三角形相似的判定(两角)

(共29张PPT)
主讲老师：任 璟
三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？
相似比是多少？
复习1
A
B
D
E
C
A
B
C
D
E
如图，已知DE ∥ BC
则．．．．．．
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E,
∠ACB=∠DCE,
故△ADE∽ △ABC,
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
若DE ∥ BC则∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC,
∠AED=∠ACB,
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的预备定理
A
B
C
D
E
A
B
D
E
C
这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“Z” 型
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！
1如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。
练一练1
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
F
E
G
如图：△ABC和△A’B’C’，当它们具备什么样的条件时，才能够判定它们相似？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
如图 △ABC 和△ A'B'C'中, ∠A=∠A',∠ B=∠B’ .
问△ABC与△A'B'C'是否相似
在△ABC边AB上, 截取AD=A’B’,过D作DE∥BC交AC于E.则有△ADE∽△ABC
∴△A'B'C'∽△ABC.
证明
C
B
A
D
E
A ’
B ’
C ’
∵∠ADE=∠B , ∠B=∠B '
∴∠ADE=∠B '
又∵∠A=∠A' , AD=A ' B '
∴△ADE≌△A ' B ' C ' (ASA)
判定定理1:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
①
①
②
③
④
70o
50o
A
B
C
F
D
E
A
C
B
D
E
F
B
A
C
D
F
E
30o
30o
30o
30o
55o
30o
60o
50o
口答
下列图形中两个三角形是否相似？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
做题时要注意题目隐含的条件：
对顶角相等、公共角.
证明:∵在△ABC中, ∠A=40°, ∠B=80°,
∴∠C=180°－40 °－ 80 °=60 °
∵在△DEF中, ∠E=80°, ∠F=60°.
∴∠B=∠E, ∠C=∠F
∴△ABC∽△DEF(两个角对应相等,两三角形相似).
试一试：已知: △ABC和△DEF中, ∠A=40°, ∠B=80°. ∠E=80°, ∠F=60°.
求证: △ABC∽△DEF.
A
B
C
40
80
80
60
例2:　如图18.3.5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC.
证明: ∵ DE∥BC （已知）
∴ ∠AED＝∠C （两直线平行，同位角相等），
∴ ∠CEF＝∠A.（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC. (两组对应角分别相等的两个三角形相似)
又∵ EF∥AB （已知）
已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
试 图中有几对相似三角形.
证明：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等,两三角形相似).
同理可证：△ABC∽△ACD
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
C
A
B
D
已知：如图Rt△ABC中，CD是斜边上的高。
求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
练习1. 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB
B
A
B
C
E
延伸练习
已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
D
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
F
A
F
E
D
C
ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．
3.如图2,要使△ABC∽△ACD，
只需要条件 ；
4.如图3要使△ABE∽△ACD，
只需要条件 ；
图2
图3
6.如图,在△ABC中, ∠BAC=90°,BC的垂直平分线交BC于D,交AC于E,交BA的延长线于F.求证:
7.如图,E是平行四边形ABCD的CD边上一点,连结并延长AE交BC的延长线于点F.
求证:
小结:
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:两个角对应相等,两三角形相似.
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似的应用：
在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采用了如下的方法（如图）从A处沿与AB垂直的直线方向走40米到达C处，插一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达D处，再向右转90度走到E处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20米，这样就可以求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）。
A
B
D
C
E
A
B
D
E
O
方法二
方法三
方法一
C
D
F
填 空：
1、直角三角形被 高分成的两个直角
三角形相似，它们和原三角形
３、两个等腰三角形都有一个角是45 °，则这两个三角
　形
２、两个等腰三角形都有一个角是95° ，则这两个三角
形
斜边上的
一定相 似
相 似
不一定相 似
选　择
下列结论中，不正确的是（　　）
Ａ、有一个角为９０°的两个等腰三角形相似
Ｂ、有一个角为６０°的两个等腰三角形相似
Ｃ、有一个角为３０°的两个等腰三角形相似
Ｄ、有一个角为１００°的两个等腰三角形相似
Ｃ
下列结论中，正确的个数是（　　）
①任意两个等腰三角形都相似
②任意两个等边三角形都相似
③任意两个直角三角形都相似
④任意两个等腰直角三角形都相似
Ａ、１个　　Ｂ、２个　　Ｃ、３个　　Ｄ、４个
选　择
Ｂ
3.已知等腰△ABC△ A'B'C'中，∠A、∠A′分别是顶角，
证明：（1）如果∠A=∠A′，那么△ABC∽△A'B'C'；
（2）如果∠B=∠B′（或∠C=∠C′），那么
△ABC∽△A'B'C'.
练习:
1.已知△ABC与△A'B'C'中, ∠B=∠B'=75°, ∠C=50°, ∠A'=55°,这两个三角形相似吗 为什么
相似.因为在△ABC中由已知∠B=70°, ∠C=50°可知∠A=55°,即∠B=∠B', ∠A=∠A'=55°,由判定定理1
两个角对应相等,两三角形相似.可知△ABC∽△A'B'C'.
再见