湘教版九年级下册 2.2.1圆心角 课件（共18张）

(共18张PPT)
2.2 圆心角、圆周角
第2章 圆
2.2.1 圆心角
知识点
圆的旋转不变性、圆心角
知1－讲
1
1. 圆的旋转不变性
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
知1－讲
2. 圆心角
顶点在圆心，角的两边与圆相交，像这样的角叫作圆心角，如图2.2-1，∠AOB是AB所对的圆心角，AB是∠AOB所对的弧. 注意一条弧所对的圆心角只有一个.
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知1－讲
特别提醒:
圆心角的条件：
1. 顶点在圆心；
2. 两条边和圆相交.
其中“顶点在圆心”是圆心角的必备条件.
知1－讲
例 1
如图2.2-2，已知A，B是⊙ O上的两点，
∠ AOB=120°，则OA ∶ AB 的值为( )
C
技巧提醒:
特殊的圆心角所对的弦与半径之间的特殊关系：
1. 60°的圆心角所对的弦等于半径；
2.90°的圆心角所对的弦等于半径的 倍；
3. 120°的圆心角所对的弦等于半径的 倍.
知1－讲
解题秘方：紧扣圆心角的定义，将圆心角转化为等腰三角形的顶角，利用等腰三角形的性质探究半径与弦之间的关系.
知1－讲
解：如图2.2-2，过点O作ON⊥ AB于点N.
∵ OA=OB，∴ AN= AB.
∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠ A=30° .
设ON=a，则OA=2a，
∵ OA2－ON2=AN2，
∴ AN= a. ∴ AB=2 a.
∴ OA ∶ AB=2a ∶2 a= .
知2－讲
知识点
弧、弦、圆心角之间的关系
2
1. 关系
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
警示误区:
不能忽略在同圆或等圆中这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图2.2-4，两个圆的圆心相同，AB与A′B′对应的圆心角相等，但AB≠A′B′，AB ≠A′B′.
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知2－讲
2. 示例：弧、弦、圆心角的关系
如图2.2-3，若∠ AOB= ∠ A′OB′，则AB = A′B′，AB=A′B′
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知2－讲
如图2.2-5，AB，CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE ∥ AB，求证：BC = AE .
解题秘方：构造圆心角，利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”证明.
例2
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知2－讲
证明：如图2.2-5，连接OE.
∵ OE=OC，∴∠C= ∠E.
∵ CE∥AB，
∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE.
∴∠BOC=∠AOE.
∴BC = AE .
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知2－讲
技巧提醒:
由例2的结论可知，在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等，以后若遇到圆的两条平行弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧所对的弦、圆心角分别相等.
知识点
弧、弦、圆心角之间关系的推论
知3－讲
3
1. 推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系(拓展)
在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.注意：涉及弦心距的问题，应用时要加上垂直的条件.
知3－讲
拓宽视野:
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
知3－讲
如图2.2-6， 在⊙O中， AB=CD， 则在① AB=CD；②AC=BD；③∠AOC= ∠BOD；④AC =BD中，正确的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
D
例 3
解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系的推论判断.
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知3－讲
解：∵AB = CD，
∴ AB=CD，故①正确.
∵AB = CD，∴AC = BD .
∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD，故②③④正确.
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知3－讲
解法提醒：
在同一个圆中， 弧、弦和圆心角中只要有一组量相等，就能推出另两组量相等. 线段有和差，弧也有和差.
圆心角
圆心角
弦心距
弧
弦