2.3.1直线与平面垂直的判定 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word版，含解析）

2.3　直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1　直线与平面垂直的判定
基础过关练
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题组一　直线与平面垂直的判定
1.给出下列三个命题:
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直;
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直;
③一条直线在平面内的正射影是一点,则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是　(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(广东高二期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则AD1与B1E的关系为(　　)
A.AD1⊥B1E B.AD1∥B1E
C.AD1与B1E共面 D.以上都不对
3.(福建福州高二检测)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是　(　　)
A. B.2 C.3 D.4
4.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正五边形的两边.那么能保证该直线与平面垂直的是　　　　(填序号).
5.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
6.如图,AB为☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:AN⊥平面PBM;
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.
题组二　直线与平面所成的角
7.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于　(　　)
A.40° B.50° C.90° D.150°
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为　(　　)
A. B. C. D.
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是　(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
10.长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=2,AA'=2,则直线BD'与平面ABCD所成角的大小为　　　.
11.如图,在直角三角形BMC中,∠BCM=90°,∠MBC=60°,BM=5,MA=3且MA⊥AC,AB=4,求MC与平面ABC所成角的正弦值.
能力提升练
一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(四川广安中学高二月考,★★☆)三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,PO⊥平面ABC,O为垂足,则O是△ABC的(　　)
A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心
2.(★★☆)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是(　　)
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1的中点与CC1的中点连成的线段
D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段
二、填空题
3.(临沂高一检测,★★☆)等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为　　　　.
4.(2018安徽萧县一中高一期中,★★☆)如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形,当平面四边形ABCD满足　　　　时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况)
三、解答题
5.(★★☆)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=2AB,求CD与平面BDC1所成角的正弦值.
6.(2018四川金堂中学高一月考,★★☆)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.
(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
7.(★★☆)如图,直三棱柱A1B1C1-ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF 并证明你的结论.
8.(★★★)如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到C'点,且C'点在平面ABD上的射影O恰在AB上.
(1)求证:BC'⊥平面AC'D;
(2)求直线AB与平面BC'D所成角的正弦值.
答案全解全析
基础过关练
1.C　①中三条直线不一定存在两条直线相交,因此直线不一定与平面垂直;②中直线与平面所成角必为直角,因此直线与平面垂直;根据射影的定义知③正确.故选C.
2.A　连接A1D,由正方形的性质,知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D,所以B1A1⊥AD1,又A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E 平面A1B1ED,所以AD1⊥B1E.故选A.
3.D　如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.
因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又PD⊥BC,PA∩PD=P,
所以BC⊥平面PAD,所以BC⊥AD.又AB=AC,∴BD=CD=BC=3.
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
所以PD==4.
4.答案　①③④
解析　根据直线与平面垂直的判定定理,平面内这两条直线必须是相交的,①③④中给定图形的两边所在直线一定相交,能保证直线与平面垂直.而②中梯形的两边可能是上、下底边,它们互相平行,不满足定理条件.故填①③④.
5.证明　(1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,所以易证△ADS≌△BDS.
所以∠SDA=∠SDB=90°.所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
6.证明　(1)∵AB为☉O的直径,
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.
∵PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM,∴BM⊥AN.
∵AN⊥PM,且BM∩PM=M,
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM,PB 平面PBM,∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A,
∴PB⊥平面ANQ.又NQ 平面ANQ,
∴PB⊥NQ.
7.B　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.
8.D　如图,设正方体的棱长为1,
上、下底面的中心分别为O1,O,则OO1∥BB1,OO1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角,即∠O1OD1,cos∠O1OD1===.
9.C　如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则AE⊥平面BB1C1C.
故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.
设各棱长为a,则AE=a,DE=a.
所以tan∠ADE=.
所以∠ADE=60°.
10.答案　45°
解析　连接DB,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,显然有DD'⊥平面ABCD,
所以∠DBD'是直线BD'与平面ABCD所成的角,在底面ABCD中,DB==2,在Rt△DBD'中,tan∠DBD'==1,所以∠DBD'=45°.
11.解析　因为BM=5,MA=3,AB=4,
所以AB2+AM2=BM2.所以MA⊥AB.
又因为MA⊥AC,AB、AC 平面ABC,且AB∩AC=A,所以MA⊥平面ABC.
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角.
又因为∠MBC=60°,∠BCM=90°,
所以MC=.
所以sin∠MCA===.
能力提升练
一、选择题
1.C　如图,连接OA,OB,OC,
因为PO⊥平面ABC,AO 平面ABC,所以PO⊥AO,同理PO⊥BO,
因为PA=PB,PO=PO,
所以Rt△POA≌Rt△POB,所以OA=OB,
同理OA=OC,故O是△ABC的外心.故选C.
2.A　设P1、P2为P的轨迹上两点,则AP1⊥BD1,AP2⊥BD1.又∵AP1∩AP2=A,
∴直线AP1与AP2确定一个平面α,与平面BCC1B1交于直线P1P2,易知BD1⊥平面α,∴P1P2⊥BD1,
又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1,∴P1P2⊥BC1,而在平面BCC1B1内,B1C与BC1垂直,
∴点P的轨迹为线段B1C.
二、填空题
3.答案　45°
解析　如图,设点C在平面α内的射影为O点,
连接AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角.
设AC=BC=1,则AB=,
所以CM=,CO=.
所以sin∠CMO==,
所以∠CMO=45°.
4.答案　AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)
解析　在平面四边形ABCD中,设AC与BD交于点E,假设AC⊥BD,则AE⊥BD,CE⊥BD.
折叠后(如图),AE与BD,CE与BD依然垂直,所以BD⊥平面AEC,所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.
若平面四边形ABCD为菱形或正方形,则它们的对角线互相垂直,所以同上可证AC⊥BD.
三、解答题
5.解析　如图,设AA1=2AB=2,连接AC,交BD于点O,连接OC1,A1C1,过点C作CH⊥OC1于点H,连接DH.
因为BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,
所以BD⊥平面ACC1A1.
因为CH 平面ACC1A1,所以CH⊥BD.
又CH⊥OC1,OC1∩BD=O,
所以CH⊥平面BDC1.
所以∠CDH即为CD与平面BDC1所成的角.
又OC1===,
由等面积法,得OC1·CH=OC·CC1,解得CH=,
所以sin∠CDH==.
6.解析　(1)证明:由题意知四边形AA1B1B是正方形,∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1,得AA1⊥A1C1.
又易知A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1,
∴A1C1⊥平面AA1B1B,
又∵AB1 平面AA1B1B,∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1=A1,∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)如图,连接A1D.设AB=AC=AA1=1,
∵AA1⊥平面A1B1C1,
∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.
在等腰直角三角形A1B1C1中,D为斜边B1C1的中点,∴A1D=B1C1=.
在Rt△A1DA中,AD==,
∴sin∠A1DA==,
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
7.解析　(1)证明:∵多面体A1B1C1-ABC是直三棱柱,
∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,
AA1⊥平面A1B1C1.
∵C1D 平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,
∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.
又A1B1∩AA1=A1,
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)如图,作DE⊥AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F即为所求.
证明:由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,AB1 平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,
∴AB1⊥平面C1DF.
易知AA1=A1B1=,
∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,
∴F为BB1的中点.
∴当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
8.解析　(1)证明:因为点C'在平面ABD上的射影O在AB上,
所以C'O⊥平面ABD,所以C'O⊥DA.
又因为DA⊥AB,AB∩C'O=O,
所以DA⊥平面ABC',所以DA⊥BC'.
又因为BC⊥CD,所以BC'⊥C'D.
因为DA∩C'D=D,所以BC'⊥平面AC'D.
(2)如图所示,过点A作AE⊥C'D,垂足为点E,连接BE,
因为BC'⊥平面AC'D,
所以BC'⊥AE,BC'⊥AC',BC'⊥C'D.
又因为BC'∩C'D=C',
所以AE⊥平面BC'D.所以AE⊥BE.
则BE是AB在平面BC'D上的射影,
故∠ABE就是直线AB与平面BC'D所成的角.
由(1)知DA⊥平面ABC',所以DA⊥AC'.
在Rt△AC'B中,
AC'==3.
在Rt△BC'D中,C'D=CD=3.
在Rt△C'AD中,由面积关系,得
AE===.
所以在Rt△AEB中,
sin∠ABE===,
即直线AB与平面BC'D所成角的正弦值为.