4.2.2等差数列的前n项和公式 课件-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共26张PPT)

(共26张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
选择性必修第二册 第四章 数列
高斯（Gauss ，1777-1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，
近代数学奠基者之一，并享有"数学王子"之称.
他和阿基米德、牛顿、
欧拉并列为世界四大数学家.
以他名字“高斯”命名的成果
达110个，属数学家中之最.
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，…，n,…
前100项和的问题。
在问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，它使不同数求和问题转化为相同数（即101）的求和，从而简化运算，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？
思考:高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？
你能从中得出求数列的前n项和的方法吗？
不行，当n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了
你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？



能否设法避免分类讨论？
某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即
Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an
再将项的次序反过来，Sn可以写成
Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1
两式两边分别相加，得
2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1)
= n (a1＋an)
由此得到等差数列{an}的前n项和的公式
又因为an=a1＋(n－1)d，
所以上述公式又可以写成
如果数列{an}为等差数列，那么
an＋ am = ap＋ aq
（n，m，p，q∈N+）
(a1＋an)=(a2＋an－1)=(a2＋an－1)=…
倒序相加发法
这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定．
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为：
等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个
量，故知三可求其二．
如何根据公式的结构特征来记忆公式呢？
等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10;
(3)若a1=，d= - ， Sn = -5,求n.
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10;
(3)若a1=，d= - ， Sn = -5,求n.
解： (1)
(2) --2=
+d
2+
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10;
(3)若a1=，d= - ， Sn = -5,求n.
解： (3)+d,得
整理,得
-7n-60=0
n+
解得
n=12或n=-5（舍去）
所以
n=12
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn
这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，
便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和．
解： 记该数列为{an}，公差为d，
根据等差数列前n项和公式，可得
S10=10a1＋45d =310，S20=20a1＋190d =1220，
解得a1=4，d =6，
因此该等差数列的前n项和为
课堂小结
1.了解等差数列前n项和公式推导方法.
2.掌握等差数列前n项和公式的两种形式.
典例解析
6.已知等差数列的公差为2，且，求这个等差数列前20项的和.
典例解析
6.已知等差数列的公差为2，且，求这个等差数列前20项的和.
解：由等差数列的通项公式可得29=，
由此可解得
因此= =200.
课后作业
教材P15练习 2、3、4 ．