1.1空间向量及其运算同步练习-2021-2022学年高二数学上学期人教B版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

1.1空间向量及其运算
一、选择题（共13题）
如图所示，在四棱柱的上底面 中，，则下列向量相等的是
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
已知向量 ，，则
A． B． C． D．
如图，已知空间四边形 ，其对角线为 ，，， 分别是 ， 的中点，点 在线段 上，且 ，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
在长方体 中，下列计算结果一定不等于 的是
A． B． C． D．
已知 ，，若 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
已知矩形 中，，，将矩形 沿对角线 折起，使平面 与平面 垂直，则
A． B． C． D．
有下列四个命题：
（）已知 ，，， 是空间任意四点，则 ；
（）若两个非零向量 与 满足 ，则 ；
（）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；
（）对于空间的任意一点 和不共线的三点 ，，，若 ，则 ，，， 四点共面．
其中正确命题的个数是
A． B． C． D．
在棱长为 的正方体 中， 是底面 的中心，， 分别是 ， 的中点，那么异面直线 和 所成角的余弦值等于
A． B． C． D．
已知 的三个顶点坐标分别为 ，，，则 的重心坐标为
A． B． C． D．
如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ．设 ，，， 是 的中点，则
A． B．
C． D．
对于空间向量 ，， 和实数 ，下列命题中为真命题的是
A．若 ，则 或 B．若 ，则 或
C．若 ，则 或 D．若 ，则
向量 ，，若 ，且 ，则 的值为
A． B． C． 或 D． 或
已知三棱锥 的各棱长均为 ，且 是 的中点，则
A． B． C． D．
二、填空题（共7题）
如图，四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 与 交于点 ，点 为 上一点，且 ，，，，用 ，， 表示向量 ．
在各棱长都等于 的正四面体 中，若点 满足 ，则 的最小值为 ．
已知点 ，，点 满足 ，则点 的坐标是 ．
在空间直角坐标系中，点 关于坐标原点的对称点是 ．
设 为坐标原点，向量 ，，，点 在直线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为 ．
如图，平行六面体 中，各条棱长均为 ，共顶点 的三条棱两两所成的角为 ，则对角线 的长为 ．
已知点 ，，点 满足 ，则 的坐标是 ．
三、解答题（共5题）
如图，在长方体 中， 为 的中点．
(1) 化简：；
(2) 设 是棱 上的点，且 ，若 ，试求实数 ，， 的值．
如图，平行六面体 的所有棱长都是 ，， 为 中点，记 ，，．
(1) 用向量 ，， 表示向量 ；
(2) 求 ．
已知 是平面 外一点，，，求证：．
已知空间四边形 各边及对角线 ， 的长都相等，， 分别为 ， 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
已知四棱锥 的底面是平行四边形，平面 与直线 ，， 分别交于点 ，，，且 ，点 在直线 上， 为 的中点，且 ．
(1) 设 ，，，试用基底 表示向量 ；
(2) 证明：四面体 中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
(3) 证明：对所有满足条件的平面 ，点 都落在某一条长为 的线段上．
答案解析
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
结合平行四边形的性质及相等向量的定义知，
，，．
2. 【答案】A
【解析】 ，
所以 ．
3. 【答案】D
【解析】
故选D．
4. 【答案】D
【解析】根据数量积的几何意义知，所求的问题即为两个向量所在的直线一定不垂直．当该长方体各棱长都相等，即为正方体时，，故A不符合；同理，正方体中，易证 ，从而有 ，故B不符合；事实上，对任意长方体，都有 ，从而 ，故C不符合；对于D项，连接 ，易证 为直角三角形，其中 ，所以 ，而 ，即异面直线 与 所成的角即为 ，所以异面直线 与 不垂直，亦即 一定不为 ．
5. 【答案】D
【解析】由题意知 ，即 ，
所以 ，解得 ．
6. 【答案】A
【解析】过点 ， 分别向 作垂线，垂足分别为 ，，则可得 ，，，，．
由于 ，
所以
所以 ．
故选A．
7. 【答案】B
【解析】（）项，由向量的运算可知正确，故（）项正确；
（）项，若两向量和为零向量，则两向量大小相等方向相反，
所以平行，故（）项正确；
（）项，向量无起始位置，可以在空间中仼意平行，
故皆为共面向量，故（）项错误；
（）项，若 点在平面 外，
则 点为以 ，， 为三棱作出的平行六面体的 点的对点，
故 ，，， 四点不一定共面，故（）项错误．
综上所述，正确选项有 个．
8. 【答案】B
【解析】设 ，，，且 ，则 ，，所以 ，又 ，，所以 ，故选B．
9. 【答案】B
【解析】设 的重心坐标为 ，则 ，，．
所以 的重心坐标为 ．
10. 【答案】B
【解析】
11. 【答案】B
【解析】对于选项A，还包括 的情形；对于选项C，结论应是 ；对于选项D，也包括 ， 的情形．
12. 【答案】C
【解析】由 ，且 ，
得 ，
解得 ，
又 ，
所以 ，
当 时，有 ，此时 ，
当 时，有 ，此时 ，
故 的值为 或 ．
13. 【答案】D
【解析】因为三棱锥 的各棱长均为 ，
所以 ，
又 是 的中点，
所以 ，
又 ，
所以
二、填空题（共7题）
14. 【答案】
【解析】因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
15. 【答案】
16. 【答案】
【解析】设 ， 为坐标原点．
由点 满足 ，得 ，
可得 ，
则点 的坐标是 ．
17. 【答案】
18. 【答案】
【解析】设 ，则有从而所以当 ，即 的坐标为 时， 最小．
19. 【答案】
【解析】在平行六面体 中，因为各条棱长均为 ，共顶点 的三条棱两两所成的角为 ，
所以 ，，
所以 ，
故
所以 .
20. 【答案】
【解析】设 ， 为坐标原点．由点 满足 ，得 ，可得 ，则 的坐标是 ．
三、解答题（共5题）
21. 【答案】
(1) 因为 ，
所以
(2) 因为
所以 ，，．
22. 【答案】
(1) 由题意知：，．
因为 为 中点，
所以 ．
(2) 由于 ，，
所以 ．
由（Ⅰ）得，，
所以 ，
所以 ．
23. 【答案】如图，因为 ， 是平面 的斜线，
所以 是 在平面 上的射影，
又 ，且 ，
所以由三垂线定理得 ．
24. 【答案】如图所示，设 ，，，且设各边长及对角线长均为 ，
所以 ，，且 ．
因为
，
所以 ．
因为异面直线所成角的范围为 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
25. 【答案】
(1) 因为 ，，
所以 ．
(2) 不妨设 是四面体最长的棱，
在 ， 中，，，
所以 ，
即 ，
故 ， 至少有一个大于 ，
不妨设 ，
所以 ，， 能构成三角形．
(3) 设 ，，，
由（）知 ．
因为 ，
所以 ，，，
所以 ，，
所以
设 ，
又 ，
所以
因为 ，
所以存在实数 ， 使得 ，
所以
所以
消元得 ，易知该方程在 有解．
当 时，，解得 ，
当 时，，解得 ．
综上， 的取值范围是 ．
所以对所有满足条件的平面 ，点 都落在某一条长为 的线段上．