明】因为a＞b＞c且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0.要证明原不等式成立只需证明＜a，
即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，
即(a－c)(2a＋c)＞0，
因为a－c＞0，2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，
所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，故原不等式成立．
18．(12分)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
【解析】(1)假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
19．(12分)(2021·柳州高二检测)(1)当n≥0时，试用分析法证明：－<－；
(2)已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证：a，b中至少有一个不小于0.
【解析】(1)要证－<－，
即证＋<2，
只要证2<2，
即证2n＋2＋2<4n＋4，
即证所以－<－成立；
(2)假设a<0且b<0，
由a＝x2－1<0得－1所以a，b中至少有一个不小于0.
20．(12分)(2020·浙江高考)已知1(1)证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点；
(2)记x0为函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的零点，证明：
①≤x0≤；
②x0f()≥(e－1)(a－1)a.
【解析】(1)当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex－1>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(0)＝1－a<0， f(2)＝e2－2－a≥e2－4>0，f(0)f(2)<0，
则y＝f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点．
(2)①由于f(x)单调递增，1由f(1)＝e－1－2<0，则t>1.右边：由于x≥0时，ex≥1＋x＋x2，且－x0－a＝0，则a≥1＋x x0≤.左边：要证明x≥a－1＝－x0－1，只需证明－x－x0－1≤0.
记h(x)＝ ex－1－x－x2(0≤x≤t)，则h′(x)＝ex－1－2x，h″(x)＝ex－2，于是h′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．于是h′(x)＝ex－1－2x≤max{h′(0)，h′(t)}＝0，
则h(x)在0≤x≤t上单调递减．h(x)＝ex－1－x－x2≤h(0)＝0，得证．
②要证明x0f(ex0)≥(e－1)(a－1)a，只需证：x0f(x0＋a)≥(e－1)(a－1)a.
由于(xf(x＋a))′＝ f(x＋a)＋xf′(x＋a)>f(x＋a)>f(a)＝ea－2a≥1－a＋>0，
则x0f(x0＋a)≥f(＋a)，只需要证明：
f(＋a)≥(e－1)a，
即－－2a≥(e－1)a.
由ex≥1＋x＋x2，只需证：1＋(＋a)2－a≥(e－1)a a2－()2－2(e－2)a·≥0，只需证－≥2(e－2)，
由于＝＋∈[2，＋∞)，则－≥2－＝≥2(e－2).
综上所述，得证．
21．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD.
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.
【解析】(1)因为P，Q分别为AE，AB的中点，
所以PQ∥EB，又DC∥EB.
所以PQ∥DC，而PQ 平面ACD，
DC 平面ACD，所以PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，
因为Q为AB的中点，且AC＝BC，
所以CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC.
所以CQ⊥EB，又EB∩AB＝B，
故CQ⊥平面ABE.
由(1)知，PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，
所以四边形CQPD为平行四边形．
所以DP⊥平面ABE.
故∠DAP为AD与平面ABE所成角．
在Rt△DAP中，AD＝，DP＝1，
所以sin ∠DAP＝.
因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.
22．(12分)已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.
(1)求f(1)及f(－1)的值；
(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．
【解析】(1)因为f＝n5＋n4＋n3－n，
所以f(1)＝1，f(－1)＝0；
(2)对一切整数n，f(n)一定是整数．证明如下：
(10)先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f(n)是整数．
①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即f＝k5＋k4＋k3－k是整数，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)
＝ eq \f(Ck5＋Ck4＋Ck3＋Ck2＋Ck＋C,5) ＋
eq \f(Ck4＋Ck3＋Ck2＋Ck＋C,2) ＋ eq \f(Ck3＋Ck2＋Ck＋C,3) －(k＋1)
＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1，
根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数，故f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．
由①，②可知对一切正整数n，f(n)是整数．
(20)当n＝0时，f(0)＝0是整数．
(30)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，
由(10)f(m)是整数，
所以f＝f＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－
＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数．
综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．
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10单元形成性评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．(2021·玉林高二检测)下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
2．诗歌是一种抒情言志的文学体裁，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，使抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街上灯笼最少几盏( )
A．70 B．128 C．140 D．150
3．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥BC
4．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，
＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A．＋＝2 B．＋＝2
C．＋＝2 D．＋＝2
5．观察下列各式：3＝22×3，3＝32×3，3＝42×3，…，若3＝92×3，则m＝( )
A．80 B．81 C．728 D．729
6．(2021·银川高二检测)以下说法中正确个数是( )
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
②欲证不等式－<－成立，只需证2<2；
③用数学归纳法证明1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋，在验证n＝1成立时，左边所得项为1＋a＋a2；
④“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数．”以上三段论推理完全正确．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A．＋＋＝1 B．＋＋＝1
C．＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
8．设x，y，z均为正实数，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至多有一个小于2 D．至少有一个不小于2
9．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如表所示：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6
按如此规律下去，则a2 018＝( )
A．504 B．505 C．1 008 D．1 009
10．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
12．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过( )次检测．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．
14．(2021·北海高二检测)一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是________．
15．已知等差数列{an}的前n项和是Sn＝，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝________(用n，b1，bn表示).
16．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个实数m，n(m三、解答题(共70分)
17．(10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.
18．(12分)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
19．(12分)(2021·柳州高二检测)(1)当n≥0时，试用分析法证明：－<－；
(2)已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证：a，b中至少有一个不小于0.
20．(12分)(2020·浙江高考)已知1(1)证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点；
(2)记x0为函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的零点，证明：
①≤x0≤；
②x0f()≥(e－1)(a－1)a.
21．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD.
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.
22．(12分)已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.
(1)求f(1)及f(－1)的值；
(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．
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