空间直线与直线的位置关系
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文档简介
(共26张PPT)
新课标实验教材:人教版
复习引入
新课讲解
例题选讲
课堂练习
课堂小结
请叙述三条公理和三条推论
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A
B
C
D
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
相交直线
（有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
两路相交
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD
a
b
o
a
b
既不平行，又不相交
A
B
C
D
六角螺母
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
a
b
a
b
合作探究一
练习：在教室里找出几对异面直线的例子
两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.
注1
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1.异面直线的定义:
注意：在不同平面内的两条直线不一定异面
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内:
异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、1种 B、2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ ）
A、共面
B、异面
C、可能共面也可能异面
D、既不共面也不异面
练习3：正方体ABCD－A1B1C1D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
1、与A1A是异面的有:
2、与D1B异面的有：
BC DC B1C1 D1C1
AA1 AD A1B1 B1C1 CC1 CD
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
a
b
a
A
b
b
(1)
(3)
(2)
如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？请你与同学们共同探究？看谁说正确？
共3对：AB与CD，AB与GH，GH与EF
合作探究二
合作探究二
a
b
c
e
d
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例：已知E、F、G、H分别是空间四边形
四条边AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行边形
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
3.异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它
们的夹角, 用以刻画两直线的错开
程度, 如图.
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢
A
B
G
F
H
E
D
C
O
(2)问题提出
(1)复习回顾
(3)解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
a
b
b ′
a′
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o
o
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
a″
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
解答： 如图
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b ′
a′
O
∠1
a
a″
b
∠2
答 :
这个角的大小与O点的位置无关.
在求作异面直线所成的角时,O点
常选在其中的一条直线上
(如线段的端点,线段的中点等)
下图长方体中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③BH 和DC是 直线
B
A
C
D
E
F
H
G
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条
4
分别是 ：CG、HD、GF、HE
(1)说出以下各对线段的位置关系
4.例题选讲
例1
A
B
G
F
H
E
D
C
例2
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
o
o
O
连接HA、AF，
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30
o
(2)连接FH，
所以FO与BD所成的夹角是30
o
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
∵HD EA，EA FB ∴HD FB
∥
=
∥
=
∥
=
则AH=HF=FA
∴ △AFH为等边△
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度
解答：
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45
o
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60
o
5.课堂练习
A
B
G
F
H
E
D
C
2
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
6.课堂小结
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线的求法:
一作(找)二证三求
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
异面直线所成的角
平移，转化为相交直线所成的角
作业：
P51：3,4,5
下课！
欢迎指导！
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课堂小结
请叙述三条公理和三条推论
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A
B
C
D
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
相交直线
（有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
两路相交
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD
a
b
o
a
b
既不平行，又不相交
A
B
C
D
六角螺母
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
a
b
a
b
合作探究一
练习：在教室里找出几对异面直线的例子
两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.
注1
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1.异面直线的定义:
注意：在不同平面内的两条直线不一定异面
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内:
异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、1种 B、2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ ）
A、共面
B、异面
C、可能共面也可能异面
D、既不共面也不异面
练习3：正方体ABCD－A1B1C1D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
1、与A1A是异面的有:
2、与D1B异面的有：
BC DC B1C1 D1C1
AA1 AD A1B1 B1C1 CC1 CD
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
a
b
a
A
b
b
(1)
(3)
(2)
如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？请你与同学们共同探究？看谁说正确？
共3对：AB与CD，AB与GH，GH与EF
合作探究二
合作探究二
a
b
c
e
d
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例：已知E、F、G、H分别是空间四边形
四条边AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行边形
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
3.异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它
们的夹角, 用以刻画两直线的错开
程度, 如图.
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢
A
B
G
F
H
E
D
C
O
(2)问题提出
(1)复习回顾
(3)解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
a
b
b ′
a′
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o
o
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
a″
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
解答： 如图
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b ′
a′
O
∠1
a
a″
b
∠2
答 :
这个角的大小与O点的位置无关.
在求作异面直线所成的角时,O点
常选在其中的一条直线上
(如线段的端点,线段的中点等)
下图长方体中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③BH 和DC是 直线
B
A
C
D
E
F
H
G
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条
4
分别是 ：CG、HD、GF、HE
(1)说出以下各对线段的位置关系
4.例题选讲
例1
A
B
G
F
H
E
D
C
例2
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
o
o
O
连接HA、AF，
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30
o
(2)连接FH，
所以FO与BD所成的夹角是30
o
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
∵HD EA，EA FB ∴HD FB
∥
=
∥
=
∥
=
则AH=HF=FA
∴ △AFH为等边△
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度
解答：
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45
o
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60
o
5.课堂练习
A
B
G
F
H
E
D
C
2
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
6.课堂小结
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线的求法:
一作(找)二证三求
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
异面直线所成的角
平移，转化为相交直线所成的角
作业：
P51：3,4,5
下课！
欢迎指导！
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