中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 与切线有关的证明与计算综合题
一、典例精析
1、如图，半圆0的直径为AB,D是半圆上的一个动点〈不与点 A,B 重合〉，连接
BD 并延长至点C，使 CD=BD，过点D作半圆0的切线交AC 于点 E.
(1 ）请猜想 DE 与 AC 的位置关系，并说明理由；
(2 ）当 AB=6,BD=2 时，求 DE 的长.
【详解】解：（1）DE⊥AC
理由：连接OD
∵DE是⊙O的切线 ∴OD⊥DE
∵BD=CD，OA=OB ∴OD//AC ∴DE⊥AC。
（2）连接AD
∵AB是半圆O的直径 ∴∠ADB=90°，
又BD=DC=2 ∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC ∴∠ABD=∠ACD
又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°
∴∠ADB=∠CED ∴Rt△ABD∽Rt△CED
【考点】本题考查了切线的性质，中位线的性质，直径所对的圆周角是90°，“树影”型相似模型，灵活运用以上知识点是解题关键．
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE=CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC=4，BD=4√3，求⊙O的半径OC的长.
【详解】证明：（1）连接DO；
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；
【考点】本题考查了直角三角形斜边的性质，直径所对的圆周角是90°，“树影”型相似模型，灵活运用以上知识点是解题关键．
3．（2019郑州一中一模）如图所示，⊙O的直径AB＝4，D、E为圆周上两点，且
= ，过点D作DC∥BE，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）填空：①当四边形AODE为菱形，则∠C的度数为 30° ；
②当DB＝AB时，四边形ACDE的面积为 4√3 ．
【详解】（1）证明∶ = ，OD⊥BE. ∵BE//CD,∴OD⊥DC
∵OD为半径，∴CD为O0的切线;
【考点】本题考查了切线的判定，菱形的判定，等腰（等边）三角形的性质，直径所对的圆周角是90°，梯形的面积，灵活运用以上知识点是解题关键．
4.（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC= ，BD=8，求EF的长．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，
在Rt△OCD中，，∴，
∴，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，∵，
∴，
∴．
【考点】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．
5、 (2019濮阳模拟）如图，△ABC内接于O0，且AB=AC.延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交OO与点 E，连接 BE、CE.
（1）求证∶△ABE≌△CDE.
（2）填空① 当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形;
②若AE=√3，AB=2√2，DE的长为 .
【详解】（1）证明∶∵AB=AC，CD=CA，
∴∠ABC= ∠ACB,AB=CD.
四边形 ABCE 是OO的内接四边形
∴∠ABC+∠AEC=180°,∠BAE+∠BCE=180°
∵∠CED+∠AEC=180°,∠ECD+∠BCE=180°, .∠ABC= ∠CED,∠BAE=∠ECD. .
∴∠ACB = ∠CED. 又∵∠AEB=∠ACB，∴∠CED= ∠AEB.
在△ABE 和△CDE中，
∠BAE= ∠ECD、∠AEB= ∠CED，AB=CD,
.△ABE≌△CDE（AAS）.
（2）解∶①60°;
【提示】①连接AO，CO，OE，如解图所示.
∵四边形 AOCE是菱形，0C=CE=AE=OA=OE.
∴△AOE和A0CE都为等边三角形
∴∠AOE=∠COE=60°..∠AOC=120°.∠ABC =60°.
②由△ABE∽△CDE，可得∠ABE=∠BDA.又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB
∴DE=AD-AE=
【考点】圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质；菱形的判定；全等三角形的判定。
6、（2021外国语三模）AB是圆O的直径，点C是圆0 上一点，点D是弧BC的中点，过点D作圆0的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD.
（1） 求证：证明AF//OD.
（2） 填空：①已知AB=4,当BE= 时，AC=CF.
②连接BD、CD、OC.当∠E的度数为 时，四边形OBDC是菱形
【详解】解∶（1）如图1，连接OD，
点D是弧BC的中点，过点D作圆0的切线，OD⊥EF,∠CAD=∠DAB,
∵0D=0A,∴∠DAB=∠AD0，∴∠CAD=∠AD0,
∵AF//OD, ∴AF⊥EF.
（2）①当BE=8时，AC=CF. 如图2，连接 BC，
∵AB是O0的直径，∠ACB=90°, ∶AF⊥EF，
∠ACB=∠F=90°,
∴BC//EF, .△ACB∽△AFE,=
而AC=CF，故AC∶AF=1∶2，
AB=BE= AE=8,
故答案为∶8;
②当∠E=30°时，四边形OBDC是菱形. 如图3，∵过点D作o0的切线，
∠0DE= ∠F=90°,
∠DOE=∠COA=60°, :0D=0B=0C=0A, △ODB，△A0C为等边三角形，
∠C0A=∠D0B=60°, ∠C0D=60°, ∴△COD为等边三角形，∴0B=BD=0D=CD=0C,
∴四边形OBDC是萎形，故答案为∶30.
【考点】切线的性质，三角形的相似的判定和性质，菱形的性质和判定 。
7、（2021洛阳一模）如图10，在 △ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的OO与边AC相切于点E，与边 BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接 BE.
（1）求证∶EH=EC;
（2）若 BC=4，AB=6，求AD的长
证明∶（1）连结 OE
∵AC为OO切线，∴OE⊥AC
∵∠C=90°,∴OE//BC∴∠EBC=∠BEO
∵OE=OB,∴∠EBO=∠BEO
∴∠EBC=∠EBO
∵EH⊥AB，∠C-90°，∴EH=EC
∵∠C=90°,AB=6. 设○O半径为r，
【考点】本题考查的是切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键。
中考真题演练
1、（2018开封一模）(9分)如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙0的直径OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC=6,BC=3,求OE的长.
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=，
∴OA=AB=，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴，即，
解得：OE=；
（2）∠CDE=2∠A，理由如下：
连接OC，如图所示：
∵OA=OC，∴∠1=∠A，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，
∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE，
∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．
【考点】三角形的外角性质，勾股定理，切线的性质，相似三角形的性质.
2.（2020安徽）如图，AB是半圆O的直径，从C，D是半圆O上不同于A，B的两点AD=BC，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所任圆的切线，与AC的延长线相交于点E，
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE=BF，求证：AC平分∠DAB．
【详解】证明：
为直径，
．
证明：
为半圆的切线，
平分．
【考点】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2020 深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长
【详解】【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵CD AEAC CE，
∴CD．
【考点】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
4.（2020山东菏泽）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长.
【详解】解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
【考点】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．
5、（2021江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=，
∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，
∴，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【考点】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
6．（2021齐齐哈尔）（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB＝，∠EAC＝∠OAC，
∴tan∠EAC＝，即＝，
∴＝，
解得：EC＝4，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝8，
∵tan∠CAB＝＝，
∴BC＝8，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝16，
∴OB＝8．
【考点】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、正切的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）①当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
②在①的条件下，BC= cm时，四边形ADEF的面积为cm2
【详解】
（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
AF=AC∠FAB=∠CABAB=AB
，∴△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．
证明：∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四边形ADFE是菱形．
故答案为60．
（3） ∵四边形AEFD是菱形，设边长为a，∠AEF=∠CAB=60°，
∴△AEF、△AFD都是等边三角形，
由题意：2×a2=6，
∴a2=12，
∵a>0，
∴a=2√3，
∴AC=AE=2√3，
在RT△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，∠CAB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4√3，BC=6．
故答案为6．
【考点】本题主要考查了三角形的全等、菱形的判定和性质以及等边三角形面积的求法，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键．
8、（2016郑州二模）如图，已知圆O的半径为4，EC是圆的直径，点B是圆A的切线CB上的一个动点，连接AB交圆A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF。
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB= 时，四边形ADEF是菱形；
（3）当AB= 时，四边形ACBF为正方形。
【解答】(1)证明：
∵AB∥EF，
∴∠AFE=∠FAB ∠CAB=∠AEF.∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE.
∴∠CAB=∠FAB.
∵AB=AB AC=AF，
∴△ABC≌△ABF.
(2)60°；
（3）
【考点】本题主要考查了三角形的全等、菱形的判定和性质以及等边三角形面积的求法，正方形的性质. 熟练掌握以上知识点是解答此题的关键．
（2）如图，连接DC.
∵EC=4，∴BC=8.且BD=4√3
由勾股定理可得：CD=4.
∴∠B=30°，
又∵∠ACD+∠BAC=90°，
∠B+∠BAC=90°
∴∠ACD=∠B=30°.
∴AC=
∴OC=
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
北师版九年级下册 圆
专题01 与切线有关的证明与计算综合问题
伽利略曾说过“圆是最完美的图形”。此言不虚。回顾整个初中几何内容的学习可以发现小到“点、线、角”大到“三角形、四边形”以及各类几何变换——旋转、平移、轴对称、位似在圆问题中都有极广泛的应用和密切联系。尤其“与切线有关的证明和计算综合问题”更是全国各地区中考模拟和真题考试中的必选内容，也是容易失分的地方。究其根本原因，圆作为初中几何集大成者，能考察的范围极广，需要学生拥有系统扎实的几何知识，同时还要有对各类几何模型敏锐的观察力和超强的运用能力。惟其如此，方能立于不败之地！
前言
圆的解题顺口溜
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
相切的两圆，经过切点公切线。
添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加练，成绩上升呈直线。
常考的几何模型
A型
八字型
树影型
手拉手型（或叫旋转型）
相似型
全等型
1、如图，半圆0的直径为AB,D是半圆上的一个动点〈不与点 A,B 重合〉，连接
BD 并延长至点C，使 CD=BD，过点D作半圆0的切线交AC 于点 E.
(1 ）请猜想 DE 与 AC 的位置关系，并说明理由；
(2 ）当 AB=6,BD=2 时，求 DE 的长．
【解析】此题用到的解题口诀：①见直径，构造直角三角形；
②见切点，连半径.
涉及到的模型有：
“树影型”——射影定理；
“中位线型”；
“三线合一型”；
真题精析
解：（1）DE⊥AC
理由：连接OD
∵DE是⊙O的切线
∴OD⊥DE
∵BD=CD，OA=OB
∴OD//AC
∴DE⊥AC。
（2）连接AD
∵AB是半圆O的直径
∴∠ADB=90°，
又BD=DC=2
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC
∴∠ABD=∠ACD
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°
∴∠ADB=∠CED
∴Rt△ABD∽Rt△CED
∴
在Rt△ABD中，AB=6，BD=2
∴AD=4√2
参考答案
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE=CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC=4，BD=4√3，求⊙O的半径OC的长．
【解析】此题用到的解题口诀：①见直径，构造直角三角形；
②见切点，连半径.
涉及到的模型有：
斜中型
斜中型——斜边中线型
树影型
真题精析
证明：（1）连接DO；
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；
参考答案
（2）如图，连接DC.
∵EC=4，∴BC=8.且BD=4√3
由勾股定理可得：CD=4.
∴∠B=30°，
又∵∠ACD+∠BAC=90°，
∠B+∠BAC=90°
∴∠ACD=∠B=30°.
∴AC=
∴OC=
3．（2019郑州一中一模）如图所示，⊙O的直径AB＝4，D、E为圆周上两点，且
，过点D作DC∥BE，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）填空：①当四边形AODE为菱形，则∠C的度数为 ；
②当DB＝ AB时，四边形ACDE的面积为 ．
＝
【解析】此题用到的解题要点：
①垂径定理；
②圆内以半径为边的菱形，必有60°内角.
涉及到的模型有：
30°
真题精析
4.（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC= ，BD=8，求EF的长．
【解析】此题用到的解题要点：
①“见切点，连半径”；
②“三线合一”
③两个相似模型——A型，中位线型.
涉及到的模型有：
“三线合一”
中位线型
A型
真题精析
（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
参考答案
5、 (2019濮阳模拟）如图，△ABC内接于O0，且AB=AC.延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交OO与点 E，连接 BE、CE.
（1）求证∶△ABE≌△CDE.
（2）填空① 当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形;
②若AE=，AB=2，DE的长为 .
【解析】此题用到的解题要点：
①“圆内接四边形”；
②“手拉手全等”
③圆内以半径为边的菱形，必有60°内角.
涉及到的模型有：
圆内接四边形
手拉手全等
60°
母子型相似
真题精析
6、（2021外国语三模）AB是圆O的直径，点C是圆0 上一点，点D是弧BC的中点，过点D作圆0的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD.
（1） 求证：证明AF//OD.
（2） 填空：①已知AB=4,当BE= 时，AC=CF.
②连接BD、CD、OC.当∠E的度数为 时，四边形OBDC是菱形。
【解析】此题用到的解题模型：
①“角平分线（内含等腰）模型”；
②“中位线型”
③圆内以半径为边的菱形，必有60°内角.
涉及到的模型有：
中位线型
角平分线型
4
30°
真题精析
7、（2021洛阳一模）如图10，在 △ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的OO与边AC相切于点E，与边 BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接 BE.
（1）求证∶EH=EC;
（2）若 BC=4，AB=6，求AD的长.
【解析】此题用到的解题模型：
①“角平分线（内含等腰）模型”；
②“A型”相似
涉及到的模型有：
角平分线型
A型相似
真题精析
证明∶（1）连结 OE
∵AC为OO切线，∴OE⊥AC
∵∠C=90°,∴OE//BC∴∠EBC=∠BEO
∵OE=OB,∴∠EBO=∠BEO
∴∠EBC=∠EBO
∵EH⊥AB，∠C-90°，∴EH=EC
(2)∵∠C=90°,AB=6. 设○O半径为r，
参考答案
1、（2018开封一模）(9分)如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙0的直径OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC=6,BC=3,求OE的长.
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.
答案：（1）OE=
（2）∠A=2∠CDE
真题精练
2.（2020安徽）如图，AB是半圆O的直径，从C，D是半圆O上不同于A，B的两点AD=BC，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所任圆的切线，与AC的延长线相交于点E，
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE=BF，求证：AC平分∠DAB．
答案：（1）略；
（2）关键：∠2+∠5=90°；∠3+∠1=90°
∵BE=BF ∴∠3=∠5
∠2=∠4=∠1
∴AC平分∠DAB.
1
2
3
4
5
真题精练
3．（2020 深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
答案：（1）略；
（2）CD= .
真题精练
4.（2020山东菏泽）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．
答案：（1）略；
（2）CD= .
真题精练
5．（2021江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与 围成阴影部分的面积．
答案：（1）略；
（2）①菱形；
②
真题精练
6．（2021齐齐哈尔）（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB＝ ，求OB的长．
答案：（1）略；
（2）OB=8 .
真题精练
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）①当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
②在①的条件下，BC= cm时，四边形ADEF的面积为
.
答案：（1）略；
（2）∠CAB=60°； .
（3）4√3； .
真题精练
8、（2016郑州二模）如图，已知圆O的半径为4，EC是圆的直径，点B是圆A的切线CB上的一个动点，连接AB交圆A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF。
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB= 时，四边形ADEF是菱形；
（3）当AB= 时，四边形ACBF为正方形。
答案：（1）略；
60°
4√2
真题精练中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 与切线有关的证明与计算综合题
一、典例精析
1、如图，半圆0的直径为AB,D是半圆上的一个动点〈不与点 A,B 重合〉，连接
BD 并延长至点C，使 CD=BD，过点D作半圆0的切线交AC 于点 E.
(1 ）请猜想 DE 与 AC 的位置关系，并说明理由；
(2 ）当 AB=6,BD=2 时，求 DE 的长
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE=CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC=4，BD=4√3，求⊙O的半径OC的长.
3．（2019郑州一中一模）如图所示，⊙O的直径AB＝4，D、E为圆周上两点，且
= ，过点D作DC∥BE，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）填空：①当四边形AODE为菱形，则∠C的度数为 ；
②当DB＝ AB时，四边形ACDE的面积为 ．
4.（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC= ，BD=8，求EF的长．
5、 (2019濮阳模拟）如图，△ABC内接于O0，且AB=AC.延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交OO与点 E，连接 BE、CE.
（1）求证∶△ABE≌△CDE.
（2）填空① 当∠ABC的度数为 时，四边形AOCE是菱形;
②若AE=√3，AB=2√2，DE的长为 .
6、（2021外国语三模）AB是圆O的直径，点C是圆0 上一点，点D是弧BC的中点，过点D作圆0的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD.
（1） 求证：证明AF//OD.
（2） 填空：①已知AB=4,当BE= 时，AC=CF.
②连接BD、CD、OC.当∠E的度数为 时，四边形OBDC是菱形
7、（2021洛阳一模）如图10，在 △ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的OO与边AC相切于点E，与边 BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接 BE.
（1）求证∶EH=EC;
（2）若 BC=4，AB=6，求AD的长
二、中考真题演练
1、（2018开封一模）(9分)如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙0的直径OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC=6,BC=3,求OE的长.
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.
2.（2020安徽）如图，AB是半圆O的直径，从C，D是半圆O上不同于A，B的两点AD=BC，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所任圆的切线，与AC的延长线相交于点E，
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE=BF，求证：AC平分∠DAB．
3．（2020 深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长
4.（2020山东菏泽）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长.
5．（2021江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
6．（2021齐齐哈尔）（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）①当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
②在①的条件下，BC= cm时，四边形ADEF的面积为
8、（2016郑州二模）如图，已知圆O的半径为4，EC是圆的直径，点B是圆A的切线CB上的一个动点，连接AB交圆A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF。
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB= 时，四边形ADEF是菱形；
（3）当AB= 时，四边形ACBF为正方形。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
