一元二次方程根与系数的关系导学案

九 年级 数学 科 导学案
学生：叶俊龙
课题名称 一元二次方程根与系数的关系 时间 2012年 10月 日
课型 新授 课时 3 主备人 刘再稳 审核人
教学目标：
1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
教学重点：　对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用ZoQ0KC;tE^B
1`z网Www.
教学难点：　一元二次方程的根与系数的关系的运用．
知识网络：
求代数式的值
求待定系数
一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组
根公式 二次三项式的因式分解
知识点：
1、若一元二次方程中，两根为，。则，
，；补充公式
2、以，为两根的方程为
3、用韦达定理分解因式
4 ， 规律方法指导
　　一元二次方程根与系数的关系的用法：
　　①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；
　　②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；
　　③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；
　　④已知方程的两根，求这个一元二次方程；
　　⑤已知两个数的和与积，求这两数；
　　⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；
　　⑦讨论方程根的性质。
【典型例题讲练】
重点例题：．
1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.
　　1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.
　　思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.
　　解：
2.判别一元二次方程两根的符号.
　　2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.
　　
总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.
　
举一反三：
【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数.
　　思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零.
　
　　
　
总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件.
【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0
　　（1）两根互为相反数；
　　（2）两根互为倒数；
　　（3）有一根为零，另一根不为零.
　　思路点拨：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.
　　解：设方程的两根为x1，x2，
　　　
（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，
　　　　　
（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即
　　　　　
（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，
　总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零.
3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.
　　3. 关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.
　　解：设方程两根分别为x1，x2，
　　　
　　
总结升华：应用根的判别式，已①②得：1＜k≤.知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.
　　
举一反三：
　　【变式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值.
　　思路点拨：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，就可求得m的值.
　　解：
【变式2】设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．
　　思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程．
　　解：
　　总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的．讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件．
4．求关于根的对称式的值．
　　在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．
　　如 +，，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，
　　 如 (1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，
　　　　+=(x1+x2)2-2x1x2，
　　　　……
　　　　等等．
　　4 ， .如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值．
　　思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以代数式是关于与的对称式.
　　解：
　　举一反三：
　　【变式1】已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．
思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称
　　解：由于＞0，＜0，所以Δ＞0，方程一定有实根．于是
　　　　
5．利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程．
　
　　5.(1)作一个以-与为根的一元二次方程；
　　　　　 (2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．
　　思路点拨：作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数．
　　解：(1)
　　　　
(2) 设x1与x2是方程2x2+5x-8=0的两个根，所以，有
　　　　　　
　　　　　　
课堂练习：（练习时间25分钟）
一、选择题
　 　1. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为( )
　　A. 3，2 　　　B. 　　　C. 　　　D.
　 　2. 如果方程的两个实数根分别为，那么的值是( )
　　A. 3 　　　B. 　　　C. 　　　 D.
3. 如果是方程的两个根，那么的值等于( )
　　A. 　　　B. 3 　　　C. 　　　 D.
　　 4. 以2，-3为根的一元二次方程是( )
　　 A.x2+x+6=0 　　　　B.x2+x-6=0
　 　C.x2-x+6=0 　　　　D.x2-x-6=0
二、填空题
　　1. 如果是方程的两个根，那么____________.
　　2. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是_________.
　　3.已知一元二次方程的两根为2+和2-，则这个方程为_______．
三、解答题
　　1.设x1与x2是方程x2+4x-6=0的两个根，不解这个方程，求下列各式的值：
　　(1)；　　　 (2)+x1x2+；　　　　(3)(x1-2)(x2-2)．
　　
2. (1)已知方程x2+mx+21=0的两个根的平方和是58，求m的值；
　　　 (2)已知方程x2+2x+m=0的两个根的差的平方是16，求m的值；
　　　 (3)已知方程x2+3x+m=0的两个根的差是5，求m的值；
　　　 （4)已知方程x2+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值．
　
　
　 3.分别求作以下列各对数为根的一个一元二次方程：
　　(1)-5，+7；　　　　　 (2)，+；
　　(3)，-；　　(4)+，-．
课后巩固：
基础练习题
一、选择题
　　1.以3，-1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
　　A.3x2-2x+3=0 　　　　　B.3x2+2x-3=0
　　C.3x2-6x-9=0 　　　　　D.3x2+6x-9=0
　　2.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是( )
　　A. 　 　　　　　B.
　　C. 　　　　　　D.
3.已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是( )
　　A. 　　　B. 　　　 C. 2或 　　　D.
二、填空题
　1. 已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______，+=_______，x12+x22=_______，x1-x2=________．
　　2. 已知一元二次方程3x2-kx-1=0的一根为3,则该方程的另一根为_____，k=_______．
　　3. 若方程的两根的倒数和是，则____________.
三、解答题
　　1. 已知关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值
2.已知一元二次方程.
　　(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
　　(2)设是方程的两个实数根，且满足，求m的值.
　
　3.已知关于x的一元二次方程.
　　(1)求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；
　　(2)设是方程的两个实数根，若，求a的值.
二，能力提升题
已知一元二次方程的两个实数根满足，，，分别是的，，的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若，求的度数。
2、在中，，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于的方程的两个实数根，求的值。
思维拓展题
1、若关于x的一元二次方程的两个实数根、满足关系式：．判断是否正确．若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例．
2、不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1．
3、已知是关于x的方程的两个实根，且，求m的值．
信息反馈：
学生今日表现：
老师寄语：
家长意见：
家长签字：
PAGE
4